中学受験の算数 底辺の比と面積比—高さの等しい三角形から未知の面積を求める｜武蔵野個別指導塾

一つの頂点から辺を分けると、高さの同じ三角形が二つ並びます。底辺の一部と全体を取り違えないための線分図の読み方から、四角形の面積を引いて求める手順までを、図と式でたどります。分かれ目をつくるのは、いつも底辺の比と面積比です。

底辺を分けた図で、一部分の比を全体の比と読む

よくあるのは、三角形の底辺を一つの点で分けた図を前にして、分けた長さの一方を全体の割合として使ってしまう場面です。底辺が 4cm と 6cm に分かれた図で、短いほうの三角形の面積を全体の 1/2 と考えてしまいます。ところが全体の底辺は 10cm なので、4cm が占める割合は 2/5 です。この一歩を取り違えると、そのあとの計算がどれだけ正確でも答えは合いません。

この単元で扱うのは、高さが同じ三角形どうしの面積の比です。辺の上の点がどこにあるかを読み、部分の比を全体の比に直し、面積へ戻します。その往復ができるかどうかが見られます。

三つの問われ方と、図から読む条件

三角形の底辺を点で分ける図は、聞かれ方によって三つの型に分かれます。どれも高さの同じ三角形を探すという同じ入口から始まりますが、比を当てる相手が型ごとに違います。

一つ目は、全体の面積と底辺の分け方が与えられて、分かれた部分の面積を出す型です。全体を比の合計で等分し、部分がそのいくつ分かを数えます。いちばん基本の形で、比を足して全体を作る手順が身についているかが見られます。

二つ目は、部分の面積から全体の面積を出す型です。一つの部分の面積と、その部分が全体に占める比が与えられます。1 あたりの量を先に求め、それを比の合計倍にします。向きが逆になるだけで、使う考え方は一つ目と同じです。

三つ目は、辺の上に点が二つ以上あったり、四角形の面積を求めさせたりする型です。三角形を二段階に分けてから足すか、全体から不要な三角形を引くか、道が二本に分かれます。どちらの道も、一か所でも高さの違う三角形を混ぜると崩れます。

条件の読み取りでは、まず頂点が共通かを見ます。二つの三角形が同じ頂点を持ち、向かい合う辺が同じ直線上にあれば、高さは一つの線分で表せます。次に、与えられた比が部分と部分なのか、部分と全体なのかを確かめます。BD:DC は部分と部分、BD:BC は部分と全体です。同じ 2:3 でも意味が違います。最後に単位をそろえます。底辺が cm と m で混ざっていたら、比を出す前に直します。

高さが同じなら、面積は底辺の長さに比例する

三角形の面積は、底辺 × 高さ ÷ 2 で求まります。この式のどこが変わって、どこが変わらないかを見るのが、この単元の出発点です。

図1のように、三角形ABCの辺BCの上に点Dをとり、頂点AとDを結びます。できる二つの三角形、三角形ABDと三角形ADCは、どちらも頂点Aを持ち、底辺はともに直線BCの上にあります。Aから直線BCまで引いた垂線の長さは一本しかないので、二つの三角形の高さは同じです。

高さが同じということは、面積の式の中で高さ ÷ 2 の部分が二つとも同じ数ということです。すると面積の大小は、底辺の長さだけで決まります。底辺が 2 倍なら面積も 2 倍、底辺が半分なら面積も半分です。この関係を、面積は底辺に比例すると言います。

式にすると、三角形ABD = 三角形ABC × BD ÷ BC です。BD ÷ BC は、全体の底辺のうちBDが占める割合です。比で書くなら、BD:DC = 2:3 のとき、全体のBCは 2 + 3 = 5 にあたるので、BD:BC = 2:5 となり、三角形ABDは全体の 2/5 になります。

ここで言葉を整理します。BD:DC は、分けた二つを並べた比です。BD:BC は、一部分と全体を並べた比です。図の上ではどちらも線分の比に見えるので、式を立てる前に、今どちらとどちらを比べているのかを声に出して確かめます。

この関係が使えるのは、高さが同じと言い切れるときだけです。頂点が別々の三角形では、底辺が同じ長さでも高さが違えば面積は変わりません。底辺が同じ直線上にない場合も、同じ底辺という言葉では呼べません。図に垂線を一本書き入れて、共通の高さがあることを確かめてから式に進みます。

比を全体へ戻す計算も、この節で一緒に身につけます。部分と部分の比 2:3 は、足すと全体の 5 になります。全体の面積を 5 等分し、2 つ分と 3 つ分に分けます。この足して全体を作る一歩を省くと、部分の比をそのまま全体の割合として使う誤りが起きます。

