数検準2級 正弦定理—辺と向かいの角を対応させて長さと外接円を求める｜武蔵野個別指導塾

三角形の辺と対角の組を図で見分け、外接円の半径や角が二通りになる条件を正弦定理でたどります。

よくあるのは、受験者が三角形の辺と、その辺に隣り合う角を対応させて式を書く場面です。辺のすぐ近くに角の印があると、そこに目が引かれます。しかし正弦定理で組にするのは、その辺の両端ではない頂点の角です。図に印をつけ、辺から向かいの頂点まで視線を移す習慣を作ると、式を立てる前に対応を確かめられます。

どんな量から出発するか

正弦定理は、三角形の辺の長さと角の正弦、それを通る円の半径を結びます。たとえば、1組の辺と向かいの角に加えて別の角が与えられたとき、残る辺の長さを求められます。また、1組の辺と向かいの角から、三角形の3頂点を通る外接円の半径を求めることもできます。

もう1つの型は、2辺とその一方に向かい合う角から、もう一方の辺に向かい合う角を求めるものです。このとき正弦の値が決まっても、角が1つに決まるとは限りません。鋭角と鈍角の候補を出し、三角形の内角の和を使って両方が成立するか調べます。

どの型でも、まず既知の辺とその対角を1組探します。辺だけを眺めて式を選ぶと、分母に入れる角を取り違えやすくなります。ここでは正弦定理による長さと外接円、角の候補の検討に絞ります。図に描かれた形は見通しを得るための手掛かりであり、角が鋭角か鈍角かを見た目だけで決める根拠にはしません。辺の長さには単位を付け、角の大きさと区別して書きます。答えを出した後も、与えられた条件がその答えで再現されるかを確認します。計算が合っていても、最初の対応が違えば条件を満たすとは限らないからです。

向かい合う辺と角を組にする

三角形ABCで、頂点Aの角をA、頂点Bの角をB、頂点Cの角をCと書きます。辺BCの長さをa、辺CAの長さをb、辺ABの長さをcとします。小文字の添え先は、その辺の端ではなく向かい側の頂点です。外接円の半径をRとすると、正弦定理は次の形です。

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

図1のように、aとA、bとB、cとCをそれぞれ対応させます。辺BCは頂点Aを含まないので、Aと組です。辺CAはBを含まず、辺ABはCを含みません。辺の両端の文字を見て、残った文字を角に選ぶ方法も使えます。

図1では3組の対応を示しています。各辺を同じ比の分子に、向かいの角の正弦を分母に置きます。たとえばaとbを使うなら、a / sin A = b / sin Bです。等式の左右を入れ替えてもよいのですが、片方だけを逆数にしてはいけません。

外接円は三角形の3頂点を通る円です。その半径がRなら、各比は半径そのものではなく直径2Rに等しくなります。円の中心が三角形の内側にあるとは限りませんが、定理は鈍角を含む三角形にも使えます。長さと正弦から先に直径を求め、最後に2で割ると、半径との取り違えを防げます。

この関係を直角三角形で考えると、直径が現れる理由をつかめます。直径を一辺とする円周上の三角形は、その直径に向かう角が直角です。直径と元の辺を用いた直角三角形で、辺の長さは直径と対応する角の正弦の積になります。元の対角が鈍角の場合も、その補角の正弦は等しいので同じ比が成り立ちます。

角の大きさを求めるときには、sin θ = sin (180° − θ)にも注意します。たとえばsin 30°とsin 150°はどちらも1/2です。三角形の内角は0°より大きく180°より小さいので、この範囲で候補を探し、ほかの角との和を調べます。候補の和が180°以上なら残りの角が正にならず、三角形は成立しません。

式を選ぶ前の点検

問題文から図を描くときは、最初に頂点の文字を一周する順に書きます。次に、与えられた角を頂点の内側に、与えられた長さを辺のそばに書きます。そのうえで、既知の長さから向かいの角へ線を目でたどります。求める量にも同じ操作をすれば、使う2組がそろいます。与えられた値をすべて一度に式へ入れようとする必要はありません。

