中学受験の算数 二等辺三角形の角度—等しい辺を印にして頂角と底角を求め分ける｜武蔵野個別指導塾

正三角形の60度を手がかりに、底角を追う鍵は二等辺三角形。

よくあるのは、二等辺三角形を回転させて底辺が横向きでなくなると、どの角が底角なのか見失う場面です。紙の下側にある辺を底辺と思い込むと、等しくない角を同じ大きさとして計算してしまいます。辺の長さの条件を図に書き込み、等しい辺が集まる頂点を探すと、図の向きが変わっても角を選べます。

角度を求める前に、どの三角形を見ているかを点の名前で決めましょう。大きな三角形とその中の小さな三角形では、同じ辺の一部を使っていても、頂角と底角の位置が変わることがあります。

角度はどのように問われるか

一つ目は、頂角から底角を求める形です。残った2つの角は等しいので、三角形の3つの角の和から頂角を引き、残りを2等分します。反対に、底角がわかっているときは、その2つ分を3つの角の和から引けば頂角が出ます。どちらを先に引き、何を2等分するのかが違います。

二つ目は、正三角形と二等辺三角形を重ねた形です。正三角形の1つの角は60度です。その60度の一部が別の三角形の角になっているとき、既知の部分を引けば残りがわかります。点が辺の上にあるという条件は、角を足したり引いたりできる範囲を決めるために必要です。

三つ目は、底角の比や角度の差から大きさを戻す形です。同じ大きさの角を同じ印で表し、三角形の角の和を等しい部分に分けて考えます。比の数字がどの角を表すかを先に決めると、頂角と底角を取り違えずにすみます。

どの形でも、与えられていない辺の等しさを見た目で補わないことが出発点です。図が傾いていても、印や文章の条件が角を選ぶ根拠になります。

等しい辺と向かい合う角

二等辺三角形は、2つの辺の長さが等しい三角形です。その2辺が交わる頂点の角を頂角、残る辺を底辺、その両端の角を底角と呼びます。図1のように、底辺は紙の下にある辺とは限りません。等しい辺を先に探すと、残る辺とその両端が決まります。

図1では辺ABと辺ACが等しく、頂角は角A、底角は角Bと角Cです。辺ABと辺ACに同じ印を付け、角Bと角Cが底角です。辺の印と角の印を区別して書くと、どの条件から何がわかったかを後でたどれます。

底角が等しい理由は、頂点Aから底辺BCの真ん中へ線を引いて考えられます。折り目をその線にして折ると、同じ長さのABとACが重なり、底辺の両半分も重なります。三角形の両側が重なるので、BとCの角も等しくなります。この関係は三角形を回しても変わりません。

三角形の3つの角を切り取って並べると一直線になり、合わせて180度です。したがって、頂角がわかれば、180度からそれを引いた残りが底角2つ分です。底角がわかれば、その2つ分を引いた残りが頂角です。

正三角形では3辺が等しく、どの頂点を頂角に選んでも二等辺三角形です。3つの角も等しいので、180度を3等分した60度になります。正三角形の辺と別の三角形の辺が等しいかどうかは、共有している辺と問題の条件をつないで確かめます。近くに描かれた辺が自動的に等しくなるわけではありません。

基本例題：底角から頂角を求める

三角形ABCはABとACが等しい二等辺三角形です。角Bは68度です。角Aを度で求めてください。

図2のように、等しい辺ABとACの交点Aが頂角の頂点です。底辺はBCなので、角Bと角Cが底角です。図2を見ながら、次の順に角を埋めます。

1. ABとACが等しいので、底角Bと底角Cは等しいです。
2. 角Bが68度だから、角Cも68度です。
3. 底角2つの和は68 + 68で136度です。
4. 3つの角の和は180度なので、角Aは180 − 136で44度です。

答えは44度です。44度、68度、68度を合わせると180度になり、底角も等しいので元の条件に戻ります。68度を180度から引いて2で割ると、68度を頂角として扱ったことになります。引く前に頂角の位置を指で示すと防げます。

