中学受験の算数 時計算の重なり—長針が縮める角度を一分ごとの表で求める｜武蔵野個別指導塾

短針も動く時計で、角度の差を分数分に直し、指定時刻の後の最初の針の重なりを追います。

よくあるのは、長針が短針に追いつく時刻を求めるとき、短針を時の目盛りに止めたまま計算してしまう場面です。長針が進む間に、短針も少し先へ進みます。その分まで追いかけなければ、2本は同じ向きになりません。

時計の盤面を1周すると360度です。この角度を使い、最初の差と1分間に縮まる差を比べます。時計の針は一定の速さで連続して動くものとします。答えに分数が出ても、途中で小数に丸めず、そのまま時刻に直します。

どの時点から追いかけるか

問い方の1つは、ちょうど何時から最初に重なる時刻を求めるものです。たとえば2時ちょうどなら、長針は12、短針は2を指します。まず2本の間にある角度を調べ、長針がその差を縮める時間を求めます。

もう1つは、何時何分という途中の時刻から、次に重なる時刻を探すものです。このとき短針は時の目盛りからすでに進んでいます。長針が短針より進んでいる場合には、長針がもう1周近く進んで後ろから追いつくまでを考えます。単に小さい方の角度を選ぶと、追いつく方向を取り違えることがあります。

指定された時刻にすでに重なっている場合もあります。「その時刻の後」とあれば、出発点そのものは答えに含めません。反対に「その時刻を含めて」とあれば、出発点を候補に入れます。求めるものが経過時間なのか、時計の示す時刻なのかにも印をつけておきましょう。

1分間の動きをそろえて見る

時計の長針は60分で1周するので、1分に 360 ÷ 60 = 6度進みます。短針は12時間、つまり720分で1周するので、1分に 360 ÷ 720 = 1/2度進みます。どちらも同じ向きへ進みますが、長針の方が速いので、長針が後ろにある間は差が1分に 6 − 1/2 = 11/2度ずつ縮まります。

図1のように、追いつく方向に沿った差を線分に置くと、長針が進んだ角度のうち短針の進んだ分を除いた部分が、もとの差を埋めることが見えます。線分は角度の大きさを表します。実際の針の長さを比べる図ではありません。

表の2行目は、1分の進みをそれぞれ2倍したものです。差も同じように2倍になります。分数分でも、一定の速さで動くので同じ関係が成り立ちます。したがって、追いつくために縮める差を 11/2度で割ると、必要な分数が得られます。

時刻の目盛りは12等分されているので、隣同士は 360 ÷ 12 = 30度です。ただし短針は1時間に30度動くため、2時30分なら2の位置からさらに15度進んでいます。時の数字だけを読み、分の進みを消してはいけません。

基本例題：3時からの追いかけ

3時ちょうどの後、長針と短針が初めて重なる時刻を求めます。答えは何時何分か、分を既約分数で表してください。

3時には長針が12、短針が3にあります。12から3までの時計回りの角度は、目盛り3つ分です。長針が後ろから追いつくまでに縮める差は次のとおりです。

30 × 3 = 90度

図2では、90度を追いつく前の差として置いています。1分に縮まる 11/2度を何回分集めればよいかを考えます。

90 ÷ 11/2 = 90 × 2/11 = 180/11分

180/11分は 16と4/11分です。したがって答えは 3時16と4/11分 です。16分と4/11分が3時からの経過時間なので、時刻には3時を付けます。

この答えを針の位置に戻します。長針が12から進む角度は 6 × 180/11 = 1080/11度です。短針は3時の90度からさらに 1/2 × 180/11 = 90/11度進むので、90 + 90/11 = 1080/11度です。両方が同じ角度になりました。経過時間は正で、差が一定の速さで90度から0度へ減る間には先に重なる時点がないため、これが初めてです。

「90 ÷ 6」とすると15分で長針が3の目盛りへ着きます。しかし、その15分間に短針は 15/2度進みます。15分後はまだ針が離れています。どちらの針も動くことを、答えを戻す検算で確かめられます。

