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中学受験の算数同心円とおうぎ形—内外の面積差と周の境界を区別して求める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数図形を掘り下げる

外側の円から内側の円を引いて面積を求めた子が、まわりの長さも同じ引き算で済ませようとします。二つの弧と二本の半径の差を足す理由を、中心角90度・外半径6cm・内半径4cmの帯で確かめます。外と内を分けて考えるこの二重の輪が円環です。

円環の面積を、外側の円の面積から内側の円の面積を引いて求めた子が、同じ問題の「まわりの長さ」でも、大きい円の周から小さい円の周を引きました。面積では引き算が正解でしたから、周りでも引き算だろうと考えるのは自然です。ところが答え合わせをすると、まわりの長さだけが合いません。ここで立ち止まれるかどうかが、同心円とおうぎ形の理解の分かれ目になります。

問われ方は三つに分かれる

同心円とおうぎ形の帯が出る問題は、聞かれ方で三つの型に分かれます。一つ目は、円環の面積とまわりの長さを求める問題です。外側の半径と内側の半径が与えられ、面積は平方センチメートル、まわりの長さはセンチメートルで答えます。二つ目は、おうぎ形の帯です。中心角が同じで、外側の半径と内側の半径が違う二本の弧を、二本の半径でつないだ形になります。面積もまわりの長さも、中心角の割合を掛けて求めます。三つ目は、面積から内側の半径を逆算する問題です。面積と外側の半径がわかっていて、内側の半径を探します。

どの型でも最初に確かめるのは、二つの円の中心が同じかどうか、二つのおうぎ形の中心角が同じかどうかです。中心がずれていれば円環ではありませんし、中心角が違えば同じ形の帯になりません。問題文の「同じ中心」「同じ中心角」という言葉を読み落とすと、式の形から立て直すことになります。

条件はもう一つあります。外側の半径が内側の半径より大きいことです。当たり前に見えますが、逆算の途中で二つの半径を取り違えると、答えの形が変わります。半径の大小を図に書き込み、どちらが外かを見えるようにしておくと、式の立て間違いが減ります。

問題によっては、外側の半径と幅だけが与えられることもあります。幅は外側の半径から内側の半径を引いた長さですから、外側の半径から幅を引けば内側の半径が出ます。どちらが与えられても、必要なのは二つの半径です。まず半径を二つそろえる、という順序を守ります。

用語と考え方

中心を同じくする二つの円を同心円といいます。大きい円から小さい円を除いて残る輪の形が円環です。ドーナツの形を思い浮かべるとわかりやすいでしょう。円環の面積は、外側の円の面積から内側の円の面積を引いて求めます。外側の半径をR、内側の半径をrとすると、面積は3.14×R×Rから3.14×r×rを引いた値です。この二つの項は3.14でくくれるので、3.14×(R×R-r×r)と書けます。

ここでR×R-r×rは、(R+r)×(R-r)と同じ数になります。外側の半径が6cm、内側の半径が3cmなら、6×6-3×3は36-9で27です。6+3は9、6-3は3、9×3も27ですから、どちらの組み立てでも同じ値になります。二乗の差を、和と差の積に直すと計算が軽くなります。とくに半径が整数でないときに役立ちます。

円環の面積を、幅と真ん中の円周でとらえる見方もあります。円環の幅はR-rです。外側の円周と内側の円周の真ん中を通る円の半径は(R+r)÷2で、その円周は2×3.14×(R+r)÷2、つまり3.14×(R+r)です。幅にこの真ん中の円周を掛けると、3.14×(R+r)×(R-r)になり、上の式と同じ値になります。6と3なら、幅は3cm、真ん中の半径は4.5cm、その円周は2×3.14×4.5で28.26cm、3×28.26で84.78平方センチメートルです。

この見方があると、よくある間違いが見つけやすくなります。半径の差を二乗してしまう間違いです。6と3で確かめると、正しい面積は3.14×27で84.78平方センチメートルですが、6-3を二乗して3×3の9に3.14を掛けると28.26平方センチメートルになります。幅3cmの帯を、幅3cmの正方形のように扱っている計算です。帯は幅が一定でも、長さが中心からの距離で変わるので、二乗では求まりません。

