中学受験の算数 流水算の往復—同じ道のりを基準に上り下りの時間を比べる｜武蔵野個別指導塾

片道が等しい往復を時間の逆比から解き、船の静水時の速さと、全道のりから求める平均とを区別します。

よくあるのは、川を船で往復する問題で、上りと下りの速さを足して2で割り、それを往復の速さとしてしまう場面です。行きと帰りの距離は同じでも、流れに逆らう上りのほうが長い時間を使います。速さの平均を求めるには、実際に進んだ道のりと、実際にかかった時間を組にして考えます。

川の流れと、流れのない水面での船の速さは一定とします。両端では待たずに折り返し、途中で止まりません。以下の数字は考え方を調べるための自作の条件です。

どの量を手がかりにするか

往復の問いには、片道の距離とそれぞれの時間から、流れのない水面での船の速さを求める型があります。上りも下りも、道のりを時間で割れば、岸から見た速さが出ます。その2つを比べて、流れの分を取り除きます。

別の型では、上りと下りの時間と流速が与えられ、片道の距離は伏せられます。同じ距離を進むので、速さの比は時間の比を逆にしたものです。速さの差は流速の2倍ですから、比の1目盛りの大きさを決められます。最後に速さと時間を掛けて、片道の距離へ戻します。

さらに、往復全体の平均の速さを問う型があります。このとき求めるのは、上りの速さでも下りの速さでもなく、全道のりを全時間で割った値です。表に「片道」と「往復」を書き分けると、距離を片道のままにして時間だけ往復にする間違いを防げます。

問題を読んだら、まず時間が片道ごとなのか、往復の合計なのかを確かめます。合計だけではそれぞれの時間は決まりません。ほかに時間の比や差などの条件があるかを探します。距離の単位と時間の単位も、計算する前にそろえましょう。

等しい距離を比の土台にする

流れがないときの船の速さを、ここでは静水時の速さと呼びます。下りでは流れが船を押すので、岸から見た速さは静水時の速さに流速を足したものです。上りでは流れに逆らうため、静水時の速さから流速を引きます。上りの速さが正になることも条件です。

下りから上りを引くと、静水時の部分が消えて流速が2つ分残ります。片方は足した流速、もう片方は引いた流速です。差が流速そのものではない理由を、図1のように2つの端の間で確かめてください。色の部分はそれぞれ流速1つ分です。

図1で静水時の端を境にすると、上りと下りの端の間は等しい長さに分かれ、どちらも流速を表します。したがって、上下の速さの差を2で割ると流速が求まります。逆に流速が先にわかっていれば、その2倍が速さの差です。

同じ道のりを進むとき、時間が長いほうは速さが小さくなります。たとえば上りが3時間、下りが2時間なら、上りの1時間分を3つ、下りの1時間分を2つ集めると同じ距離です。全体を6等分して考えると、上りの1時間分は2つ分、下りの1時間分は3つ分です。よって上りと下りの速さの比は2対3です。

時間の比をそのまま速さの比にすると、時間の長い上りが速いことになってしまいます。逆にする操作は、等しい距離をそれぞれ何時間で分けたかから生まれます。距離が違う2つの移動には、この逆比をそのまま使えません。

基本例題：速さの差から片道へ

船が川の2地点を往復します。上りに3時間、下りに2時間かかり、流速は時速2kmです。静水時の船の速さを整数の時速で、片道の距離を整数のkmで求めてください。

図2のように、同じ片道を6等分して、上りと下りの1時間分を並べます。これは距離を等しく区切った図です。1時間あたりの進み方を比べるので、2つ分と3つ分がそのまま速さの比になります。

上りと下りの時間の比は3対2です。したがって速さの比は2対3です。流速が時速2kmなので、上下の速さの差は次のようになります。

2 × 2 = 4（時速km）

速さの比の差は3 − 2 = 1です。比の1つ分が時速4kmにあたります。したがって、それぞれの速さは次のとおりです。

上り：4 × 2 = 8（時速km）

下り：4 × 3 = 12（時速km）

静水時は上りに流速を足して、8 + 2 = 10（時速km）です。下りから流速を引いても12 − 2 = 10（時速km）です。片道は8 × 3 = 24（km）です。

