数検準2級 余弦定理—与えられた辺と角から求める量に合う式を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

二辺の挟角を見分けて対辺を求め、三辺から鈍角を見つける計算を通して、余弦定理の式を選びます。

よくあるのは、三角形に書かれた二辺と角を見つけ、角がその二辺の間にあるか確かめないまま余弦定理に代入する場面です。式の形が合っていても、角の位置が違えば別の三角形を計算しています。まず辺の両端を指でたどり、角の頂点を確かめましょう。条件と求める量を図に書き込めば、どの形の式が必要か選びやすくなります。

どんな条件から出発するか

余弦定理は、三角形の三辺と一つの角を結ぶ関係です。直角三角形に限らず、鋭角や鈍角を含む三角形にも使えます。ここでは面積を広く扱うのではなく、長さまたは角を求めるための条件の読み取りに焦点を当てます。

出方の一つは、二辺とその挟角から残りの辺を求める型です。挟角とは、二辺が交わる頂点の内側にある角です。例えば二本の棒を一端でつないだとき、棒の長さと開き具合が決まれば、反対側の端どうしの距離が決まります。その距離を表す式を立てます。

もう一つは、三辺から一つの角を求める型です。求める角に向かい合う辺を先に見つけ、余弦の値を出してから角を選びます。途中で得られるのは角そのものではなく cos の値です。角の範囲を三角形の内角に限って考えることも必要です。

条件が二辺と一つの角でも、その角が二辺の挟角でない場合は注意が必要です。与えられた角を二辺の積にそのまま付けることはできません。既知の角に向かい合う辺を左辺に置き、残る辺に文字を置いて式を立てます。解が複数出たときは、長さが正か、三角形として成立するか、元の角の条件に合うかをそれぞれ確かめます。

対辺と挟角を対応させる

三角形 ABC で、角 A、角 B、角 C の向かいにある辺の長さを、それぞれ a、b、c とします。つまり a は辺 BC、b は辺 CA、c は辺 AB の長さです。頂点を含まない辺が、その頂点の角の対辺です。図1のように、角 A をはさむ二辺は b と c で、その向かいに a があります。

角 A についての余弦定理は次の式です。

a² = b² + c² − 2bc cos A

左辺には角 A の対辺の二乗を置きます。右辺の b と c は角 A をはさむ二辺です。角を B や C に変えたときも、左辺の対辺と右辺の挟む二辺を入れ替えれば同じ関係が成り立ちます。文字の順番だけで覚えず、図の上で対応を確かめることが大切です。

角 A が90°なら cos A = 0 なので a² = b² + c² となり、直角三角形の三平方の定理に一致します。角 A が鋭角なら cos A は正で、b² + c² から正の量を引きます。鈍角なら cos A は負なので、負の量を引いた結果、a² は b² + c² より大きくなります。この大小関係は符号を点検するときに役立ちます。

三辺から角 A を求める場合は、同じ式を変形して使います。

cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)

分母は角 A をはさむ二辺の積の2倍です。分子では対辺 a の二乗を引きます。三辺が与えられても、三角形のどの角を尋ねられているかで引く辺が変わります。三辺のいずれかが他の二辺の和以上なら三角形はできません。計算を始める前に長さの条件も確かめましょう。

式を選ぶ前の小さな確認

図の文字がいつも A、B、C の順に並ぶとは限りません。まず求める辺に印を付け、その両端ではない頂点を探します。その頂点の角がわかっていれば、残りの二辺と組み合わせて、求める辺の二乗を左辺に置けます。辺に付いた文字を暗記した公式に無理に押し込むより、角と対辺の関係を図から作るほうが、頂点の名前が変わっても対応できます。

逆に、角を求めるときは、その角をはさむ二辺と向かいの一辺を分けて印を付けます。三辺の数値が並ぶ問題で一番大きい数をいつも引くとは限りません。最大の辺を引くのは、その辺の向かいの角を求めるときです。別の角を求めるなら、別の辺の二乗を引きます。

式から得た余弦が 1 より大きい、または -1 より小さいときは、三角形の角には対応しません。分母の積や分子の符号を見直し、三辺の和の条件も確認します。たとえば一辺が残る二辺の和と等しいと、頂点が一直線に並び、三角形の内側ができません。等号も除くことが必要です。