次に、おうぎ形です。円の中心から二本の半径を引いて切り取った形がおうぎ形で、二本の半径がつくる角が中心角です。円全体の中心角は360度ですから、中心角が90度のおうぎ形は円の4分の1、120度なら3分の1、180度なら半分になります。同心円から同じ中心角で切り取った帯、つまり二つのおうぎ形の差も、やはり帯の形になります。面積は円環の面積に中心角の割合を掛けて求めます。

中心が同じでない二つの円は、円環になりません。ずれた二つの円の間の部分は、場所によって幅が変わるので、外側から内側を引く一つの式では表せません。同じように、中心角が違う二つのおうぎ形の差も、帯にはなりません。問題文で「同じ中心」「同じ中心角」と書かれているのは、この形を保証するための条件です。

弧の長さは、円周に中心角の割合を掛けて求めます。半径Rの円周は2×3.14×Rですから、中心角が90度ならその4分の1です。面積の式と弧の式を並べておくと、どちらに割合を掛けるかが見えます。面積は二乗の差に、弧は円周に、同じ割合を掛けます。

ここで、面積とまわりの長さを分けて考えます。面積は面の広さです。内側の円を除くと、その分の面が減りますから、引き算になります。まわりの長さは境界の線の長さです。内側の円を除いたとき、その円周は消えるのではなく、穴の縁として新しく境界に現れます。だから円環のまわりは、外側の円周と内側の円周を足した長さになります。外側の円周は2×3.14×R、内側の円周は2×3.14×rです。二つを足すと2×3.14×(R+r)になります。

おうぎ形の帯では、境界の線が四本になります。外側の弧、内側の弧、そして二本のまっすぐな辺です。二本のまっすぐな辺は、外側の半径と内側の半径の差、つまりR-rの長さです。帯を切り開いて考えると、外側の弧と内側の弧が長い二辺、半径の差が短い二辺になり、四本を全部足したものがまわりの長さです。面積のときのように、一つの式の引き算でまとめることはできません。

図1のように、円環は二つの円の間の帯、おうぎ形の帯は同じ中心角で切り取った帯です。面積は外から内を引き、まわりは外と内を足します。この違いが出発点になります。図1の左は円環、右はおうぎ形の帯で、どちらも外側の線と内側の線が別々に境界へ関わります。

基本例題で面積差の手順をたどる

外側の半径が6cm、内側の半径が3cmで、中心が同じ円環を考えます。面積とまわりの長さをそれぞれ求めなさい。円周率は3.14とします。

面積から求めます。まず外側の円の面積は、6×6が36、3.14×36が113.04平方センチメートルです。次に内側の円の面積は、3×3が9、3.14×9が28.26平方センチメートルです。外側から内側を引くと、113.04-28.26で84.78平方センチメートルになります。途中で小数に丸めず、最後まで3.14のまま計算します。

一気に計算するなら、36と9の差の27を先に作ります。3.14×27で84.78です。6+3の9と6-3の3を掛けても27になるので、9×3×3.14の順に計算しても同じ値になります。どの順で計算しても、二乗の差を作ってから3.14を掛けるという骨組みは変わりません。

確かめに、幅と真ん中の円周で計算します。幅は6-3で3cm、真ん中の半径は4.5cm、円周は2×3.14×4.5で28.26cmです。3×28.26は84.78平方センチメートルで、先の答えと一致します。面積の答えは平方センチメートル、長さの答えはセンチメートルです。単位を書き分けておくと、途中で何を求めているかを見失いません。

次に、まわりの長さです。外側の円周は2×3.14×6で37.68cmです。内側の円周は2×3.14×3で18.84cmです。この二つを足して、37.68+18.84は56.52cmになります。まとめて2×3.14×(6+3)と計算しても、2×3.14×9で56.52cmです。

もし面積と同じ調子で引き算にすると、37.68-18.84で18.84cmとなります。この18.84cmは内側の円周と同じ値で、外側と内側の差ではあっても、円環の境界を一周した長さではありません。円環のまわりを指でなぞると、外側の円を一周し、続いて内側の円を一周します。二周分の長さがまわりの長さです。

