高校数学II 導関数と微分係数—式と一点での値を区別して条件を読み直す｜武蔵野個別指導塾

f′(x)とf′(a)の違いを、代入の順序、係数の決定、導関数のグラフで読み解きます。式から点へ進む出発点は導関数です。

よくあるのは、導関数を正しく求めた高校生が、f′(a)を問われてもxの式のまま答えるという場面です。微分の計算が合っていても、最後に何を求めるのかを取り違えると答えは完成しません。f′(x)は各点に対応する傾きを表す関数で、f′(a)はそのうちx = aに対応する1つの値です。この違いを、式、条件、グラフの順に追ってみます。

問題文のどこに注目するか

問題には大きく分けて3つの型があります。1つ目は、f(x)からf′(x)とf′(a)の両方を求める型です。前者はxを含む式、後者はaが指定された数なら数値で答えます。aが文字のまま指定されていれば、答えはaを含む式になることもあります。

2つ目は、f(a)やf′(a)という条件から係数を決める型です。f(a)は元の関数の値、f′(a)はその点の傾きです。同じaを使っても代入先は別です。問題文を読んだら、それぞれを別々の式に移してから連立します。

3つ目は、導関数のグラフから値を読む型です。グラフがy = f′(x)なら、横座標aに対応する縦座標がf′(a)です。その縦座標は元のグラフの高さf(a)ではありません。たとえば縦座標が負なら、元の曲線のその点での傾きは負と読めます。

どの型でも、まず記号の右側にある括弧の中身に目を向けます。xが残る式を作る段階なのか、決められた点の値を求める段階なのかを線引きしておけば、途中で求めるものを見失いにくくなります。

関数を作ることと点で評価すること

関数f(x)について、x = aにおける微分係数は、次の極限が存在するときに定義されます。

f′(a) = lim[h→0] (f(a + h) - f(a))/h

差商ではh ≠ 0として計算し、最後にhを0へ近づけます。微分係数は、曲線y = f(x)のx = aにおける接線の傾きを表します。ここでのaは、傾きを調べたい点の横座標です。

各xに、その点での微分係数を対応させた関数が導関数f′(x)です。多項式は各点で微分できるので、本稿の多項式ではこの対応を式として表せます。f′(x)を求めてからxにaを代入すると、同じ点の微分係数f′(a)が得られます。図1のように、関数から値を取り出す操作はfでもf′でも同じですが、取り出される量は異なります。

たとえばf(x) = x² + 2xなら、差商は次のようになります。

(f(a + h) - f(a))/h
= ((a + h)² + 2(a + h) - a² - 2a)/h
= (2ah + h² + 2h)/h
= 2a + h + 2    （h ≠ 0）

hを0に近づけるとf′(a) = 2a + 2です。aを動かせば各点に傾きが対応するので、変数をxと書いてf′(x) = 2x + 2と表せます。ここでa = 3と決めればf′(3) = 8です。一方、元の関数に3を入れるとf(3) = 15です。8は傾き、15は高さという違いを持ちます。

f′(a)のaが文字だからといって、必ず具体的な数にする必要はありません。aが未指定のときは2a + 2が点aでの値を表します。ただし、その式に残る文字は指定された点を表すaです。f′(a)を問われたのに、自由に動くxを使った2x + 2をそのまま書いて終えると、点を指定する操作が抜けています。

基本例題：式を作ってから指定点へ

例題1　f(x) = x² − 4x + 1について、導関数f′(x)、f(3)、f′(3)をそれぞれ求めてください。答えはf′(x)をxの式で、残りを整数で表します。

多項式の微分公式を項ごとに使います。定数の微分は0です。

f′(x) = 2x - 4 + 0
       = 2x - 4

元の関数の値と導関数の値を、別の式に代入します。

f(3) = 3² - 4・3 + 1
     = 9 - 12 + 1
     = -2

f′(3) = 2・3 - 4
      = 6 - 4
      = 2

答えはf′(x) = 2x − 4、f(3) = -2、f′(3) = 2です。元の曲線では横座標3の点の縦座標が-2で、その点の傾きが2です。図2はこの曲線と、その点を通る傾き2の直線を描いています。点の高さと線の傾きは、同じ点に付随する別の情報だと読み取れます。