別の見方では、底角2つは68度の2倍とまとめられます。それでも最初に2つが等しい理由を書いておけば、2倍の対象が明確です。頂角が先に与えられる問題では、この手順を逆にたどり、残りを2等分します。

条件を図に写す順序

文章で「ABとACが等しい」と書かれていたら、まずAから出る2本の辺に印を付けます。同じ印が付いた2辺を指でたどって交点を見つけ、その角に頂角と書きます。残った辺BCの両端が底角です。底角はいつも図の下に並ぶとは限らず、三角形の向きを変えても点の名前と辺の関係は変わりません。

角の名前は真ん中の文字が頂点を表します。例えば角BACはAを頂点として、ABとACにはさまれた角です。角ABCはBが頂点なので、同じ3文字を使っていても別の角です。複数の線が1つの頂点から出ている図では、角Bと省略せずに3文字で書けば、どの2本にはさまれた角かも区別できます。

計算後には、求めた角だけでなく、その途中で使った角も三角形に書き戻しましょう。3つを合わせて180度か、等しい辺に対応する底角が同じかを確かめます。和が180度でも、等しいはずの底角が異なっていれば、別の三角形の数値を混ぜた可能性があります。正三角形がある場合には、その3つの角が60度ずつであることも点検します。

標準例題：正三角形の角を分ける

正三角形ABCの辺ABの外側に点Dをとり、三角形ABDはADとBDが等しい二等辺三角形とします。角ADBは40度です。角DBCを度で求めてください。線分BDは直線ABをはさんで点Cと反対側にあります。

1. 三角形ABDの底辺はABです。
2. 底角DABとDBAの和は180 − 40で140度です。
3. 2つは等しいので、角DBAは140 ÷ 2で70度です。
4. 角ABCは正三角形の角なので60度です。
5. BAをはさんでBDとBCは反対側にあるので、角DBCは70 + 60で130度です。

答えは130度です。70度を2つと40度を合わせると180度です。また130度から正三角形の60度を引くと70度に戻ります。外側にあるという条件がなければ、2つの角を足す判断はできません。線の位置を確かめずに60度を引くと、別の配置を計算することになります。

発展例題：比から角度を復元する

正三角形ABCの辺ABの外側に点Pをとります。PAとPBが等しく、角APBと底角PBAの大きさの比は2 : 5です。角PBCを度で求めてください。線分BPは直線ABをはさんで点Cと反対側にあります。

三角形PABの底角は角PABと角PBAです。頂角を2にあたる大きさとすると、底角はそれぞれ5にあたります。3つの角を合わせた180度を、等しい部分に分けて考えます。

1. 3つの角の比は2 : 5 : 5です。
2. 比の合計は2 + 5 + 5で12です。
3. 比の1にあたる角は180 ÷ 12で15度です。
4. 底角PBAは15 × 5で75度です。
5. 正三角形の角ABCは60度です。
6. BAをはさんで2つの角を合わせ、角PBCは75 + 60で135度です。

答えは135度です。頂角APBは15 × 2で30度、底角は75度ずつです。30 + 75 + 75は180度で、頂角と底角の比も30 : 75、すなわち2 : 5に戻ります。135度から60度を引いても75度となり、外側の三角形の底角に戻ります。

比の合計を2 + 5として7にすると、底角が2つあることを落とします。比は違う種類の角の数ではなく、3つの角それぞれに割り当てて足します。逆に、底角の和と頂角の比が与えられた場合は、底角の和をひとまとまりとしてから2等分する必要があります。言葉が指す範囲を図に書いて選び分けましょう。

誤答を直す：下にある辺を底辺と決めない

図3の三角形DEFでは、DEとEFが等しく、角Dは35度です。等しい辺の交点はEなので、底辺はDF、底角はDとFです。角Eは180 − 35 − 35で110度です。