基本例題　15cm の底辺を 6cm と 9cm に分ける

三角形ABCがあります。辺BCの長さは 15cm で、辺BCの上に点Dがあり、BDは 6cm、DCは 9cmです。三角形ABCの面積が 60cm² のとき、三角形ABDと三角形ADCの面積をそれぞれ求めます。

図2のように、頂点Aから辺BCまで高さを引くと、二つの三角形は同じ高さを共有しています。まずは比を整え、次に全体を等分し、最後に確かめをします。

1. 分けた二つの長さの比を出します。6:9 を 3 で割って 2:3 です。
2. 全体のBCがいくつ分かを出します。2 + 3 = 5 で、BCは 5 にあたります。
3. 三角形ABDと三角形ADCは、頂点Aが共通で、底辺が同じ直線BCの上にあります。高さが同じなので、面積の比は底辺の比と同じ 2:3 です。
4. 全体の面積 60cm² を 5 等分します。60 ÷ 5 = 12 で、1 あたり 12cm² です。
5. 三角形ABDは 2 つ分なので 12 × 2 = 24cm²、三角形ADCは 3 つ分なので 12 × 3 = 36cm² です。
6. 確かめます。24 + 36 = 60 で全体に戻ります。高さを出して別の道からも確かめると、60 × 2 ÷ 15 = 8cm、三角形ABDは 6 × 8 ÷ 2 = 24cm²、三角形ADCは 9 × 8 ÷ 2 = 36cm² で、同じ答えになります。

答は、三角形ABDが 24cm²、三角形ADCが 36cm² です。二つを足すと 60cm² に戻ります。

分数で書くと、三角形ABD = 60 × 2/5 = 24cm²、三角形ADC = 60 × 3/5 = 36cm² です。比の 2 と 3 を、そのまま分母の 5 に対する分子として使えることがわかります。この形に慣れると、途中の 1 あたりを省いて一息で書けます。

ただし、2/5 の 5 は 2 + 3 の 5 です。問題に書かれた二つの数をそのまま分母にしないよう、足す一歩を残しておきます。

標準例題　分点が二つある図を二段階で分ける

三角形ABCがあります。辺BCの上に点Dがあり、BD:DC = 2:3 です。辺ADの上に点Eがあり、AEとEDの長さは等しいとします。三角形ABCの面積が 100cm² のとき、三角形ABEの面積を求めます。

1. まず、三角形ABDと三角形ADCに分けます。二つは頂点Aが共通で、底辺が直線BCの上にあるので、高さが同じです。
2. BD:DC = 2:3 なので、BD:BC = 2:5 です。三角形ABD = 100 × 2/5 = 40cm² になります。
3. 次に、三角形ABDを点Eで分けます。三角形ABEと三角形EBDは、頂点Bが共通で、底辺が直線ADの上にあります。この二つも高さが同じです。
4. AE = ED なので AE:AD = 1:2 です。三角形ABE = 40 × 1/2 = 20cm² になります。

答は 20cm² です。確かめると、三角形EBDも 40 × 1/2 = 20cm² で、合わせて三角形ABDの 40cm² に戻ります。三角形ADCは 100 × 3/5 = 60cm² なので、全体は 40 + 60 = 100cm² のままです。

この形で気をつけるのは、二段階のそれぞれで、高さの同じ組を選び直すことです。一段目の組は頂点A、二段目の組は頂点Bで、頂点が入れ替わります。ここを混ぜると、40 × 1/2 と書くべきところを 100 × 1/2 と書いてしまいます。

条件が変わった場合も見ておきます。AE:ED = 1:3 なら、AE:AD = 1:4 なので三角形ABE = 40 × 1/4 = 10cm² です。比の 1 が相手にしているのは ED であって AD ではない、という読み方がそのまま点数に現れます。

発展例題　四角形の面積を二つの道で求める

三角形ABCがあります。辺BCの上に点Dがあり、BD:DC = 3:2 です。辺ABの上に点Eがあり、AE:EB = 1:3 です。三角形ABCの面積が 60cm² のとき、四角形AECDの面積を求めます。

まず全体から引く道で進めます。三角形ABCから三角形BDEを取り除けば、残りが四角形AECDです。

1. 三角形ABD = 60 × 3/5 = 36cm² です。頂点Aが共通で、底辺が直線BCの上にある組から出しました。
2. 三角形BDEと三角形BDAは、頂点Dが共通で、底辺が直線ABの上にあります。高さが同じです。
3. BE:BA を出します。AE:EB = 1:3 なので、ABは 1 + 3 = 4 にあたり、BE:BA = 3:4 です。
4. 三角形BDE = 36 × 3/4 = 27cm² です。
5. 四角形AECD は 60 から 27 を引いて 33cm² になります。

