大学入試数学 最大確率と試行回数—成功回数を固定して回数を増やすときの増減を比較する｜武蔵野個別指導塾

ちょうど2回成功する確率は、試行回数を増やすほど上がり続けるとは限りません。隣り合う確率の比を1と比べれば増加が止まる位置がわかり、同率で並ぶ二つの回数も見落とさずに済みます。決め手は、確率の比と試行回数です

文化祭の射的で、輪ゴムを飛ばす回数を増やせば、ちょうど2回当たる確率もどこまでも上がると考えてしまう。よくあるのは、こうして試行を増やすほど、ちょうど指定した回数だけ成功する確率も大きくなると思い込む場面です。ところが実際に数えると、その確率は途中まで上がり、ある回数を境に下がり始めます。回数を増やすほど「ちょうど r 回」という条件が狭くなり、余分な失敗を並べる場合が増えるためです。

ここで動かすのは試行回数だけです。1回あたりの成功確率 p と、数えたい成功回数 r は問題文で固定し、n を r 以上で1つずつ増やしたときの確率を並べます。問われ方は3つに分かれます。1つ目は、n を1増やすと確率が増えるか減るか。2つ目は、確率が最も大きくなる n がどこか、同じ値で並ぶ n があるか。3つ目は、挑戦できる回数に上限があるとき、最大が上限の側に寄るかどうかです。

どれも、確率を毎回はじめから計算し直す必要はありません。隣り合う2つの確率の比を1と比べれば、増えるか減るかが1つの不等式で決まります。比の作り方と、境目の整数の扱いを順に確かめます。

増減は隣り合う確率の比で決まる

毎回の成功確率が同じ p で、前の回の結果が次の回に影響しない試行を考えます。失敗の確率を q = 1 − p と置き、n 回の試行でちょうど r 回成功する確率を Pₙ と書きます。n は r 以上の整数で、0 < p < 1 とします。p = 1 の場合は後で別に扱います。

Pₙ = C(n,r) × pʳ × qⁿ⁻ʳ

C(n,r) は n 個から r 個を選ぶ組合せの数で、n 回のうちどの r 回で成功するかを数えています。pʳ は成功した r 回分、qⁿ⁻ʳ は失敗した n-r 回分の確率です。

n を1増やしたときの変化を見るために、Pₙ₊₁ を Pₙ で割ります。組合せの比は、分子と分母を並べて約分すると (n+1)/(n+1-r) になります。

Pₙ₊₁/Pₙ = (C(n+1,r)/C(n,r)) × q
= ((n+1)/(n+1-r)) × q

この比が1より大きければ Pₙ₊₁ は Pₙ より大きく、1より小さければ小さく、ちょうど1なら同じ値です。比が1より大きくなる条件を1行ずつ整理します。

(n+1)q > n+1-r
(n+1)(1-p) > n+1-r
n+1-p(n+1) > n+1-r
p(n+1) < r
n+1 < r/p
n < r/p - 1

つまり、n < r/p − 1 の間は確率が増え、n > r/p − 1 になると減ります。境目の数 m = r/p − 1 がどこに来るかで、最大の位置が決まります。図1は、比と増減の対応をまとめたものです。

図1のように、確率そのものを計算しなくても、比が1より大きいか小さいかで次の値が上がるか下がるかがわかります。ここで気をつけるのは、m が整数になるかどうかです。m が r 以上の整数のときは、n = m で比がちょうど1になり、m 回の確率と m+1 回の確率が同じ値で並びます。m が整数でないときは、m を超える最小の整数で増加から減少に切り替わります。どちらの場合も、最大となる n は m の前後2つ以内に収まります。

n は r 以上であることも効きます。m が r より小さいときは、選べる n がすべて m より大きいので、比は最初から1を下回り、確率は n = r で最大になります。r = 1 なら p > 1/2 のときがこの場合にあたります。p = 1 のときも m = r − 1 で同じ側に入り、n = r の確率が1、それより大きい n では0になります。

さらに、比 (n+1)q/(n+1-r) は n が増えると小さくなります。(n+1)/(n+1-r) = 1 + r/(n+1-r) と変形でき、n が増えると r/(n+1-r) が小さくなるからです。したがって、一度比が1を下回ると、その先はずっと1より小さいままです。増えて減ってまた増える、という形にはなりません。この性質があるので、最大を探すときに調べるのは境目の前後だけで足ります。

