大学入試数学 最大確率と成功回数—隣り合う確率の比から最も起こりやすい回数を決める｜武蔵野個別指導塾

成功確率0.35で10回試行するとき、平均3.5を四捨五入した4回ではなく3回が山になることを、隣り合う確率の比から確かめると、見えてくるのは成功回数です

よくあるのは、平均の成功回数を四捨五入すれば最大確率の位置だと考える場面です。10回の試行で成功確率が0.45なら平均は4.5なので、5回が一番起こりやすいと答えたくなります。しかし実際に確率が最大になるのは4回です。平均は確率の重さがつり合う位置で、山の頂上そのものではありません。

この問いは三つの形で現れます。n と p が与えられて山の位置を求める形、山の位置から p の範囲を逆に求める形、隣り合う二つの回数の確率を比べる形です。どの形でも、P(k+1) と P(k) の比をとり、その比が1を横切る場所を探す手順が使えます。境目が整数になるかどうかで、山が一つか二つかが変わります。

形ごとの入口もそろえておきます。山の位置を求める形では、まず (n+1)p を計算し、整数かどうかで場合を分けます。p の範囲を逆に求める形では、山の候補から不等式を立て、端を含むかを確かめます。二つの回数を比べる形では、比を1と比べ、必要なら比が減少することを添えます。

隣どうしの比が山を決める

n 回の試行を独立に行い、各回の成功確率を p とします。成功回数を X と書き、X=k となる確率を P(k) とします。このとき P(k)=C(n,k)・p の k 乗・(1-p) の (n-k) 乗 です。n は1以上の整数、k は0以上 n 以下の整数、p は0より大きく1より小さい実数とします。組合せの C(n,k) は、n 個から k 個を選ぶ数を表します。

隣り合う確率の比をとると、組合せの部分と p の部分がそれぞれ約分できます。計算は次のように進みます。

P(k+1)/P(k) = C(n,k+1)/C(n,k) ・ p/(1-p)
            = (n-k)/(k+1) ・ p/(1-p)

C(n,k+1)/C(n,k)=(n-k)/(k+1) です。0<p<1 なので P(k) は0より大きく、この比は k=0 から n-1 まで意味を持ちます。

比が1より大きいか小さいかで、隣どうしのどちらが大きいかが決まります。P(k+1)>P(k) は (n-k)p>(k+1)(1-p) と同じで、これを整理すると k<(n+1)p-1 になります。等号のときは P(k+1)=P(k) です。

全ての P(k) を計算して比べる方法もありますが、n が大きいと計算量が増えます。隣どうしの比は一つの式で書け、しかも k とともに単調に動くので、全ての場合を計算しなくても山の位置が決まります。この軽さが、比を使う利点です。

この比は k について狭義に減少します。(n-k)/(k+1)=(n+1)/(k+1)-1 と変形すると、k が増えるほど値が小さくなるからです。p/(1-p) は k によらない正の数なので、比の増減はこの部分だけで決まります。したがって、比が1より大きい区間が先に続き、1を下回った後は二度と1に戻りません。隣どうしの比較が全体の最大を保証するのは、この性質によるものです。

境目に (n+1)p が現れる理由も、この不等式から読めます。k 回目と k+1 回目を比べると、成功が一つ増える代わりに失敗が一つ減ります。その交換の損得は、成功の確率 p と失敗の確率 1-p の比で決まり、回数の比較から k の係数が1だけずれます。そのずれが、平均 np ではなく (n+1)p を境目の目安にする理由です。平均をそのまま使うと、およそ p の分だけ山の位置を取り違えます。

比が1を横切る位置は、m=(n+1)p とおくと分かりやすくなります。m が整数でないときは、m を超えない最大の整数が山です。m が整数のときは、m-1 回と m 回の二つが同じ最大確率を与えます。図1のように、比の大きさは左から右へ、大きい区間、1に等しい区間、小さい区間の順に並びます。

図1の切り替わりが山の位置です。上がり続けてから下がり始めるので、そこより左にも右にも、それより大きい確率はありません。平均 np と山の位置 (n+1)p は一致しません。平均は分布の重さのつり合う位置で、山は確率の増減が切り替わる位置です。p が0.5から離れると、この二つは大きくずれることがあります。

規則が正しいかは、小さい n で全列挙して確かめられます。n=3、p=0.4 の場合、成功回数0、1、2、3の確率は順に 0.216、0.432、0.288、0.064 です。m=(3+1)・0.4=1.6 で、その整数部分である1が確かに最大になっています。全列挙は規則の確認には向きますが、n が大きいときの証明にはなりません。一般の場合の証明は、比が減少するという性質が担います。

p=0 と p=1 では比の式が使えません。p=1 では 1-p が0になり、p=0 では比の分母になる確率が0になるためです。この二つは後の発展例題で別に扱います。

