中学受験の算数 折り返しの角度—重なる辺と折り目から等しい角を見つける｜武蔵野個別指導塾

折り目と重なる辺がつくる角を手がかりに、元の角を復元する折り返しの角度。

よくあるのは、小学生が紙を折った後の図を見て、見えている角をそのまま元の角だと考える場面です。折り返された辺は元の場所から動いています。紙を開く前と後のどちらの辺なのかを確かめないと、同じ頂点にある別の角を足したり引いたりしてしまいます。折り目と、そこをはさんで重なる2本の線を探すところから始めましょう。

どの角を復元するか

1つ目は、折り目と元の辺がつくる角から、折り目と折り返された辺がつくる角を求める型です。折り目をはさんだ2つの角は等しくなります。ただし、折った部分の位置と、動かずに残った辺の位置を図で区別します。

2つ目は、折り返された辺と動かない辺の角から、折る前の角を求める型です。見えている角を折り目で分けられるときは、まず等しい角を取り出します。その後、元の辺を折る前の位置に戻し、必要な角を足します。折り目が見えている角の内側にないときには、同じ足し方はできません。

3つ目は、直線の角や直角と組み合わせる型です。直線上の隣り合う角の和は180度、直角は90度です。折り返しで等しい角を見つけてから、残りの角を引き算で求めます。数字が多いときほど、どの角とどの角の和が直線や直角なのかを指でなぞると整理できます。

折り目が角を二等分する理由

図1のように、点Oを通る直線を折り目として、半直線OAを半直線OBに重ねます。AとBは折り目から同じ距離になるように対応させた点です。線分ABは折り目と直角に交わり、交点をMとするとAMとBMの長さは等しくなります。

図1で、紙を折るとOAはOBに重なり、折り目上のOMは動きません。したがって角AOMと角MOBもぴったり重なります。重なる角の大きさは等しいので、折り目OMは角AOBを2つの等しい角に分けます。これが折り目による角の二等分です。折ると長さや角度が変わらず、裏返って重なることが根拠です。

ここでいう角AOBは、折る前の辺OAと、その移った位置を表すOBの間の角です。折った後の紙の輪郭に現れる角が、いつもこの角全体とは限りません。動かない辺が折り目の間に入ることも、外側にあることもあります。図に記された角がどの2本の線の間なのかを、頂点から両方の辺へたどって確かめます。

折り目上の点が動かないことも重要です。頂点が折り目上にあるときは、その頂点を中心に元の辺と移った辺を比べられます。頂点が折り目上にないときは、頂点自体が移動するので、この説明をそのまま当てはめられません。また、偶然同じ大きさに見える2つの角でも、折り返しで重なることが条件から言えなければ等しいとは決められません。

線を描き足すときは、元の辺を実線、移った位置を点線などで区別すると見失いにくくなります。点線は見えないところに補った位置を表すための印です。線の長さを見た目で比べるのではなく、どの線が折る操作で重なったかを先に決めます。

折り目が角を二等分するという話は、角を二等分する線ならどれでも紙に描かれた折り目だという意味ではありません。ここでは折る操作によって辺が重なることが先に与えられています。その情報から、2つの角が等しいと判断します。逆に、角が等しいとだけ書いてある場合は、紙がどの範囲で重なるかまで決められません。

紙の一部分を折ると、折り返された部分と下に残る部分が重なって見えることがあります。重なった領域の境界は、折り返された辺と、動かない辺のどちらからできているかを分けて読みます。角の大きさを考えるときには、紙の色が重なる範囲ではなく、角をつくる2本の半直線に注目します。必要なら紙を開いた図を別に描き、移動前後の辺を同じ頂点から描き入れましょう。

基本例題：折り目から両側へ

問題：図2のように、点Oを通る折り目OCで、辺OAが辺OBに重なるように紙を折ります。折り目OCは角AOBの内側にあり、角AOCは35度です。角AOBを整数で何度か求めてください。