標準例題：途中の時刻から始める

4時10分の後、初めて2本の針が重なる時刻を、分を既約分数で表して求めます。

長針は12から10分進んでいるので、6 × 10 = 60度です。短針は4時の位置120度から10分間に5度進み、120 + 5 = 125度です。この時点で長針は短針より時計回りに65度後ろです。図にするなら、同じ12の方向を起点に60度と125度の位置を取り、その間を65度と書きます。

65 ÷ 11/2 = 130/11分

これが4時10分からの経過時間です。10 + 130/11 = 240/11 = 21と9/11なので、答えは 4時21と9/11分 です。経過時間をそのまま時計の分として答えないようにします。

元の時刻から検算します。4時から 240/11分後、長針は 6 × 240/11 = 1440/11度進みます。短針は 120 + 1/2 × 240/11 = 1440/11度の位置です。求めた時刻は4時10分より後です。開始時の差65度は正で、その差は1分に11/2度ずつ縮まるため、それ以前に重なりはありません。

ここでの分かれ目は、10分という数を短針にも使う点です。短針を120度に止めると、差は60度となり、実際の65度より小さくなります。出発時の2本の位置をそれぞれ12から測ってから、差を取ると整理できます。

発展例題：長針が先にいるとき

5時40分の後、初めて2本の針が重なる時刻を、分を既約分数で表して求めます。

5時40分の長針は 6 × 40 = 240度の位置です。短針は 30 × 5 + 1/2 × 40 = 170度の位置です。長針は短針より時計回りに70度先へ進んでいます。この70度をそのまま 11/2度で割ると、長針がさらに先へ進む向きを無視してしまいます。

短針から長針までの70度とは反対側を、長針が追いかけるべき差として見ます。盤面を1周して短針へ届くまでの差は 360 − 70 = 290度です。これを1分に 11/2度ずつ縮めます。

290 ÷ 11/2 = 580/11分

580/11分は 52と8/11分です。5時40分から50分で6時30分、残りは2と8/11分なので、答えは 6時32と8/11分 です。途中で6時を越えますが、針の速さは変わりません。

別の見方でも確かめます。5時から 40 + 580/11 = 1020/11分後です。長針は 6 × 1020/11 = 6120/11度進み、1周の360度を除くと 2160/11度です。短針は 150 + 1/2 × 1020/11 = 2160/11度です。位置が一致し、答えは5時40分の後にあります。開始時の追いつく方向の差290度が、途中で0になるのはこの時点ですから、最初という条件も満たします。

盤面で2本の間の小さい角度を見つけることと、長針が追いつくための差を決めることは別です。始点と進む向きを指でたどれば、どちら側を使うか判断できます。長針が短針より後ろならその間、先なら1周から先行分を除いた間です。

誤答の位置から直す

基本例題で「3時15分」とした答えを考えます。90度を長針の1分間の進み6度で割った計算です。図3のように、15分後の長針は3の位置に着きますが、短針はそこから7と1/2度先へ進んでいます。重なったと思った場所に短針がいないことが、誤りを見分ける手がかりです。

原因は短針を止めたことです。修正するときは、長針が1分に6度、短針が1分に1/2度進むと書き、差の縮みを 6 − 1/2 = 11/2度と置き直します。15分後の残り7と1/2度も、同じ縮まる速さで割れば 15/11分です。15 + 15/11 = 180/11分となり、基本例題の答えに戻ります。

別の誤りは、割って出した経過時間をそのまま時刻の分にすることです。4時10分からの問題なら、求めた時間を4時10分に足します。さらに、時を越えたときに60分を1時間へ直したかを見ます。分数を無理に小数へ直すと、正確な重なりの位置からずれるので、分数のまま足し引きします。