基本例題　7回の硬貨で山は二つ

基本例題（難度 標準）　硬貨を7回投げるとき、表が出る回数として最も起こりやすいのは何回ですか。該当する回数をすべて求め、その確率も求めてください。

表が出る回数を X とすると、n=7、p=1/2 です。P(k)=C(7,k)・(1/2) の 7 乗 となります。隣どうしの比は r(k)=P(k+1)/P(k)=(7-k)/(k+1) です。k の値ごとに書くと次の表になります。

r(0)、r(1)、r(2) は1より大きく、r(3) は1、r(4) から r(6) は1より小さいです。つまり P(0)<P(1)<P(2)<P(3)=P(4) で、P(4)>P(5)>P(6)>P(7) です。よって山は3回と4回の二つで、どちらも 35/128 です。

比の値そのものより、1との大小関係だけを見れば足ります。値が大きいほど急な段ですが、山の位置は符号の切り替わりだけで決まります。確率の合計も確かめておきます。C(7,0) から C(7,7) までの和は 128 で、全ての確率を足すと 128/128=1 になります。山の値だけを答えにして合計の確認を省くと、数え落としに気づけません。

別解として、係数を並べて比べる方法があります。C(7,k) を k=0 から順に書くと 1、7、21、35、35、21、7、1 で、最大は中央の二つです。n が小さいときは、この並びを直接書く方が速く、比の式を忘れても答えに届きます。ただし、並びのどこが最大かを保証するには、係数が中央まで増えてから減るという形を確かめる必要があります。

(n+1)p=8・(1/2)=4 が整数になる場合にあたり、m-1=3 と m=4 が並ぶ形です。図2のように、棒の高さは3回と4回で同じになり、左右へすそを引きます。

図2で二つの棒が同じ高さになるのは、確率の比が1になったからです。二つの山を一つに決めないことが、この例題の要点です。片方だけを答えにすると、最大確率を与える回数を取り落とします。

標準例題　平均4.5でも山は4

標準例題（難度 標準）　ある試行を10回独立に繰り返します。1回あたりの成功確率は0.45です。成功回数が最も起こりやすいのは何回ですか。平均を四捨五入した5回と比べて、理由も述べてください。

n=10、p=0.45=9/20 です。m=(n+1)p=11・9/20=99/20=4.95 で、整数ではありません。したがって山は4.95を超えない最大の整数である4回です。

比でも確かめます。r(k)=((10-k)/(k+1))・(9/11) なので、r(3)=(7/4)・(9/11)=63/44>1、r(4)=(6/5)・(9/11)=54/55<1 です。比は k について減少するので、P(3)<P(4) で、P(5) 以降はすべて P(4) より小さくなります。よって4回が唯一の山です。

別解として、境目の式を先に使う方法もあります。k<(n+1)p-1=4.95-1=3.95 なので、k=0、1、2、3 では比が1より大きく、k=4 以降では比が1より小さいと一度にわかります。個別の比を計算する方法は根拠を一つずつ確かめるのに向き、境目の式は計算を短くしたいときに使います。どちらの方法も、比が減少するという同じ性質に支えられています。

4回と5回の確率は 55 対 54 で、ほとんど同じです。目で見比べても違いは分からず、比を計算して初めて4回が上だと分かります。平均は10・0.45=4.5 で、四捨五入すると5回になります。しかし P(4)/P(5)=55/54>1 なので、5回の確率は4回より小さいです。平均の丸めは山の位置の根拠にならず、隣どうしの比が根拠になります。

発展例題　すべての回数で最大を証明する

発展例題（難度 やや難）　n 回の独立な試行で成功確率を p とします。P(k+1) と P(k) の大小が k について一度だけ切り替わることを示してください。そのうえで n=14、p=0.4 のとき、最も起こりやすい成功回数をすべて求めてください。p=0 と p=1 の場合も別に答えてください。

r(k)=((n+1)/(k+1)-1)・p/(1-p) と変形します。(n+1)/(k+1) は k が増えると小さくなるので、r(k) は k について狭義に減少します。したがって r(k)>1 となる k は先頭から連続し、r(k)<1 となる k は後ろから連続します。r(k)=1 になる k は高々一つです。

r(k)>1 は k<(n+1)p-1 と同じなので、比の符号の切り替わりは k=(n+1)p-1 の前後で一度だけ起こります。これで、隣どうしの比較が全体の最大を与えることが証明できました。増え続けてから減り始める列では、切り替わりの両側より大きい値は存在しません。