図2のように、OAは折るとOBに重なります。折り目OCは動きません。角AOCと角COBは折ったときに重なるので等しくなります。

角COBは35度です。

角AOBは角AOCと角COBの和です。

35度 + 35度 = 70度です。

答えは70度です。折り目が角AOBの内側にあるため、2つの角を足して全体にできます。逆に70度を折り目で2つに分けると35度ずつになり、与えられた角AOCに戻ります。

ここでは35度を2倍しましたが、どの角でも数を見てすぐ2倍するわけではありません。2倍できるのは、求めたい角が、折り目をはさんだ等しい2つの角を合わせたものだからです。例えば動かない別の辺との角を求めるなら、その辺がどこにあるかをさらに調べる必要があります。

標準例題：折った後の角から戻す

問題：点Oから出る半直線OA、OC、OD、OBがこの順に並びます。OCを折り目としてOAがOBに重なります。角AOCは50度、角DOBは20度です。角AODを整数で何度か求めてください。

角AOCと角COBは、折り返しで重なるので等しくなります。

角COBは50度です。

ODは角COBの内側にあります。角CODと角DOBを合わせると角COBです。

角CODは50度 − 20度 = 30度です。

角AODは角AOCと角CODを合わせた角です。

角AODは50度 + 30度 = 80度です。

答えは80度です。確かめると、角AOBは50度 + 50度 = 100度です。求めた80度に角DOBの20度を足すと100度となり、折り返しによる全体の角に戻ります。

別の見方では、最初に角AOBを100度とし、そこから角DOBの20度を引きます。こちらも80度です。どちらの方法でも、ODがOCとOBの間にあるという順序が必要です。図を見ずに50度から20度を引くだけでは、その差がどの角なのかが定まりません。

発展例題：直線の角と比を使う

問題：点Oを通る直線上に、Oをはさんで反対向きの半直線OAとODがあります。直線の同じ側に、OAからODへ向かってOC、OBの順に半直線があります。OCを折り目としてOAがOBに重なります。角COBと角BODの大きさの比が2対1のとき、角AOCと角BODをそれぞれ整数で何度か求めてください。

角AOCと角COBは折り返しで重なるので等しくなります。角COBを2つ分とすると、角AOCも2つ分です。角BODは1つ分です。

直線上の角AODは180度です。

角AOC、角COB、角BODを合わせると180度です。

全体は2 + 2 + 1 = 5つ分です。

1つ分は180度 ÷ 5 = 36度です。

角AOCは36度 × 2 = 72度です。

角BODは36度です。

答えは角AOCが72度、角BODが36度です。72度、72度、36度を順に足すと180度です。また、角COBと角BODは72対36で2対1です。折り目の両側も72度ずつで、折る条件に戻ります。

比の2対1を、そのまま直線の角に割り振らないことが要点です。直線の角には、比に挙がっていない角AOCも含まれています。折り返しで角COBと同じ大きさの角がもう1つあるので、2対1の2つ分と1つ分に、さらに2つ分を加えます。

別に、角AOBを4つ分と見る方法もあります。折り目の両側が各2つ分なので、角AOBは4つ分です。その隣の角BODが1つ分で、合わせて5つ分が180度となります。どちらも角の並びを確認してから分ける点は同じです。

間違えた角を図に戻す

問題：点OからOA、OC、OD、OBの順に半直線があり、OCを折り目にOAがOBに重なります。角AOCが40度、角DOBが15度のとき、角AODを求めます。ある人は40度 + 15度 = 55度と答えました。

図3のように、15度はODとOBの間の角です。求める角AODの内側には入っていません。そのため、40度に15度を足しても角AODにはなりません。

まず角COBは折り返しにより40度です。角CODは40度 − 15度 = 25度です。したがって角AODは40度 + 25度 = 65度です。全体の角AOBは80度で、65度と15度を合わせても80度になります。