基本例題　ちょうど2回当たる確率が最も高い回数

（標準）1回の射撃で的に当たる確率が 1/3 の輪ゴム鉄砲があります。撃つ回数が2回以上7回以下のとき、ちょうど2回当たる確率が最も大きくなる回数と、そのときの確率を求めなさい。回数はすべて答え、確率は既約分数で答えなさい。

p = 1/3、q = 2/3、r = 2 です。Pₙ = C(n,2) × (1/3)² × (2/3)ⁿ⁻² に n を入れて、1つずつ計算します。

n = 2 のとき、C(2,2) = 1 で、P₂ = 1 × 1/9 × 1 = 1/9。 n = 3 のとき、C(3,2) = 3 で、P₃ = 3 × 1/9 × 2/3 = 2/9。 n = 4 のとき、C(4,2) = 6 で、P₄ = 6 × 1/9 × 4/9 = 24/81 = 8/27。 n = 5 のとき、C(5,2) = 10 で、P₅ = 10 × 1/9 × 8/27 = 80/243。 n = 6 のとき、C(6,2) = 15 で、P₆ = 15 × 1/9 × 16/81 = 240/729 = 80/243。 n = 7 のとき、C(7,2) = 21 で、P₇ = 21 × 1/9 × 32/243 = 672/2187 = 224/729。

計算し直さずに比で確かめます。n = 2 のとき比は 3/(3-2) × 2/3 = 2 で、P₃ は P₂ の2倍です。n = 3 では 4/2 × 2/3 = 4/3、n = 4 では 5/3 × 2/3 = 10/9 と、1より大きいままです。n = 5 では 6/4 × 2/3 = 1 となり、P₆ = P₅ です。n = 6 では 7/5 × 2/3 = 14/15 で、1を下回ります。

図2は、n を2から7まで並べた確率の増減を表したものです。

図2のように、値は n = 5 と n = 6 で同じ高さになり、n = 7 で下がります。したがって、確率が最も大きくなる回数は5回と6回で、その確率は 80/243 です。

答えを場面に戻して確かめます。共通の分母 729 で比べると、n = 4 は 216/729、n = 5 と n = 6 は 240/729、n = 7 は 224/729 です。n = 5 と n = 6 が同じで最も大きいことが、表の全行の比較でも確かめられます。n = 3 の 2/9 は、3回のうち2回当たる並びが3通りあり、それぞれ (1/3)² × (2/3) = 2/27 なので、3 × 2/27 = 6/27 = 2/9 と、場合を書き並べても一致します。

n = 5 も同じ方法で数え直せます。5回のうち2回当たる並びは C(5,2) = 10 通りで、どの並びも当たり2回と外れ3回なので、確率はどれも (1/3)² × (2/3)³ = 8/243 です。10 通り分を足すと 10 × 8/243 = 80/243 になり、式で出した値と一致します。n = 6 では並びが15通りに増える一方、1通りあたりの確率が (1/3)² × (2/3)⁴ = 16/729 に下がります。15 × 16/729 = 240/729 を約分すると 80/243 で、並びの増え方と1通りあたりの減り方がちょうど打ち消し合う回数が、この例では n = 5 と n = 6 だったことになります。

標準例題　1回だけ当たる確率が下がり始める回数

（やや難）抽選会のルーレットは、1回まわすと 2/5 の確率で当たりが出ます。ちょうど1回当たる確率が最も大きくなる回数を求め、そのときの確率を既約分数で答えなさい。また、その回数の前後で確率がどう変わるかを、比を使って説明しなさい。

r = 1、p = 2/5、q = 3/5 です。r = 1 のときは、比の式が少し簡単になります。C(n+1,1)/C(n,1) = (n+1)/n なので、Pₙ₊₁/Pₙ = (n+1)/n × 3/5 です。

比が1より大きくなる条件は次のとおりです。

(n+1)/n × 3/5 > 1
3(n+1) > 5n
3 > 2n
n < 3/2

n は1以上の整数なので、この条件を満たすのは n = 1 だけです。n = 1 では P₂ が P₁ より大きくなり、n = 2 以降は1つ増えるたびに小さくなります。したがって最大は n = 2 です。

値を確かめます。P₁ = C(1,1) × 2/5 = 2/5、P₂ = C(2,1) × (2/5) × (3/5) = 12/25、P₃ = C(3,1) × (2/5) × (3/5)² = 54/125 です。比は P₂/P₁ = 6/5 で1より大きく、P₃/P₂ = 9/10 で1より小さいので、n = 2 が山の頂上になります。最大の確率は 12/25 です。