答えを元の条件に戻すには、fに3を代入して-2になることと、導関数に3を代入して2になることを両方確かめます。さらに差商で照らすと、計算の意味まで確認できます。

(f(3 + h) - f(3))/h
= ((3 + h)² - 4(3 + h) + 1 - (-2))/h
= (2h + h²)/h
= 2 + h    （h ≠ 0）

hを0に近づけた値は2です。x = 3での微分係数と一致します。差商を使う確認では、hに最初から0を入れると分母が0になるため、約分後に近づけます。

標準例題：2種類の条件を別の式にする

例題2　f(x) = x² + bx + cがf(2) = 5、f′(2) = 7を満たすとき、b、cを整数で求めてください。また求めた関数のf′(-1)を整数で求めてください。

まずf′(x)を作ります。bとcはxに関して定数です。

f′(x) = 2x + b

f(2) = 5は元の関数に2を入れた条件です。

2² + 2b + c = 5
4 + 2b + c = 5
2b + c = 1

f′(2) = 7は導関数に2を入れた条件です。

2・2 + b = 7
4 + b = 7
b = 3

これを最初の条件へ戻します。

2・3 + c = 1
6 + c = 1
c = -5

したがってf(x) = x² + 3x − 5、f′(x) = 2x + 3です。求めるもう1つの値は次のようになります。

f′(-1) = 2・(-1) + 3
       = -2 + 3
       = 1

答えはb = 3、c = -5、f′(-1) = 1です。元の条件への代入も省かずに行います。

f(2) = 4 + 6 - 5
     = 5
f′(2) = 4 + 3
      = 7

両方が問題の値に戻りました。f′(2)の条件だけではcは消えてしまい、cを決められません。逆にf(2)の条件だけではbとcに1本の関係ができるだけです。2つの条件が異なる役割を果たすことを、式の数とともに見ておきます。

発展例題：導関数のグラフから点の条件を読む

例題3　f(x) = x³ + px² + qx + 4とします。導関数のグラフy = f′(x)が2点(0, -3)、(2, 9)を通るとき、p、qを整数で求めてください。さらにf′(a) = 9となる実数aをすべて求め、整数で表してください。

導関数のグラフ上の点の縦座標はf′の値です。点(0, -3)はf(0) = -3という意味ではありません。与えられた式は多項式なので、各点で微分できます。

f′(x) = 3x² + 2px + q

2点の横座標と縦座標を、それぞれ導関数の式に入れます。

f′(0) = -3
q = -3

f′(2) = 9
12 + 4p + q = 9
12 + 4p - 3 = 9
4p = 0
p = 0

よってf′(x) = 3x² − 3です。条件f′(a) = 9から、次の方程式を解きます。

3a² - 3 = 9
3a² = 12
a² = 4
a = -2, 2

答えはp = 0、q = -3、a = -2、2です。グラフ上に(2, 9)があるのでa = 2は1つの答えとすぐにわかりますが、同じ高さ9になる別の点を見落とせません。実際にf′(-2) = 3・4 − 3 = 9、f′(2) = 3・4 − 3 = 9です。二次方程式の解を両方調べたので、この条件を満たす実数はこの2つです。

元の関数はf(x) = x³ − 3x + 4です。f(0) = 4であり、導関数の点(0, -3)の縦座標とは一致しません。導関数には定数項4の情報が残らないことも確認できます。この問題では元の関数を復元する必要はありませんが、どちらのグラフを見ているかを取り違えないための点検になります。

誤答を直す：括弧の中まで見て仕上げる

例題1でf′(3)を問われ、次のように答える誤りを考えます。

f′(x) = 2x - 4
f′(3) = 2x - 4

1行目は正しい導関数です。しかし2行目では、左側が3での値を求めているのに、右側はxが動く式のままです。図3のように、式を作るところで止まらず、指定された3を代入する矢印を追加します。

f′(3) = 2・3 - 4
      = 2

別の誤りとして、f(3) = -2をf′(3)の答えにする場合もあります。元の式を使ったのか、微分した式を使ったのかを確認し、記号の′を見直します。たまたまf(a)とf′(a)が同じ数になる問題もあるため、値が一致したかどうかだけでは判断できません。代入先と求める量を言葉で説明できるかが点検の手掛かりです。