長さの見通しを持つ

二辺の長さを固定して、その間の角を広げると、向かいの辺は長くなります。90°のときは三平方の定理で求めた長さになり、それより角が大きければ対辺の二乗は二辺の二乗の和より大きくなります。逆に鋭角ではその和より小さくなります。正確な答えは式で計算しますが、この見通しは符号を逆にした答えを見つける手掛かりです。

また、求めた辺は残る二辺の和より短く、差より長くなければなりません。これは三角形が折れ曲がって閉じるための条件です。範囲に入ったからといって角の条件まで保証されるわけではないので、最後は余弦定理に戻して角も確かめます。成立条件と元の角の確認は、それぞれ別の役割を持っています。

基本例題：挟角から残りの辺へ

三角形 ABC で AB = 5 cm、AC = 8 cm、角 A = 60°です。辺 BC の長さを根号を使って cm で求めましょう。

図2のように、長さがわかる二辺 AB と AC は A で交わっています。したがって60°はこの二辺の挟角であり、求める BC はその対辺です。BC の長さを x cm として、角 A に対応する式を使います。

まず、対応を文字のまま書きます。

BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos A

数値を代入します。

x² = 5² + 8² − 2 × 5 × 8 × cos 60°

cos 60° = 1/2 を代入します。

x² = 25 + 64 − 80 × 1/2

積を計算します。

x² = 89 − 40

x² = 49

長さは正なので、x = 7 です。答えは 7 cm です。二乗から x を出す段階で負の値を長さとして採用しないことにも気を付けます。

元の条件に戻して確かめます。三辺 5、8、7 は 5 + 7 > 8 などの三角形の成立条件を満たします。また、5² + 8² − 7² = 40 で、2 × 5 × 8 × 1/2 に等しくなります。求めた辺を戻しても、角 A の余弦が 1/2 となり、60°という条件に合います。

もし計算の途中で x² が負になったら、実際の長さの二乗にはならないため、そのまま根号を付けて先に進めません。代入した角が挟角か、積の符号や余弦の値に誤りがないかを戻って調べます。問題の条件自体が三角形を作れるかどうかも確認の対象です。

少し難しい例題：三辺から鈍角を見つける

三角形 PQR で PQ = 3 cm、PR = 5 cm、QR = 7 cm です。角 P の大きさを度で求めましょう。

角 P をはさむ辺は PQ と PR、対辺は QR です。まず 3 + 5 > 7、3 + 7 > 5、5 + 7 > 3 なので、三辺は三角形を作ります。角 P の余弦を求める式に当てはめると、次のようになります。

cos P = (PQ² + PR² − QR²) / (2 × PQ × PR)

cos P = (3² + 5² − 7²) / (2 × 3 × 5)

cos P = (9 + 25 − 49) / 30

cos P = -15 / 30 = -1/2

三角形の内角は 0°より大きく180°より小さいので、cos P = -1/2 に対応する角は 120°です。答えは 120°です。余弦が負になった時点で鈍角だとわかるため、60°と取り違えたときにも気付けます。

確かめとして、120°の余弦を元の辺の式に戻します。3² + 5² − 2 × 3 × 5 × (-1/2) = 49 であり、対辺は正の長さなので 7 cm です。与えられた QR の長さに戻りました。三辺から出した角が元の三角形を再現するかまで見ると、分子で引く辺の選び違いを発見しやすくなります。

挟角でない角を入れたら

図3の三角形では AB = 5 cm、AC = 7 cm、角 B = 60°です。辺 BC の長さを求める場面を考えます。5 と 7 を見て、次のように計算したとします。

誤答：BC² = 5² + 7² − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 39

図3のように、5 cm と 7 cm の辺が交わるのは A です。与えられた60°は B にあるので、5 cm と 7 cm の挟角ではありません。この式は角 A が60°であるかのように扱っています。数値の計算が正しくても、条件と式の対応が違います。