別の見方もできます。ちょうど1回当たる確率は n × (2/5) × (3/5)ⁿ⁻¹ と書けます。n を1増やすと、前の n という因数が n+1 に増える一方で、(3/5) をもう1つ掛けます。n が2以上のときは、増える割合より掛ける数の方が小さく、全体は下がります。比で見た計算と同じ結論です。

この例では、回数を1回から2回に増やしたときだけ確率が上がります。3回以上に増やすと、ちょうど1回だけ当たる確率は下がり続けます。「当たりやすくなるのだから、回数を増やすほど1回だけ当たる確率も上がる」という予想は、n = 2 より先では成り立ちません。

小数に直して並べると、2/5 = 0.4、12/25 = 0.48、54/125 = 0.432、216/625 = 0.3456、162/625 = 0.2592 です。0.4 から 0.48 へ上がり、そこから 0.432、0.3456 と下がります。1回増えるごとの下がり幅は 0.048、0.0864、0.0864 です。比が 9/10、4/5、3/4 と小さくなるほど、次の値は前の値より小さくなります。当たりやすい試行でも、ちょうど1回だけという条件は、回数を増やすほど満たしにくくなるわけです。

発展例題　上限があるときは端点も比べる

（難）検査装置は、1回の測定で異常を検出する確率が 1/4 です。測定は最大8回までとします。ちょうど3回検出する確率が最も大きくなる測定回数と、その確率を求めなさい。また、回数の上限を外した場合に最も大きくなる回数を求め、上限がある場合と比べなさい。確率は既約分数で答えなさい。

r = 3、p = 1/4、q = 3/4 です。境目は m = r/p − 1 = 12 − 1 = 11 です。比は (n+1)/(n-2) × 3/4 で、これが1より大きくなる条件を整理します。

(n+1)/(n-2) × 3/4 > 1
3(n+1) > 4(n-2)
3n+3 > 4n-8
n < 11

測定回数は3回以上8回以下なので、この範囲のすべての n で比が1より大きくなります。つまり P₃ < P₄ < … < P₈ と、8回まで増え続けます。上限が8回なので、最大は n = 8 です。

値を求めます。P₈ = C(8,3) × (1/4)³ × (3/4)⁵ = 56 × 1/64 × 243/1024 = 13608/65536 = 1701/8192 です。

上限を外すと、境目の n = 11 で比がちょうど1になり、n = 11 と n = 12 が同じ値で並びます。その確率は C(11,3) × (1/4)³ × (3/4)⁸ = 165 × 1/64 × 6561/65536 = 1082565/4194304 です。上限8回の 1701/8192 を分母 4194304 に直すと 870912/4194304 で、上限なしの最大より小さいことがわかります。

この二つを比べると、上限の有無で答えが変わる場面が見えます。上限 N が境目 m 以下なら、確率は上限まで増え続けるので n = N が最大です。上限 N が m より大きければ、内部の山がそのまま残り、m の前後が最大になります。上限が答えを変えるのは、山の頂上が上限の外にあるときです。

比の計算で検算します。n = 8 の比は (9/6) × 3/4 = 9/8 で1より大きく、P₉ は P₈ より大きくなります。n = 11 の比は (12/9) × 3/4 = 1 で P₁₂ = P₁₁、n = 12 の比は (13/10) × 3/4 = 39/40 で1より小さくなります。山の頂上が11回と12回に並ぶことが、比だけでも確かめられます。

上限がもっと小さい場合も見ておきます。上限が3回なら、選べるのは n = 3 だけで、P₃ = C(3,3) × (1/4)³ = 1/64 が答えです。上限が5回なら、比は5回までずっと1より大きいので P₅ が最大になります。上限がちょうど境目の11回なら、P₁₁ が最大で、12回は選べません。どの場合も、上限の内側で比が1を下回る回数が来るかどうかだけを見れば決まります。

誤答を直す　比の分母と同率の最大

最初によく出る誤りは、組合せの比の分母を取り違えるものです。C(n+1,2)/C(n,2) を (n+1)/2 と計算してしまい、比を (n+1)/2 × 2/3 = (n+1)/3 とします。この式では n が3以上のとき比がいつも1より大きいので、「回数を増やすほど確率は上がる」という結論になります。正しい分母は n+1-r、いまは r = 2 なので n-1 です。

理由は、組合せの比が「分子が何倍になるか」と「分母が何倍になるか」の両方で決まることにあります。C(n+1,r) は n+1 個から r 個を選び、C(n,r) は n 個から r 個を選びます。両方を書き下して約分すると (n+1)/(n+1-r) になり、r の値が分母に残ります。r を1つの数として扱うと、この残りが消えてしまいます。