別解として、割り算をせずに両辺の増減を比べる方法があります。P(k+1)>P(k) は (n-k)p>(k+1)(1-p) と同じです。左辺は k が増えると減り、右辺は k が増えると増えるので、差は k について減り続けます。したがって、この不等式は k の小さい側で成り立ち、一度破れると以後は成り立ちません。比の式を作らずに、両辺の単調性だけで同じ結論に届きます。

n=14、p=0.4 では (n+1)p=15・0.4=6 で整数です。r(4)=((14-4)/5)・(2/3)=4/3>1、r(5)=(9/6)・(2/3)=1、r(6)=(8/7)・(2/3)=16/21<1 です。よって P(5)=P(6) で、5回と6回が二つの山です。r(5)=1 が P(6)=P(5) を意味し、r(4)>1 と r(6)<1 がその両側を挟みます。比が減少するので、この二つより高い位置は外側にありません。

p=0 のときは毎回失敗するので P(0)=1 で、他の回数の確率は0です。山は0回です。p=1 のときは毎回成功するので P(n)=1 で、山は n 回です。どちらも 1-p が分母や p の比に現れる式をそのまま使えないため、場合を分けて答えます。

m が整数のときでも、同じ高さの山が三つ以上並ぶことはありません。r(k)=1 になる k は高々一つで、その前後では比が1から離れるためです。二つの山は必ず隣り合い、その外側は単調に下がります。二つを別々の山として数えるのではなく、同じ最大を与える一組として扱います。

三つの例題の設定と結果を並べると、境目の見方がそろいます。どの例題も、見る場所は (n+1)p が整数かどうかと、その整数部分です。

表のとおり、境目が整数の場合は二つ、整数でない場合は一つです。p の値が違っても、見る場所は (n+1)p で変わりません。

誤答を直す　平均3.5を四捨五入して4とする

検算する答案（難度 標準）　ある試行を10回独立に繰り返し、成功確率を0.35とします。成功回数が最も起こりやすいのは何回か、という問いに対して、平均10・0.35=3.5 を四捨五入して4回と答えた答案があります。この答えを検算してください。

この答えは誤りです。r(3)=((10-3)/4)・(7/13)=49/52<1 なので P(4)<P(3) です。また r(2)=((10-2)/3)・(7/13)=56/39>1 なので P(2)<P(3) です。比は k について減少するため、P(3) より後はすべて P(3) より小さく、山は3回です。

誤りの理由は、平均が山の位置だと決めつけたことにあります。平均は確率の重さのつり合う位置で、山は比が1を横切る位置です。p が0.5でないとき、この二つはずれます。四捨五入がたまたま正しい答えになる場合もありますが、それは根拠になりません。

成功確率が0.5より小さいと、分布は右へすそを引く形になります。山は平均より左に寄り、四捨五入すると右へずれます。n=10、p=0.35 では m=3.85 で、山は3回です。平均3.5は山と4回の間にあり、丸めると山を越えてしまいます。分布のすそが長い側へ平均は引っ張られるので、山と平均のずれは、p と n の組み合わせで決まります。

直し方は次の順です。まず 0<p<1 と n を確かめ、m=(n+1)p を計算します。m が整数なら m-1 と m、整数でなければ m を超えない最大の整数が山です。次に、その前後で比が1をまたぐことを確かめます。p=0 か p=1 なら、この手順を使わずに端点を直接読みます。図3のように、平均を丸めた4回と、比で決めた3回を並べると、どこで判断が分かれたかが見えます。

図3の左は平均だけを見た判断で、右は比を見た判断です。比の計算を先に置くと、四捨五入の癖に引っ張られません。

もう一つ多いのが、一組の比だけで山を決める答案です。P(4)>P(3) を示して4回を山とするだけでは、P(3) より前の回数がそれより小さいことまでは示せていません。比が減少することを一言添えれば、一組の比較が全体の比較に変わります。比の減少は、n と p から決まる計算の性質なので、毎回ゼロから確かめる必要はありません。

練習問題

練習1（標準）　さいころを6回投げます。1の目が出る回数として最も起こりやすいのは何回ですか。その確率も分数で答えてください。

練習2（標準）　ある操作を12回独立に行います。1回あたりの成功確率は0.3です。成功回数が最も起こりやすいのは何回ですか。平均を四捨五入した値と比べてください。

練習3（やや難）　袋に白玉が5個、黒玉が5個入っています。1個取り出して戻す操作を11回行うとき、白玉が出る回数として最も起こりやすい回数をすべて求め、その確率を答えてください。