既知の角が2つなら、必要に応じて内角の和から残りを求められます。一方、辺と角の組がまだ1つもそろっていない場合、正弦定理の式を書いても未知数が複数残ることがあります。何が既知で何が未知かを図の上で区別し、足りない量を別の条件から求められるか考えます。計算を始める前のこの確認は、分母を誤ることと、情報が足りないまま計算を続けることの両方を防ぎます。

基本例題：辺と外接円の半径

三角形ABCで、A = 30°、B = 45°、辺BC = 4 cmです。辺CAの長さと外接円の半径を、それぞれ根号を使った正確な値で求めます。

図2のように、4 cmの辺BCの向かいはAです。求める辺CAの向かいはBです。まずこの2組を書き、sin 30° = 1/2、sin 45° = √2/2を使います。

辺CAをb cm、外接円の半径をR cmとします。図2の対応から次のように計算します。

4 / sin 30° = b / sin 45°

4 / (1/2) = b / (√2/2)

8 = b / (√2/2)

b = 8 × (√2/2)

b = 4√2

したがって辺CAは4√2 cmです。分数で割るところでは、4を2で割るのではなく、1/2の逆数を掛けることに注意します。求める辺を比の左側に置いて計算しても、同じ値に到達します。

次に、同じ比が外接円の直径に等しいことを使います。

2R = 4 / sin 30°

2R = 8

R = 4

外接円の半径は4 cmです。8 cmは直径であり、問いが求めた半径ではありません。単位を書く前に、求めた量がRか2Rかを見直します。

答えを元の条件へ戻します。残りの角Cは180° − 30° − 45° = 105°で、正の角です。半径4 cmの円の直径は8 cmなので、直径にsin 30°を掛けると4 cm、sin 45°を掛けると4√2 cmとなります。いずれも与えられた辺と求めた辺に一致します。AよりBが大きく、向かいの辺も4 cmより4√2 cmのほうが長いことも、答えの見当をつける手掛かりです。

少し難しい例題：角が二通りになるとき

三角形PQRで、P = 30°、辺QR = 4 cm、辺RP = 4√2 cmです。角Qとして成立する大きさをすべて度数で求めます。図を1つ描いてその形だけを見ると、もう一方の可能性を見落とすことがあります。

辺QRは角Pの向かい、辺RPは角Qの向かいです。正弦定理から次の式が立ちます。

4 / sin 30° = 4√2 / sin Q

8 = 4√2 / sin Q

sin Q = √2/2

0°より大きく180°より小さい範囲で、この値をとる角の候補は45°と135°です。どちらかを無条件で選ぶのではなく、与えられたP = 30°と合わせます。

Q = 45°なら、R = 180° − 30° − 45° = 105°です。

Q = 135°なら、R = 180° − 30° − 135° = 15°です。

どちらも残りの角が正なので、答えは45°と135°です。たとえば既知の角が60°で、別の角の候補が120°なら、その和が180°となり残りの角が0°です。この場合は三角形にならず、その候補を除きます。和が180°を超える場合も同様に除きます。

元の条件へ戻して確かめます。どちらの候補もsin Q = √2/2で、共通の比は8です。よって向かいの辺は8 × sin 30° = 4 cm、8 × sin Q = 4√2 cmとなり、与えられた2辺に一致します。さらに3角が正で和が180°なので、それぞれ三角形を作れます。2つの三角形は残りの角が異なり、同じ形ではありません。

候補を探す際には、正弦の値が1より大きければ、その条件を満たす角はありません。値が1なら90°が候補です。0より大きく1より小さい値なら補角の組を考えますが、その両方が三角形として残るかどうかは別に確かめます。この順番なら、計算結果の数字だけで図形の成立を決めずに済みます。

誤答を対応から直す

基本例題で、辺BC = 4 cmに隣接する角B = 45°を見て、4 / sin 45° = b / sin 30°と書く誤りがあります。これを計算するとb = 2√2 cmとなりますが、辺BCと角B、辺CAと角Aはそれぞれ向かい合っていません。