まわりの長さを求めたあと、面積と見比べると、二つの答えはどちらも同じ図から出ています。面積は84.78平方センチメートル、まわりは56.52cmです。数が違うのは、面と線という別の量を測っているからです。どちらの答えにも単位を付け、何を測った値かを添えます。

図2のように、円環の境界は外側の円と内側の円の二本です。面積は内側を除くので引き算、まわりは二本ともなぞるので足し算になります。同じ図でも、問われているものが面なのか線なのかで式が変わります。図2の半径6cmと半径3cmは、この例題の数と同じです。

中心角がつくと弧とまっすぐな辺に分かれる

中心角が90度、外側の半径が8cm、内側の半径が6cmのおうぎ形の帯について、面積とまわりの長さを求めなさい。円周率は3.14とします。

面積は、外側と内側の半径の二乗の差を先に作ります。8×8-6×6は64-36で28です。円全体なら3.14×28ですが、中心角が90度なので4分の1にします。28÷4は7、3.14×7で21.98平方センチメートルです。外側のおうぎ形の面積3.14×64÷4は50.24、内側は3.14×36÷4で28.26、その差を取っても21.98平方センチメートルになります。

別の見方でも確かめられます。帯の幅は8-6で2cm、真ん中の半径は7cmです。真ん中の弧の長さは2×3.14×7÷4で10.99cm、幅2cmにこの弧を掛けると21.98平方センチメートルです。面積差の式と真ん中の弧の式は、同じ値を別の手順で出しています。

まわりの長さは、四本に分けて考えます。外側の弧は、円周2×3.14×8の4分の1です。2×3.14×8は50.24、その4分の1は12.56cmです。内側の弧は2×3.14×6の4分の1で、37.68÷4は9.42cmです。二本のまっすぐな辺は、半径の差8-6の2cmが二本で4cmです。三つを足して、12.56+9.42+4は25.98cmになります。

中心角が180度や120度でも、手順は同じです。180度なら半分、120度なら3分の1を、面積と弧の両方に掛けます。面積は二乗の差に割合を掛け、まわりは弧二本に割合を掛けてから、まっすぐな辺を足します。割合を掛ける場所が面積と弧で違うので、式を分けて書くと安全です。

ここで気をつけるのは、まっすぐな辺を一本だけで数えないことです。帯の断面は二か所にあり、どちらも境界です。片方だけを足すと23.98cmになり、2cmだけ短い答えになります。図に印を付けて、二本とも数えたかを確かめます。

発展として、面積から内側の半径を逆算します。面積が3.14×45平方センチメートルで、外側の半径が9cmの円環があります。内側の半径とまわりの長さを求めなさい。

外側の半径の二乗は81です。円環の面積は3.14×(81-r×r)と書けるので、81-r×rが45になります。81から45を引くと36、r×rが36なので、rは6cmです。6×6が36であることを確かめてから答えにします。半径は長さなので、マイナスの値は考えません。

和と差で探すこともできます。9+rと9-rを掛けると45になり、二つの数の和は18です。和が18で積が45になる組は15と3ですから、9+rが15、9-rが3で、rは6cmです。面積の式を変形する方法と、数を探す方法のどちらでも同じ答えに着きます。

まわりの長さは、2×3.14×(9+6)で、2×3.14×15は94.2cmです。外側の円周は56.52cm、内側の円周は37.68cmで、足すと94.2cmになります。求めた半径6cmを元の面積へ戻すと、3.14×(81-36)で3.14×45、確かに与えられた面積になります。逆算の答えは、必ず面積へ戻して確かめます。

よくある誤答と直し方

中心角90度、外側の半径6cm、内側の半径4cmのおうぎ形の帯で、まわりの長さを求める問題を考えます。面積は3.14×(36-16)÷4で、3.14×20÷4は15.7平方センチメートルです。

誤答の例です。外側の円周から内側の円周を引いて、中心角の割合を掛けます。2×3.14×6は37.68、2×3.14×4は25.12、その差は12.56、4分の1にして3.14cm。この3.14cmは、この帯のまわりの長さではありません。

理由は二つあります。一つ目は、内側の弧を引く線と見ていることです。内側の円を除いても、その縁は穴の境界として残ります。面積では除いた面が減りますが、まわりでは内側の弧が新しく境界に加わります。二つ目は、帯には二本のまっすぐな辺があることです。半径の差は6-4で2cm、これが二本あるので4cmです。弧の計算だけでは、この4cmが抜けます。