出発点が重なるときの考え方

12時ちょうどに2本が重なっている時計を考えます。「12時の後に初めて」と聞かれたら、出発点の12時は含めません。長針は短針より速く進み、次に追いつくには短針に対して1周分の360度を余分に進む必要があります。360 ÷ 11/2 = 720/11分後です。出発直後には長針が先に出るため、0分を答えに戻してはいけません。

一方、「12時以降で最初」と指定された場合は、12時そのものを含めます。答えを探す前に、境界を含む言葉かどうかを確かめると、この2つを区別できます。重なりが起きないと早合点したり、次の重なりを同じ時刻だと数えたりせず、出発点から追いつく方向にたどります。

練習：針の出発点を描く

次の5問は、いずれも針が一定の速さで動く時計です。各指定時刻の後に初めて重なる時刻を、分を既約分数で表してください。問題を一通り考えてから、下の解答に進みます。

1. 1時ちょうどの後の時刻を求めます。
2. 7時ちょうどの後の時刻を求めます。
3. 2時5分の後の時刻を求めます。
4. 8時20分の後の時刻を求めます。
5. 11時55分の後の時刻を求めます。

求める前に、長針と短針の位置を12からの角度で書いてみましょう。問題3から5は、時の目盛りから短針がどれだけ進んだかも必要です。問題5では12時をまたぐかどうかも確かめます。

練習の答えと戻し方

1. 1時5と5/11分。開始時の差は30度なので、30 ÷ 11/2 = 60/11分です。長針は 6 × 60/11 = 360/11度、短針は 30 + 1/2 × 60/11 = 360/11度です。正の時間で差が初めて0になっています。

2. 7時38と2/11分。差は 30 × 7 = 210度です。210 ÷ 11/2 = 420/11分。長針の位置は 6 × 420/11 = 2520/11度、短針は 210 + 210/11 = 2520/11度です。差が連続して縮まるので、これが最初です。

3. 2時10と10/11分。2時5分の長針は30度、短針は 60 + 5/2 = 125/2度です。差は 65/2度で、経過時間は 65/2 ÷ 11/2 = 65/11分です。5分に足すと 120/11分です。長針は 720/11度、短針は 60 + 60/11 = 720/11度です。開始時刻より後で、それまで差は正です。

4. 8時43と7/11分。8時20分の長針は120度、短針は 240 + 10 = 250度です。差130度を縮める時間は 130 ÷ 11/2 = 260/11分です。20分に足すと 480/11分です。長針は 2880/11度、短針は 240 + 240/11 = 2880/11度です。追いつく前に差が0になることはありません。

5. 12時ちょうど。11時55分の長針は330度、短針は 330 + 55/2 = 715/2度です。差は55/2度で、55/2 ÷ 11/2 = 5分です。開始時刻から5分後なので12時です。長針は360度、短針も 330 + 30 = 360度で、12の方向に重なります。開始時の差は正で、4分後にはまだ 11/2度残るため、もっと早い重なりはありません。

どの問題でも、計算で得た経過時間が正か、指定時刻から足して求める時刻になっているかを確かめます。位置の検算では、1周を越えた角度は360度を引けば同じ向きとして比べられます。開始点を含む条件に変えた場合は、その時点で針が重なっているかを先に調べる必要があります。

覚えておくこと

長針は1分に6度、短針は1分に1/2度進みます。 追いつく方向の差は1分に11/2度縮まります。 差を11/2で割り、指定時刻に経過時間を足します。 答えを2本の針の位置と指定範囲に戻します。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが計算の途中で迷ったら、まず指定時刻に2本の針を描いてもらいます。短針が時の目盛りの上に止まっていれば、分が進む間に短針も動くことを、1分から表にして確かめます。2本の位置が正しいのに差を逆に取る場合は、長針が時計回りに追いつく道を指でたどります。

個別指導で確かめたいのは、式の答えだけでなく、差が何を表すかを本人の言葉で説明できるかです。さらに、求めた時刻を元に戻して両方の位置が一致するか、開始時刻の後という条件を満たすかを別々に見ます。針の動きを両方追えば、重なりの瞬間までの道筋が見えてきます。