練習4（標準）　円盤を5回回します。円盤は10個の等しい区画に分かれ、赤い区画は1個だけです。赤い区画に止まる回数として最も起こりやすいのは何回ですか。その確率も答えてください。

練習5（難）　ある試行を8回独立に行い、成功確率を p とします。0<p<1 の範囲で、成功回数5回が最も起こりやすい回数の一つになるような p の範囲を求めてください。

練習問題の答えと解き方

練習1　n=6、p=1/6 です。m=(n+1)p=7/6=1.166… で整数ではないので、山は1回です。比で確かめると、r(0)=(6/1)・(1/5)=6/5>1、r(1)=(5/2)・(1/5)=1/2<1 です。比は減少するので、P(0)<P(1)>P(2)>… となり、1回が唯一の山です。確率は P(1)=C(6,1)・(1/6)・(5/6) の 5 乗=3125/7776 です。

練習2　n=12、p=0.3=3/10 です。m=13・3/10=3.9 で整数ではないので、山は3回です。r(2)=((12-2)/3)・(3/7)=10/7>1、r(3)=(9/4)・(3/7)=27/28<1 です。比は減少するので、P(2)<P(3) で、P(4) 以降は P(3) より小さいです。平均は12・0.3=3.6 で四捨五入すると4回になりますが、P(4)<P(3) なので、4回は山ではありません。

練習3　n=11、p=1/2 です。m=12・(1/2)=6 で整数なので、山は5回と6回の二つです。r(4)=(7/5)>1、r(5)=1、r(6)=5/7<1 です。どちらの確率も C(11,5)/2 の 11 乗=462/2048=231/1024 です。

練習4　n=5、p=1/10 です。m=6・(1/10)=0.6 で整数ではないので、山は0回です。r(0)=(5/1)・(1/9)=5/9<1 で、比は減少するので P(0)>P(1)>… となります。確率は P(0)=(9/10) の 5 乗=59049/100000 です。平均は5・(1/10)=0.5 で四捨五入すると1回になりますが、P(1)<P(0) なので、1回は山ではありません。

練習5　m=9p とおきます。5回が山の一つになるのは、5≤m<6 のとき（m が整数でなく、m を超えない最大の整数が5）と、m=5 または m=6 のとき（m が整数で、山 m-1 と m の一方が5）です。これらを合わせると 5≤9p≤6、つまり 5/9≤p≤2/3 です。p=5/9 では山は4回と5回、p=2/3 では山は5回と6回になり、どちらも5回を含みます。

各問の答えは、問題文の条件へ戻して確かめられます。練習1なら P(1) が P(0) と P(2) の両方より大きいこと、練習3なら P(5) と P(6) が等しく P(4) と P(7) より大きいことを、比の値で確認できます。練習5は、求めた範囲の端で山の組がどうなるかを書き、5回が残ることを見ます。答えの回数が整数であること、確率が0以上1以下であることも、あわせて確かめます。

覚えておくこと

• 比 r(k)=((n-k)/(k+1))・p/(1-p) は k について狭義に減少します。
• 比と1の大小が切り替わる位置が山です。
• 山は (n+1)p を超えない最大の整数で、整数なら二つの回数が並びます。
• 平均 np の四捨五入は山の位置の根拠になりません。
• p=0 と p=1 は別扱いで、山はそれぞれ0回と n 回です。

つまずきの見分け方と確かめる場所

平均を四捨五入した答えが返ってきたら、まず (n+1)p を計算し直します。平均 np と山の位置は別物だと、式の上で確かめられます。丸めた数と (n+1)p を並べれば、ずれているかどうかがすぐに分かります。

山を一つに決めてしまったときは、m が整数かどうかを見ます。整数なら二つの回数が同じ確率で並ぶので、両方を書く必要があります。片方だけを書いた答案は、比が1に等しくなる場所を通り過ぎています。

比の式で分母と分子を逆にしたときは、k=0 のときの値で向きを確かめます。P(1)/P(0) が1より大きければ、最初は増えているはずです。最初から減っていると計算したなら、比の向きが逆になっています。

p=0 や p=1 を同じ式に放り込んだときは、1-p が0になる場面を探します。確率1の回数がただ一つに決まるので、比を使わずに答えます。定義した範囲の外に p を置いていないかも、あわせて見ます。

隣どうしの比較だけで最大と断定した答案では、比が減少することを一言添えられているかを見ます。これが全体の最大を保証する部分です。一組の比較は山の候補を絞るだけで、すべての回数を比べたことにはなりません。答えを書いた後は、山の確率が0以上1以下で、隣の回数との比が1をまたいでいるかを戻して確かめます。

山の位置を決めるのは、平均の丸めではなく、隣どうしの比が1を横切る場所です。