正しい求め方は次のとおりです。外側の弧は37.68÷4で9.42cm、内側の弧は25.12÷4で6.28cm、まっすぐな辺は2cmが二本で4cmです。9.42+6.28+4は19.7cmになります。面積の15.7平方センチメートルと、まわりの19.7cmは、同じ帯でも別の式から出た値です。単位も測る量も違うので、一方を他方の確かめに使うことはできません。

直し方として、鉛筆で境界を一周なぞらせます。外側の弧、まっすぐな辺、内側の弧、もう一本のまっすぐな辺の順です。なぞった線の長さを一つずつ書き出せば、足す四本が見えます。面積のときは、帯の面を塗らせます。塗った面は外から内を引いた部分で、なぞった線とは別物だとわかります。

面積とまわりの長さを一問で聞かれたときは、先に面積、次にまわり、と順序を決めておきます。面積の式には二乗の差が、まわりの式には四本の足し算が入ります。式の骨組みが違うので、混ざりようがありません。

もう一つ、中心角の掛け忘れもあります。帯の面積を円環の面積のまま答えたり、まわりの長さを円全体のまま答えたりする間違いです。90度なら4分の1、120度なら3分の1、180度なら半分を、弧と面積の両方に掛けます。面積には掛けたのに弧に掛け忘れると、答えの桁が大きくずれます。

図3のように、帯の境界は四本です。弧が二本と、半径の差が二本です。この四本を足す順番を決めておけば、引き算の式を立てることはなくなります。図3では、まっすぐな二本に2cmの印を付けています。

練習問題

次の5問を解きなさい。円周率はすべて3.14とします。

外側の半径が10cm、内側の半径が7cmで、中心が同じ円環があります。面積とまわりの長さを求めなさい。
中心角が180度、外側の半径が5cm、内側の半径が1cmのおうぎ形の帯があります。面積とまわりの長さを求めなさい。
面積が3.14×24平方センチメートルで、外側の半径が7cmの円環があります。内側の半径を求めなさい。
中心角が120度、外側の半径が18cm、内側の半径が12cmのおうぎ形の帯があります。面積とまわりの長さを求めなさい。
外側の半径が20cm、内側の半径が10cmの円環があります。この円環の面積は、半径10cmの円の面積の何倍ですか。また、この円環のまわりの長さを求めなさい。

練習問題の解答と解き方

面積は3.14×(10×10-7×7)で、100-49は51、3.14×51は160.14平方センチメートルです。まわりの長さは2×3.14×(10+7)で、2×3.14×17は106.76cmです。外側の円周62.8cmと内側の円周43.96cmを足しても106.76cmになります。
中心角が180度なので、円の半分です。面積は3.14×(25-1)÷2で、3.14×24は75.36、その半分は37.68平方センチメートルです。まわりの長さは、外側の弧が2×3.14×5÷2で15.7cm、内側の弧が2×3.14×1÷2で3.14cm、まっすぐな辺が5-1の4cm二本で8cmです。15.7+3.14+8は26.84cmです。半円の帯では、まっすぐな辺は直径の一部ではなく、外側の半径と内側の半径の間の部分です。
外側の半径の二乗は49です。49から24を引くと25、r×rが25なので、rは5cmです。7+5の12と7-5の2を掛けると24になることも確かめられます。面積3.14×24に戻るので、答えは5cmです。
中心角120度は円の3分の1です。半径の二乗の差は324-144で180、3.14×180は565.2、その3分の1は188.4平方センチメートルです。180を3で割って60にしてから3.14を掛けても、同じ188.4になります。まわりの長さは、外側の弧が2×3.14×18÷3で37.68cm、内側の弧が2×3.14×12÷3で25.12cm、まっすぐな辺が18-12の6cm二本で12cmです。37.68+25.12+12は74.8cmです。
円環の面積は3.14×(400-100)で3.14×300、942平方センチメートルです。半径10cmの円の面積は3.14×100で314平方センチメートルです。942÷314は3なので、3倍です。まわりの長さは2×3.14×(20+10)で、2×3.14×30は188.4cmです。