図3のように辺BCの両端B、Cを指でたどり、残る頂点Aの角を選びます。辺CAなら残る頂点はBです。この操作で、どちらの分母を入れ替えるべきかが見えます。

図3の正しい組に直すと、4 / sin 30° = b / sin 45°です。答えは先ほどの4√2 cmに戻ります。誤答2√2 cmは4 cmより短いのに、その向かいのBはAより大きいので、辺の大小の関係からも異常に気づけます。ただし大小の確認だけでは正確な値を保証できないため、対応を直して式から計算し直します。

別の誤りは、外接円の直径8 cmをそのまま半径と答えることです。比の右端を2Rと書き、求めるものがRなら最後に2で割ります。角を求める問題では、正弦の値から鋭角だけを答えることもあります。補角を候補に加え、残りの角が正になるかまで点検することで、取りこぼしを防げます。

練習問題

次の問題はすべて三角形についての自作問題です。長さは根号を使った正確な値で、角は度数で答えます。図を自分で描き、既知の辺と対角に印をつけてから取り組みます。

1. 三角形DEFで、D = 45°、E = 60°、辺EF = 6 cmです。辺FDの長さを求めます。
2. 三角形GHIで、G = 60°、辺HI = 3√3 cmです。外接円の半径を求めます。
3. 三角形JKLで、J = 45°、辺KL = 5√2 cm、辺LJ = 10 cmです。角Kを求めます。
4. 三角形MNOで、M = 60°、辺NO = 2 cm、辺OM = 4 cmです。この条件を満たす三角形があるか答え、理由を述べます。

練習問題の答えと解き方

1. 辺EFの向かいはD、辺FDの向かいはEです。辺FDをx cmとすると、6 / sin 45° = x / sin 60°です。したがってx = 6 × (√3/2) / (√2/2) = 3√6です。答えは3√6 cmです。残りの角Fは75°で正です。また、共通の比は6√2で、これにsin 45°とsin 60°を掛けると、それぞれ6と3√6に戻ります。

2. 直径を2R cmとすると、2R = 3√3 / sin 60° = 3√3 / (√3/2) = 6です。よって半径は3 cmです。直径6 cmにsin 60°を掛けると辺HIの3√3 cmに戻ります。残りの角は、たとえば60°ずつとすれば三角形が成立します。残りの角を特定しなくても、与えられた辺と角から半径は決まります。

3. 5√2 / sin 45° = 10 / sin Kより、10 = 10 / sin K、したがってsin K = 1です。0°より大きく180°より小さい範囲でK = 90°です。残りのLは45°で正です。共通の比10にsin 45°、sin 90°を掛けると、与えられた2辺に戻ります。正弦が1のとき、補角も90°なので異なる2つの候補にはなりません。

4. 正弦定理を使うと、2 / sin 60° = 4 / sin Nです。これを整理するとsin N = √3です。三角形の内角の正弦は1を超えないので、条件を満たす三角形はありません。もし存在すると仮定すれば、辺NOとOMを同じ直径にそれぞれsin 60°とsin Nを掛けて得る必要がありますが、後者には1を超える正弦が必要です。よって元の長さの条件に戻しても矛盾します。

覚えておくこと

辺と、その辺に含まれない頂点の角を組にします。 辺を対角の正弦で割った比は、外接円の直径に等しくなります。 角を求めるときは補角も候補にし、内角の和で成立を調べます。

つまずいた行から戻る

式の最初の行で分母が違う場合は、計算練習に進む前に図へ戻ります。辺の両端を読み上げ、残る頂点の角を指してから、対応する文字を式に書きます。個別指導でも、その指差しと式の分母が一致するかを確かめると、知識の不足と書き間違いを区別できます。

比は正しいのに半径が2倍なら、最後の行で直径から半径への変換を確認します。角を1つしか書いていない場合は、正弦の値を求めた行から補角と残りの内角へ戻ります。辺と対角の対応を確かめる一手が、長さと角の両方の答えを支えます。