修正するときは、60°の向かいの辺 AC を左辺に置きます。未知の BC を x cm とすれば、B をはさむ辺は 5 cm と x cm です。

7² = 5² + x² − 2 × 5 × x × cos 60°

49 = 25 + x² − 5x

x² − 5x − 24 = 0

(x − 8)(x + 3) = 0

x = 8 または x = -3 ですが、辺の長さは正なので 8 cm です。5 + 7 > 8 など三角形の成立条件を満たし、25 + 64 − 2 × 5 × 8 × 1/2 = 49 となって、対辺 7 cm と角 B = 60°に戻ります。誤答の √39 cm を使うと角 B の条件を満たさないため、元の場面に戻す点検でも区別できます。

角が挟角でないときは未知数を含む二次方程式になることがあります。正の解が二つ出る場合も、片方を直感で消さず、それぞれの辺の長さと元の角を確かめます。反対に正の解がなければ、その式と条件の対応や、条件の成立自体を見直します。

練習では式を書いたら、各辺が図のどこにあるかをもう一度指でたどってください。角の記号と辺の記号を機械的に並べると、図を回転させたときに対応を見失うことがあります。求める量が長さか角かを先に丸で囲み、答えの単位や形式も問題文に戻って確認しましょう。

練習問題

次の問題は、それぞれの図を自分で描いてから解きましょう。長さは cm で、必要なら根号を使って正確に表し、角は度で答えます。

1. 三角形 DEF で DE = 4 cm、DF = 6 cm、角 D = 60°です。辺 EF の長さを求めなさい。
2. 三角形 GHI で GH = 4 cm、GI = 6 cm、HI = 2√19 cm です。角 G を求めなさい。
3. 三角形 JKL で JK = 3 cm、JL = 2√7 cm、角 K = 60°です。辺 KL の長さを求めなさい。
4. 三角形 MNO で MN = 5 cm、MO = 7 cm、NO = 8 cm です。角 M の余弦を分数で求めなさい。

練習問題の答えと解き方

1. EF を x cm とすると、角 D は 4 cm と 6 cm の挟角です。x² = 4² + 6² − 2 × 4 × 6 × 1/2 = 28 となります。x > 0 より、答えは 2√7 cm です。2 < 2√7 < 10 なので三角形が成立し、辺を式に戻せば cos D = (16 + 36 − 28) / 48 = 1/2 です。

2. 角 G の対辺は HI です。cos G = (4² + 6² − (2√19)²) / (2 × 4 × 6) = -24/48 = -1/2 より、答えは 120°です。2 < 2√19 < 10 なので三辺は成立します。120°を元の式に戻すと HI² = 16 + 36 + 24 = 76 で、正の辺は 2√19 cm です。

3. 角 K の対辺は JL です。KL を x cm とすると、28 = 3² + x² − 2 × 3 × x × 1/2 です。整理すると x² − 3x − 19 = 0 となり、x = (3 ± √85) / 2 です。負の解を除き、答えは (3 + √85) / 2 cm です。この値は 6 より大きく7より小さく、2√7 は5より大きく6より小さいので三角形の成立条件を満たします。さらに x² − 3x = 19 を式に戻すと JL² = 9 + 19 = 28 で、指定された辺と角に合います。

4. 角 M の対辺は NO です。cos M = (5² + 7² − 8²) / (2 × 5 × 7) = 10/70 = 1/7 です。答えは 1/7 です。5 + 7 > 8 なので三角形が成立します。余弦を戻すと 25 + 49 − 70 × 1/7 = 64 となり、対辺 8 cm に合います。余弦の値を尋ねられているので、角度へ換算する必要はありません。

覚えておくこと

• 左辺の辺は、使う角の対辺です。
• 右辺の積を作る二辺は、その角をはさみます。
• 三辺から角を求めるときは、対辺の二乗を分子で引きます。
• 長さの正負、三角形の成立、元の条件を最後に確かめます。

つまずいた行から戻る

式の最初の行が違うときは、計算をやり直す前に、図の角と対辺を線で結んでみましょう。二辺の積に付けた角が、その二辺の交点にあるかを確認します。個別指導で答案を見る場合も、代入前の対応を書いてもらうと、公式の記憶と図の読み取りのどちらで迷ったかを分けられます。

代入後の行で符号が変わったなら、鈍角の余弦は負であることと、負の数を引く計算に戻ります。二次方程式の解を選ぶ行なら、正の長さという条件と三角形の成立条件に戻ります。答えを元の図に書き入れて条件を再現できれば、選んだ式と計算を一緒に点検できます。