次に、残りを足す道でも同じ答えになるか確かめます。四角形AECDを、三角形ADCと三角形AEDに割ります。

1. 三角形ADC = 60 × 2/5 = 24cm² です。
2. 三角形AEDと三角形ABDは、頂点Dが共通で、底辺が直線ABの上にあります。AE:AB = 1:4 なので、三角形AED = 36 × 1/4 = 9cm² です。
3. 24 + 9 = 33cm² で、引き算の道と同じ答えになりました。

二つの道が同じ 33cm² に着くことで、比の当て方が正しいと確かめられます。引き算の道は全体から白い部分を消す見方、足し算の道は残った四角形を三角形二つに割る見方です。図の見方が変わっても、高さの同じ組を探す作業は同じです。

条件を変えた場合も確かめます。AE:EB = 1:2 なら、BE:BA = 2:3 で三角形BDE = 36 × 2/3 = 24cm²、四角形は 60 から 24 を引いて 36cm² です。足し算の道では、AE:AB = 1:3 より三角形AED = 36 × 1/3 = 12cm²、三角形ADC = 24cm²、合わせて 36cm² です。こちらでも二つの道がそろいます。

一部分の比を全体の比と取り違えた誤答

三角形ABCの面積が 90cm² で、辺BCの上の点Dが BD:DC = 1:2 を満たすとき、三角形ABDの面積を求める場面を考えます。図3は、その場面を線分図で表したものです。

多い誤答は、90 × 1/2 = 45cm² とするものです。1:2 の 1 を、全体の半分と読んでいます。1 が向かい合っているのは 2 であって、全体ではありません。全体は 1 + 2 = 3 です。

直し方は、線分図を書くことです。BCを 3 等分し、BDに 1 つ分、DCに 2 つ分を当てます。三角形ABD = 90 × 1/3 = 30cm² です。確かめると、三角形ADC = 90 × 2/3 = 60cm² で、30 + 60 = 90cm²、30:60 = 1:2 となり、条件に戻ります。

図3のように、全体を 3 つに区切ってから 1 つ分を読むと、割る数が 2 ではなく 3 だと見えます。誤答の 45 は、全体を 2 つに区切ったときの一片です。区切る数が違えば、面積も変わります。

二つ目の誤りは、高さの違う三角形に同じ比を使うことです。三角形BDEと三角形ABCのように、頂点も底辺の直線も違う組を、BD:BC だけで比べても面積比にはなりません。高さが共通でないからです。

この場合の直し方は、頂点を共有する組に分け直すことです。三角形BDEは三角形ABDと組にし、三角形ABDは三角形ABCと組にします。どちらの組も頂点が共通で、底辺が同じ直線上にあります。二段階に分ければ、各段階で高さが同じ組だけを使えます。

三つ目の誤りは、見た目で大きいほうを 2 と決めることです。図の上では点が中央寄りに見えても、条件は数字で書かれています。条件の順序を読み、図に長さや比を書き込んでから計算します。

四つ目の誤りは単位です。底辺が 1.2m と 30cm で示されたとき、そのまま 1.2:30 としないで、120cm と 30cm に直して 4:1 とします。比は同じ単位どうしでしか作れません。

高さが同じと書かれていない場合も検討します。図から頂点と底辺の位置を読み、共通の高さがあると言えるかどうかを確かめます。言えないときは、その比を面積比として使ってはいけません。

練習問題

五問です。答えは次の節にまとめてあります。まず自分で図を書き、比の合計を辺の横に添えてから計算します。

1. 三角形ABCの辺BCは 24cm で、点DはBCの上にあり、BDは 9cm です。三角形ABCの面積が 96cm² のとき、三角形ABDと三角形ADCの面積を求めます。
2. 三角形ABCの辺BCの上に点Dがあり、BD:DC = 4:5 です。三角形ABDの面積が 28cm² のとき、三角形ABCと三角形ADCの面積を求めます。
3. 三角形ABCの辺BCの上に点Dがあり、BD:DC = 5:3 です。辺ADの上に点Eがあり、AE:ED = 1:4 です。三角形ABCの面積が 160cm² のとき、三角形ABEと三角形EBDの面積を求めます。
4. 三角形ABCの辺BCの上に点Dがあり、BD:DC = 3:4 です。辺ACの上に点Eがあり、AE:EC = 3:1 です。三角形ABCの面積が 84cm² のとき、三角形CDEの面積を求めます。
5. 三角形ABCの辺BCの上に二点D、Eがあり、BD:DE:EC = 1:2:5 です。三角形ABCの面積が 96cm² のとき、三角形ADEの面積を求めます。