練習問題

各問の式は多項式です。整数と指定したものは整数で、式と指定したものは指定された文字の式で答えてください。先に5問を通して解き、その後に解答と照らします。

1. f(x) = 2x² + 3x − 6について、f′(x)をxの式で求め、f′(2)を整数で求めてください。
2. g(x) = x³ − 2x + 7について、g(-2)とg′(-2)を整数で求めてください。
3. h(x) = 3x² + kx + 1がh′(1) = 10を満たすとき、kとh(1)を整数で求めてください。
4. 導関数のグラフがy = 2x − 6である関数Fについて、F′(4)とF′(a) = 0を満たす実数aを整数で求めてください。
5. P(x) = x³ + mx² + nxがP′(0) = 2、P′(1) = 7を満たすとき、m、nを整数で求め、P′(t)をtの式で表してください。

練習の答えと解き方

1. 項ごとに微分し、その式に2を代入します。

f′(x) = 4x + 3
f′(2) = 4・2 + 3
      = 11

答えはf′(x) = 4x + 3、f′(2) = 11です。元の式で増分hを使うと差商は11 + 2hとなり、hを0に近づけると11です。求めた値がx = 2での傾きに戻ることも確かめられます。

2. 元の関数と導関数へ、それぞれ-2を入れます。

g′(x) = 3x² - 2
g(-2) = (-2)³ - 2・(-2) + 7
      = -8 + 4 + 7
      = 3
g′(-2) = 3・(-2)² - 2
       = 12 - 2
       = 10

答えはg(-2) = 3、g′(-2) = 10です。元の曲線の点は(-2, 3)、そこでの傾きは10です。差商を作ると10 − 6h + h²なので、その極限も10になります。

3. 傾きの条件を先に使ってkを決め、元の関数の値を計算します。

h′(x) = 6x + k
h′(1) = 6 + k = 10
k = 4
h(1) = 3・1² + 4・1 + 1
     = 8

答えはk = 4、h(1) = 8です。h′(1) = 6 + 4 = 10と、与えられた傾きに戻ります。h(1)の計算は微分前の式に代入したもので、条件の10とは別の値です。

4. 与えられたグラフの式はF自身ではなくF′の式です。

F′(4) = 2・4 - 6
      = 2
F′(a) = 2a - 6 = 0
2a = 6
a = 3

答えはF′(4) = 2、a = 3です。グラフの横座標4に対する縦座標は2、横座標3に対する縦座標は0です。どちらも元の曲線の高さではなく、それぞれの点の傾きを表します。

5. まず導関数を作って2つの条件を入れます。

P′(x) = 3x² + 2mx + n
P′(0) = n = 2
P′(1) = 3 + 2m + n = 7
3 + 2m + 2 = 7
2m = 2
m = 1
P′(t) = 3t² + 2t + 2

答えはm = 1、n = 2、P′(t) = 3t² + 2t + 2です。これにt = 0を入れると2、t = 1を入れると3 + 2 + 2 = 7となり、両方の傾きの条件に戻ります。tは点の横座標を表す文字なので、答えの式をxのままにしないことも確認します。

覚えておくこと

• f′(x)は各点の微分係数を対応させた関数です。
• f′(a)は導関数にaを代入した値です。
• f(a)は元の関数の値で、f′(a)はその点の傾きです。
• y = f′(x)の縦座標は、元の曲線の傾きを表します。

自分のつまずきを見分ける

答えにxが残っていたら、問題がf′(x)を求めているのか、数の入ったf′(a)を求めているのかを見直します。数値になっていても、fとf′のどちらに代入したかを言えなければ、式の横に「高さ」「傾き」と書き添えてみてください。グラフを読むときは、縦軸がfの値かf′の値かを先に確認します。

個別指導で式を確認するときも、答えの数だけでなく、f′(x)を書いた後にどの数を代入したかを説明すると、計算と読み取りのどちらで止まったかを確かめられます。導関数から指定点へ進む一手が、微分係数を答えに変えます。