直し方の1つは、小さな数を入れて確かめることです。n = 2、r = 2 なら C(3,2)/C(2,2) = 3/1 = 3 です。誤った式の (n+1)/2 は 1.5 になり、3 にはなりません。その場で誤りに気づけます。もう1つは、r = 1 の式と見比べることです。r = 1 では分母が n になり、r = 2 では n-1 になります。r が増えるほど分母が小さくなる、という形を覚えておくと取り違えにくくなります。

誤った式が何を予想するかを、具体的な回数で見ておきます。r = 2、p = 1/3 の基本例題で、誤った比は (n+1)/3 です。n = 6 では 7/3 となり、1より大きいので「7回目は6回目より確率が高い」と予想します。実際の比は 14/15 で、7回目の 224/729 は6回目の 240/729 より小さい値です。式を立てた時点で誤りが入ると、表を作る前から増減の向きが逆になり、最後まで気づけないまま答えを書いてしまいます。

二つ目の誤りは、最大が1つだけだと決めつけることです。基本例題で n = 5 の 80/243 を答えにして、n = 6 の同じ値を見落とすと、答えが片方だけになります。境目 m が整数のときは比がちょうど1になるので、隣り合う2つの回数が同じ最大になります。先に m を計算し、整数なら2つ並ぶと書く手順にしておけば防げます。

三つ目の誤りは、上限を無視することです。発展例題で n = 11 と答えると、測定が8回までという条件に反します。上限がある問題では、まず上限 N と境目 m の大小を比べ、N が m 以下なら n = N を答えにします。図3は、1つ目の誤りと正しい式を並べたものです。

図3のように、誤った式は分母が r や n のままで、正しい式は n+1-r が残ります。式の形が違うと増減の向きも変わるので、比を立てた直後に小さな数で1回確かめるのが確実です。

練習問題

練習1（標準）バスケットボールのフリースローが1回で成功する確率は 3/5 です。試行回数が1回以上5回以下のとき、ちょうど1回成功する確率が最も大きくなる回数と、その確率を求めなさい。

練習2（標準）袋から赤玉が出る確率が 1/3 の抽選を、玉を戻しながら繰り返します。ちょうど4回赤玉が出る確率が最も大きくなる試行回数を、すべて求めなさい。

練習3（やや難）1回で当たりが出る確率が 1/5 のくじを、最大15回まで引けます。ちょうど2回当たる確率が最も大きくなる回数と、その確率を求めなさい。確率は既約分数で答えなさい。

練習4（やや難）硬貨を投げ、表が出る確率を 1/2 とします。投げる回数が3回以上4回以下のとき、ちょうど3回表が出る確率が最も大きくなる回数と、その確率を求めなさい。

練習5（難）1回で成功する確率が 2/3 のゲームを繰り返します。ちょうど3回成功する確率が最も大きくなる試行回数と、その確率を求めなさい。さらに n = 10 のときの P₁₁/P₁₀ を求め、n = 10 から11に増やすと確率が下がることを示しなさい。

答えと解き方

練習1（答え: 1回、3/5） r = 1、p = 3/5、q = 2/5 です。比は (n+1)/n × 2/5 で、1より大きくなる条件は 2(n+1) > 5n、つまり n < 2/3 です。n は1以上なので、この条件を満たす n はありません。したがって n = 1 からすでに減少し、最大は n = 1 で、確率は 3/5 です。確かめると、P₂ = 2 × 3/5 × 2/5 = 12/25 = 0.48 で、3/5 = 0.6 より小さい値です。増加が一度も起きず、端点が最大になる例です。

練習2（答え: 11回と12回） r = 4、p = 1/3、q = 2/3 です。境目は m = r/p − 1 = 12 − 1 = 11 で、整数です。比は (n+1)/(n-3) × 2/3 で、1より大きくなる条件は 2(n+1) > 3(n-3)、つまり n < 11 です。n = 11 で比がちょうど1になり、P₁₁ = P₁₂ です。n = 12 では比が1より小さくなります。よって最大となる回数は11回と12回です。n = 10 の比は (11/7) × 2/3 = 22/21 で1より大きく、n = 12 の比は (13/9) × 2/3 = 26/27 で1より小さいので、11回で山を越えることが確かめられます。