解答と解き方

1

BD:DC = 9:15 = 3:5 です。BCは 3 + 5 = 8 にあたるので、96 ÷ 8 = 12 で 1 あたり 12cm² です。三角形ABD = 12 × 3 = 36cm²、三角形ADC = 12 × 5 = 60cm² になります。

確かめます。高さは 96 × 2 ÷ 24 = 8cm で、三角形ABDは 9 × 8 ÷ 2 = 36cm²、三角形ADCは 15 × 8 ÷ 2 = 60cm² です。36 + 60 = 96cm² で全体に戻ります。

2

BD:DC = 4:5 なので、BCは 4 + 5 = 9 にあたります。三角形ABDの 28cm² が 4 つ分なので、28 ÷ 4 = 7 で 1 あたり 7cm² です。三角形ABC = 7 × 9 = 63cm²、三角形ADC = 7 × 5 = 35cm² になります。

確かめます。28:35 = 4:5 で、28 + 35 = 63cm² です。部分の比がそのまま全体の中で保たれています。

3

BD:DC = 5:3 なので、BD:BC = 5:8 です。三角形ABD = 160 × 5/8 = 100cm² になります。

AE:ED = 1:4 なので、AE:AD = 1:5 です。三角形ABE = 100 × 1/5 = 20cm²、三角形EBD = 100 × 4/5 = 80cm² になります。

確かめます。20:80 = 1:4 で、20 + 80 = 100cm² です。三角形ADC = 160 × 3/8 = 60cm² なので、全体も 100 + 60 = 160cm² でそろいます。

4

BD:DC = 3:4 なので、DC:BC = 4:7 です。三角形ADC = 84 × 4/7 = 48cm² になります。

AE:EC = 3:1 なので、CE:CA = 1:4 です。三角形CDEと三角形CDAは頂点Dが共通で、底辺が直線ACの上にあるので、三角形CDE = 48 × 1/4 = 12cm² です。

確かめます。三角形ADE = 48 × 3/4 = 36cm² で、12 + 36 = 48cm² になります。三角形ABD = 84 × 3/7 = 36cm² を足すと 84cm² で全体に戻ります。

5

BD:DE:EC = 1:2:5 なので、BCは 1 + 2 + 5 = 8 にあたります。96 ÷ 8 = 12 で 1 あたり 12cm² です。三角形ADE = 12 × 2 = 24cm² になります。

確かめます。三角形ABD = 12cm²、三角形AEC = 12 × 5 = 60cm² で、12 + 24 + 60 = 96cm² です。三つの比も 1:2:5 のままそろっています。

覚えておくこと

• 高さが同じ三角形では、面積の比は底辺の比と同じになります。
• BD:DC は部分と部分、BD:BC は部分と全体です。式の前にどちらかを確かめます。
• 部分と部分の比は、足して全体の比に直します。2:3 なら全体は 5 です。
• 分点が二つ以上ある図は、高さの同じ組を選び直しながら二段階に分けます。
• 全体から引く道と、残りを足す道の両方で確かめると、比の当て方が見えます。

つまずきの見分け方

図を書かずに式から始めた子は、まず比の相手を取り違えます。ノートの図に、全体の辺の横へ 5 のような比の合計を書き込めているかを見ます。書けていなければ、点の位置は読めても全体との関係が頭に入っていない証拠です。

声を出して解かせると、1 対 2 だから半分という言葉が出ます。この言葉が出たら、その場で線分図を 3 つに区切らせます。区切ったあと、小さい部分が全体のいくつ分かを指で数えさせると、1/3 という言い方に変わります。

式の途中で止まる子は、二段階のどこで頂点が変わったかを見失っています。三角形ABDから三角形ABEへ進む場面なら、底辺がBCからADに移ったことを指でなぞらせます。高さの線を一本引き直せば、次にどの比を使うかが見えます。

答えが合わないときは、求めた面積を足して全体に戻るかを確かめさせます。戻らなければ、比の合計を分母にしていない箇所があります。四角形の答えなら、引いた三角形と残りの三角形を足して、元の三角形になるかを見ます。

分けた長さを見たら、まず全体がいくつ分かを指でなぞる。その一歩が、面積の分かれ方を決めます。