図3のように頂点Eが右にあると、下側の辺EFを底辺と思い、角Dを頂角として残りを2等分する誤りが起こります。この計算では角Eと角Fを等しいと扱っていますが、条件が示す等しい辺はDEとEFです。等しい辺の向かい側の角はそれぞれFとDであり、Eはその交点です。

直すときは、まずDEとEFに同じ印を付けます。次に印の交点Eに頂角の印を付け、残るDとFに同じ角の印を付けます。Fも35度と書き、最後に180度から2つを引きます。35 + 35 + 110で180度に戻るかも確認します。

図に等しい辺の印も文章の条件もない場合は、傾きや長さの見た目が似ていても底角が等しいとは決められません。また、角の位置が外側か内側かが不明なときは、足すか引くかを決める前に点の位置を確認します。条件不足を見つけたら、図を都合よく決めて計算を続けないことが必要です。

練習問題

答えはすべて度で求めてください。図は条件に合わせて自分で描き、等しい辺に印を付けます。

1. 三角形ABCはABとACが等しく、角Aは46度です。角Bを求めてください。
2. 三角形DEFはDEとEFが等しく、角Fは52度です。角Eを求めてください。
3. 正三角形GHIの辺GHの外側に点Jをとります。JGとJHが等しく、角GJHは80度です。直線GHをはさんでJとIは反対側にあります。角JHIを求めてください。
4. 二等辺三角形KLMはKLとKMが等しく、頂角Kと底角Lの比は4 : 7です。角Kを求めてください。
5. 正三角形RSTの辺RSの外側に点Uをとります。URとUSが等しく、角USTは128度です。直線RSをはさんでUとTは反対側にあります。角RUSを求めてください。

練習問題の答えと解き方

1

ABとACが等しいので、底角BとCは等しいです。2つの和は180 − 46で134度です。134 ÷ 2で、角Bは67度です。46 + 67 + 67は180度となり、2つの底角も等しくなります。

2

等しい辺DEとEFの交点Eが頂角です。底角Dは角Fと等しく52度です。角Eは180 − 52 − 52で76度です。76 + 52 + 52は180度となり、元の底角の条件にも合います。

3

三角形GJHの底角の和は180 − 80で100度です。底角JHGは100 ÷ 2で50度です。正三角形の角GHIは60度なので、角JHIは50 + 60で110度です。110 − 60は50度で、50 + 50 + 80も180度です。

4

底角LとMが等しいので、3つの角の比は4 : 7 : 7です。合計は18で、比の1は180 ÷ 18で10度です。角Kは10 × 4で40度です。底角はそれぞれ70度で、40 + 70 + 70は180度、40 : 70は4 : 7に戻ります。

5

正三角形の角RSTは60度です。角USRは128 − 60で68度です。URとUSが等しいため、底角URSも68度です。角RUSは180 − 68 − 68で44度です。44 + 68 + 68は180度で、68 + 60は与えられた128度に戻ります。

覚えておくこと

• 等しい2辺の交点が頂角の頂点です。
• 残る辺の両端の底角は等しく、3つの角の和は180度です。
• 正三角形の角はそれぞれ60度です。
• 角を足すか引くかは、線と点の位置で決めます。
• 求めた角を元の条件と180度の和に戻します。

つまずきを見分けるには

お子さまが答えを出したら、どの三角形のどの2辺が等しいかを図で指してもらいます。辺の印は合っていても、交点以外を頂角にしていれば、図を回して同じ点を追う練習が役立ちます。計算が合わない場合は、式の180度がどの三角形の角の和かを尋ねると、別の三角形の角を混ぜたかどうかが見えます。

個別指導では、角を足した式と図の角の範囲を対応させ、線が角の内側にあるか外側にあるかを言葉で確かめます。条件が足りない図では「見た目では決められない」と説明できるかも見ます。等しい辺の印を手がかりにすれば、図の向きが変わっても、それぞれの底角を正しく追えるようになります。