練習3（答え: 9回と10回、589824/1953125） r = 2、p = 1/5、q = 4/5 です。境目は m = 10 − 1 = 9 で、整数です。比は (n+1)/(n-1) × 4/5 で、1より大きくなる条件は 4(n+1) > 5(n-1)、つまり n < 9 です。n = 9 で比がちょうど1になり、P₉ = P₁₀ です。上限は15回ですが、山の頂上がその手前の9回と10回にあるので、上限は答えを変えません。確率は P₉ = C(9,2) × (1/5)² × (4/5)⁷ = 36 × 1/25 × 16384/78125 = 589824/1953125 です。n = 10 でも C(10,2) = 45、(4/5)⁸ = 65536/390625 で、45 × 1/25 × 65536/390625 = 2949120/9765625 = 589824/1953125 と一致します。

練習4（答え: 4回、1/4） r = 3、p = 1/2、q = 1/2 です。境目は m = 6 − 1 = 5 で、整数です。比は (n+1)/(n-2) × 1/2 で、1より大きくなる条件は n+1 > 2(n-2)、つまり n < 5 です。回数は3回以上4回以下なので、3回から4回の比は (4/1) × 1/2 = 2 で1より大きく、4回が最大です。上限が山の頂上より手前にあるので、最大は上限の4回に来ます。確率は P₄ = C(4,3) × (1/2)⁴ = 4/16 = 1/4 です。

練習5（答え: 4回、32/81、P₁₁/P₁₀ = 11/24） r = 3、p = 2/3、q = 1/3 です。境目は m = r/p − 1 = 9/2 − 1 = 7/2 です。整数ではないので、7/2 を超える最小の整数である4回で増加から減少に切り替わります。比で確かめると、n = 3 では 4/(4-3) × 1/3 = 4/3 で1より大きく、n = 4 では 5/2 × 1/3 = 5/6 で1より小さい値です。したがって最大は n = 4 で、確率は P₄ = C(4,3) × (2/3)³ × (1/3) = 4 × 8/27 × 1/3 = 32/81 です。 n = 10 のときの比は (11)/(11-3) × 1/3 = 11/8 × 1/3 = 11/24 です。11/24 は1より小さいので、P₁₁ = 11/24 × P₁₀ となり、n = 10 から11に増やすと確率は下がります。実際に P₁₀ = C(10,3) × (2/3)³ × (1/3)⁷ = 120 × 8/27 × 1/2187 = 960/59049 = 320/19683 と小さく、山の頂上から遠い回数では値が急に小さくなります。

覚えておくこと

• n を1増やすときの増減は、比 Pₙ₊₁/Pₙ = ((n+1)/(n+1-r)) × (1-p) で決まります。
• 比が1より大きい条件は n < r/p − 1 です。
• r/p − 1 が r 以上の整数なら、その回数と1つ上の回数が同じ最大になります。
• 上限 N があるときは、N と r/p − 1 の大小を先に比べます。
• 一度比が1を下回ると、その先は増えません。調べるのは境目の前後で足ります。

つまずきの見分け方

計算の途中で止まる原因は、大きく4つに分かれます。

1つ目は、確率を毎回かけ算で作り直している場合です。n が増えるたびに C(n,r) と (1-p)ⁿ⁻ʳ を計算し直すと、数の桁が増えて手が止まります。比を1つ作れば、前の値に比を掛けるだけで次の値が出ます。比が1より大きいか小さいかだけを見れば、最大の位置は決まります。

2つ目は、比の分母を r や n で止めている場合です。答えた式を n = 2 などの小さな数で確かめ、組合せを実際に書き並べた値と合うかを見てください。合わなければ、分母の作り方を見直す合図です。

3つ目は、条件の読み落としです。「最大となる回数をすべて」と問われているのに1つだけ答える、上限があるのに上限の外の回数を答える、といった形で現れます。問題文から上限と「すべて」の有無を先に抜き出し、境目の計算の後に照らし合わせます。

4つ目は、境目の値が整数かどうかの判定を飛ばしている場合です。r/p − 1 が 7/2 のような分数になったとき、そのまま「3.5回」と書くことはできません。整数でないなら、その値を超える最小の整数を探します。r/p − 1 が整数なら、その回数と1つ上の回数の2つが答えになります。分数のまま答案を止めると、最大の位置が1つずれたり、同率の2つ目が抜けたりします。

個別に確かめるときは、次の3点を順に声に出してもらうと、どこで止まっているかが見えます。比の式を立てられるか。境目の r/p − 1 を計算し、整数かどうかを言えるか。上限と境目の大小を比べて、答えの候補を2つ以内に絞れるか。この3点が通れば、確率の値そのものは最後に1回計算するだけで足ります。

回数を増やす前に比を1と見比べる一手間が、増え続けるという予感を正しい位置で止めます。