答えは静水時が時速10km、片道が24kmです。条件に戻すと、上りは24 ÷ 8 = 3時間、下りは24 ÷ 12 = 2時間です。速さの差も12 − 8 = 4で、流速の2倍に一致します。上りの速さは正ですから、川を上れる設定です。

この問題で比の差を使えるのは、流速によって上下の速さの差の実際の大きさがわかるからです。比が2対3という情報だけでは、時速2kmと3kmでも、時速20kmと30kmでも同じ比になります。比の目盛りを実際の速さに換える材料を見落とさないようにします。

標準例題：距離から時間を作る

船が同じ2地点の間を上りに4時間、下りに2時間かけて進みました。流速は時速1.5kmです。静水時の速さを小数の時速で、片道の距離を整数のkmで求めてください。

時間の比は4対2、つまり2対1です。同じ距離なので、上りと下りの速さの比は1対2です。流速の2倍は1.5 × 2 = 3（時速km）です。比の差は2 − 1 = 1ですから、1つ分は時速3kmです。

上りは3 × 1 = 3（時速km）、下りは3 × 2 = 6（時速km）です。静水時の速さは3 + 1.5 = 4.5（時速km）、片道の距離は3 × 4 = 12（km）です。答えは時速4.5kmと12kmです。

戻して確かめると、12 ÷ 3 = 4時間、12 ÷ 6 = 2時間です。下りの6から流速1.5を引いても静水時は4.5になり、上りも正の速さです。時間の比を簡単にしても、元の時間を距離の計算に使う点に注意します。比の2は2時間を表す数ではなく、比を簡単にした後の目盛りです。

発展例題：往復の平均を別に求める

船が川の2地点を往復しました。上りに5時間、下りに3時間かかり、流速は時速2kmです。静水時の速さは整数の時速で、往復全体の平均の速さは小数の時速で求めてください。

時間の比5対3を逆にすると、上りと下りの速さの比は3対5です。流速2つ分に当たる速さの差は2 × 2 = 4（時速km）です。比の差は5 − 3 = 2なので、比の1つ分は4 ÷ 2 = 2（時速km）になります。上りは2 × 3 = 6、下りは2 × 5 = 10（いずれも時速km）です。

静水時の速さは上りに流速を戻し、6 + 2 = 8（時速km）です。片道は上りから6 × 5 = 30（km）、下りからも10 × 3 = 30（km）と求まります。往復では30 × 2 = 60（km）を5 + 3 = 8（時間）で進むので、平均の速さは60 ÷ 8 = 7.5（時速km）です。答えは静水時が時速8km、往復の平均が時速7.5kmです。

条件に戻すと、静水時8から流速2を引けば上り6、足せば下り10になり、それぞれ5時間と3時間で同じ30kmを進みます。平均の7.5に全時間8をかけても60kmになり、往復の距離に戻ります。

上りと下りの速さだけを平均して8とすると、8時間の道のりは64kmとなり、実際より4km多くなります。往復では両方向に使う時間が異なるため、速さの平均も全道のりと全時間から計算します。

間違えた式を距離に戻す

先ほどの発展例題で、6と10の平均を取って時速8kmと答える誤りを考えます。図3のように、2つの速さにかかる時間は5時間と3時間で異なります。同じ距離でも、速い下りに費やす時間は短くなります。

図3のように、上りと下りを1時間ずつ同じ時間走った場合なら、速さの単純な平均は使えます。しかしこの往復では、上りが5時間、下りが3時間です。速いほうを上りと同じ5時間として扱うと、下りの道のりを実際より長く見積もります。

修正は、各区間の道のりを足し、各区間の時間を足してから割ることです。30 + 30 = 60（km）、5 + 3 = 8（時間）、60 ÷ 8 = 7.5（時速km）です。比を使う解法でも、最後の平均を出す段階では比の目盛りだけでなく、実際の道のりと時間に戻します。