誤答を直すときは、式の数字だけを見直すより、15度の両端を図上で指すことが役立ちます。角AOCと角DOBの間には角CODが残っています。足す前に、求める角がどの小さい角からできているかを確認します。

条件不足にも気をつけます。辺OAがOBに重なるという記述がなく、折り目らしい線と2本の辺が描かれているだけなら、角AOCと角COBが等しいとは決められません。見た目が左右対称に近くても同じです。また、ODがOCとOBの間にあるという条件がなければ、40度から15度を引いて角CODを決めることはできません。線の順序や重なり方が与えられているかを先に確認します。

練習問題

いずれも、点Oを通る折り目OCで半直線OAが半直線OBに重なり、OCは角AOBの内側にあります。角度を何度か求めてください。1から4は整数、5は小数で答えます。線の並びは、それぞれ問題に書いた順です。

1. 角AOCが28度です。角AOBを求めてください。
2. 角AOBが126度です。角AOCを求めてください。
3. OA、OC、OD、OBの順に半直線があります。角AOCが47度、角DOBが18度です。角AODを求めてください。
4. OAとODは点Oをはさんで反対向きです。直線の同じ側でOA、OC、OB、ODの順に半直線があり、角BODが44度です。角AOCを求めてください。
5. OAとODは点Oをはさんで反対向きです。直線の同じ側でOA、OC、OB、ODの順に半直線があります。角COBと角BODの比が3対2です。角AOCと角BODを求めてください。

練習問題の答えと解き方

1の答え

角COBは角AOCと等しく28度です。角AOBは28度 + 28度 = 56度です。56度を2つに分けると28度ずつとなり、元の条件に戻ります。

2の答え

折り目OCは角AOBを等しく2つに分けます。角AOCは126度 ÷ 2 = 63度です。63度を2つ合わせると126度となります。半分にする対象は角AOB全体です。

3の答え

角COBは47度です。角CODは47度 − 18度 = 29度です。角AODは47度 + 29度 = 76度です。76度に18度を加えると94度で、47度を2つ合わせた角AOBに戻ります。

4の答え

角AOBは180度 − 44度 = 136度です。角AOCは136度 ÷ 2 = 68度です。68度を2つ合わせ、さらに44度を加えると180度です。直線の角と、折り目の両側が等しい条件の両方を満たします。

5の答え

角COBを3つ分、角BODを2つ分とすると、角AOCも3つ分です。直線の角は3 + 3 + 2 = 8つ分です。1つ分は180度 ÷ 8 = 22.5度です。角AOCは22.5度 × 3 = 67.5度、角BODは22.5度 × 2 = 45度です。答えはそれぞれ67.5度、45度です。

67.5度、67.5度、45度を足すと180度です。また67.5対45は3対2です。途中の1つ分が整数にならない場合もあるので、計算の途中で丸めません。小数のまま計算すると、指定された比を保てます。

覚えておくこと

折り目上の点は動かず、元の辺と移った辺は折ると重なります。
折り目をはさむ2つの角は等しく、折り目はその角を二等分します。
足し算や引き算の前に、角の両端と線の並びを確かめます。
直線の角は180度で、折り返しの等しい角も含めて分けます。

つまずきを見分けるには

お子さまが「40度と15度だから足す」と言ったら、それぞれの角の両端を指してもらいます。求める角の内側を隙間なくたどれなければ、足す角の組み合わせを見直せます。数の計算が合っていても、図上の範囲が合わないことがあります。

個別指導では、折る前の辺、折り目、折った後の辺を別々に指せるかを確かめます。次に、折り目をはさむ等しい角に同じ印を付けてもらい、なぜ等しいかを言葉で尋ねます。さらに、答えを元の直線や比の条件に戻し、角の和が合うかまで追います。折り目を境に辺の位置を戻せれば、見えている角と元の角を区別できます。