もう1つの誤りは、時間の比5対3をそのまま上りと下りの速さの比にすることです。上りが長い時間を使うのに速いという結果になり、流れの向きと合いません。等しい30kmを5時間と3時間に分けてみれば、1時間分はそれぞれ6kmと10kmです。数を入れて逆比の向きを確認できます。

練習：条件を自分の表に移す

どの問題も船と流れの速さは一定で、両地点の間の距離は上りも下りも同じです。折り返しの待ち時間はありません。まず5問を解いてから、下の解答で道のりと時間を確かめてください。

1. 荷物を運ぶ船は上りに4時間、下りに3時間かかります。流速が時速1kmのとき、静水時の速さを整数の時速で、片道の距離を整数のkmで求めてください。
2. 渡し場の間を往復する船は上りに3時間、下りに1時間かかります。流速が時速3kmのとき、上りと下りの速さをそれぞれ整数の時速で求めてください。
3. 川沿いの2地点の間は片道18kmです。船は上りに3時間、下りに2時間かかります。流速と静水時の速さをそれぞれ小数の時速で求めてください。
4. 観測用の船は上りに6時間、下りに4時間かかります。流速は時速1kmです。往復全体の平均の速さを小数の時速で求めてください。
5. 物資を運ぶ船は上りに2時間、下りに1時間かかり、流速は時速2kmです。片道の距離を整数のkmで、往復全体の平均の速さを既約分数の時速で求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 速さの比は3対4、差は時速2kmです。1つ分は時速2kmなので、上り6、下り8（時速km）です。静水時は6 + 1 = 7（時速km）、片道は6 × 4 = 24（km）です。24 ÷ 6 = 4時間、24 ÷ 8 = 3時間で元の条件に戻ります。答えは時速7kmと24kmです。

2. 速さの比は1対3、差は3 × 2 = 6（時速km）です。比の差2つ分が6なので、1つ分は3です。上りは時速3km、下りは時速9kmです。片道は3 × 3 = 9（km）で、下りも9 × 1 = 9（km）です。静水時は上りに3を足した時速6kmで、流れを加減すると両方の速さを再現します。

3. 上りは18 ÷ 3 = 6、下りは18 ÷ 2 = 9（時速km）です。差3の半分が流速なので1.5（時速km）、静水時は6 + 1.5 = 7.5（時速km）です。7.5から1.5を引き、また足すと6と9です。それぞれに3時間、2時間を掛けると同じ18kmに戻ります。

4. 速さの比は4対6、つまり2対3です。差は時速2kmなので、上りは時速4km、下りは時速6kmです。片道は4 × 6 = 24（km）です。下りも6 × 4 = 24（km）です。往復48kmに10時間かかるので、平均は48 ÷ 10 = 4.8（時速km）です。4.8 × 10 = 48で往復の距離を再現します。

5. 速さの比は1対2、差は時速4kmです。上りは時速4km、下りは時速8kmで、片道は4 × 2 = 8（km）です。下りも8 × 1 = 8（km）です。往復16kmを3時間で進むので、平均は時速16/3kmです。16/3 × 3 = 16で、道のりに戻ります。16と3に共通の約数は1なので既約分数です。

手元に残す要点

• 同じ距離なら、上りと下りの速さの比は時間の比を逆にします。
• 上下の速さの差は流速の2倍です。
• 速さと時間から片道を出し、両方向で同じ距離になるか確かめます。
• 往復の平均は全道のりを全時間で割ります。
• 上りの速さが正か、答えの形式が指定に合うかも見ます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが時間の比をそのまま速さに使ったときは、同じ距離を長い時間で進む船の1時間分を、短い時間の船と比べてもらいます。たとえば紙の同じ長さを3つと2つに分ければ、1つ分の大小を目で追えます。逆に、比は正しいのに実際の速さが出ない場合は、流速の2倍が比の差に対応することを図の端からたどります。

個別指導で確かめる箇所は、答えだけでなく、片道の距離を上りと下りの両方から再現できるかという点です。平均が静水時と同じになった場合は、全道のりと全時間を書いてから掛け戻してみます。距離、時間、速さのどれを今扱っているかが見えれば、往復の条件を落ち着いて読み直せます。