高校数学II 多項式の導関数—定義から得た公式で各項の微分を進める｜武蔵野個別指導塾

定数項が差商で消える理由を押さえ、括弧の積を展開した三次式まで項ごとに微分する手順を追えます。

よくあるのは、高校生が多項式を微分するとき、定数項をそのまま残してしまう場面です。たとえば式の末尾に数があると、計算し終えた項のように見えるかもしれません。しかし導関数は元の式を写したものではなく、各点での変化の割合を表す新しい関数です。変化しない項が何を出すかを定義に戻って確かめ、二次式や三次式を項ごとに扱います。

式の形から選ぶ手順

問われる形は主に3つあります。展開された式なら、次数と係数を各項で読み取って微分し、最後に和差を整理します。分数係数や負の係数も数なので、符号を含めて係数として扱います。定数項は元の式にあっても、導関数には残りません。

括弧の積がある場合は、まず分配法則で展開して同類項をまとめます。積を見たままそれぞれ微分して掛ける操作は、この範囲で使う方法ではありません。展開の途中で符号を落とすと、その後の微分が正しくても別の式の答えになります。展開後の式を元の積に数値を代入した結果と照らすと、誤りを見つける手がかりになります。

文字係数を含む式では、何を変数として微分するかが条件です。x について微分するなら、x によらない a や b は定数として扱います。係数に条件がつく問題では、導関数を先に作り、得られた条件を元の式へ戻します。ここでは二次・三次を中心に扱い、積の微分公式は使いません。

変化しない項はなぜ消えるか

関数 f の x における導関数 f′(x) は、極限が存在するとき、次の差商の極限で定義します。h は変化量であり、割る段階では h ≠ 0 です。

f′(x) = lim[h→0] (f(x + h) - f(x))/h

たとえば f(x) = x² なら、展開した後に h をくくって約分できます。h を0にするのは約分した後の極限です。

((x + h)² - x²)/h = (2xh + h²)/h
= 2x + h
lim[h→0] (2x + h) = 2x

同様に x³ では、(x + h)³ を展開すると差商は 3x² + 3xh + h² となり、極限は 3x² です。一方、定数 c では f(x + h) も f(x) も c です。差は c − c = 0 なので、差商も極限も0です。図1のように、変化しない高さからは変化量が生まれません。

図1の左右は同じ定数の値です。x が動いてもその差は0であることが、定数項を残さない理由です。多項式はどの実数 x でもこの手順で微分でき、各項の差商を足し引きした極限は各極限の和差になります。定数倍も外に出せます。

したがって、定数 a、b、c、d に対して次が成り立ちます。

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f′(x) = 3ax² + 2bx + c

一次の項 cx では差商が c になるため、x が消えて係数 c が残ります。定数項 d は0になります。次数を1下げる操作と、元の次数を係数に掛ける操作を区別すると、一次の項と定数項を混同しにくくなります。係数が0の場合も同じ式で扱えます。

係数と次数を読み違えないために

項を区切るときは、直前の符号もその項の一部と考えます。たとえば -x² の係数は -1 ですから、微分結果は -2x です。係数が書かれていないときに0とみなすと、項ごと消してしまいます。逆に x のない数は次数が0の定数項です。次数を下げて負の指数を作るのではなく、変化量が0であることから微分結果を0とします。

分数係数でも操作は変わりません。たとえば (1/3)x³ の微分は (1/3)・3x² = x² です。分数の分母を次数と混同せず、x の指数を先に見つけてください。また、同類項をまとめる前後のどちらで微分しても結果は一致します。ただし、複数の同類項を先にまとめると、符号の確認を1回に整理できます。

導関数を求める問題の答えは一般に x を含む式です。特定の値を代入すると、その点における微分係数という数が得られます。途中で勝手に x に数を入れると、他の点で使える式の情報が失われます。問題が式を求めているか、特定の点での値を求めているかを、計算前に読み分けてください。

基本例題：各項を分ける

次の関数の導関数を、整理した x の多項式で求めてください。

f(x) = 2x³ - 3x² + 4x + 7

三次、二次、一次、定数の順に各項を処理します。図2のように、元の係数には元の次数を掛けます。

図2の定数項の矢印は0に向かいます。元の式の正負も各項と一緒に運び、次のように書きます。

f′(x) = 2・3x² - 3・2x + 4・1 + 0
= 6x² - 6x + 4

たとえば x = 1 での値は 6 − 6 + 4 = 4 です。元の式についても、増分 h に対する差商を作ると、次の式になります。

(f(1 + h) - f(1))/h = 4 + 3h + 2h²
lim[h→0] (4 + 3h + 2h²) = 4

これは導関数の式全体の証明の代わりではありませんが、少なくとも x = 1 における値が定義と一致する確認です。定数7は f(1 + h) と f(1) の双方に現れ、引き算で消えます。導関数には7を足しません。

標準例題：積を展開してから微分

次の関数の導関数を、整理した x の多項式で求めてください。

g(x) = (x + 2)(2x² - 3x + 5)

まず第1の括弧の2項を、それぞれ第2の括弧の3項すべてに掛けます。途中の一次の項の符号に注意します。

g(x) = 2x³ - 3x² + 5x + 4x² - 6x + 10
= 2x³ + x² - x + 10
g′(x) = 6x² + 2x - 1

展開が元の条件に合うか、x = -1 を戻して調べます。元の積では (1)(2 + 3 + 5) = 10、展開後は -2 + 1 + 1 + 10 = 10 です。さらに展開後の式の差商は次のようになり、極限も導関数と一致します。

(g(x + h) - g(x))/h = 6x² + 6xh + 2h² + 2x + h - 1
lim[h→0] (g(x + h) - g(x))/h = 6x² + 2x - 1

もし両方の括弧を別々に微分して掛けると、2次式の一部が落ちます。また、展開前に一方の括弧を定数と決めることもできません。両方とも x の変化に応じて値が変わるためです。積の形を見たら展開という手順を選び、展開の確認と微分の確認を分けて行います。

発展例題：文字係数と恒等式

a、b を定数とし、次の関数の導関数がどの実数 x に対しても 3x² − 4x + 5 に等しいとします。a、b を整数で求め、条件に戻して確かめてください。

p(x) = (x + 1)(x² + ax + b)

まず展開してから、x について微分します。a と b は x によらない数です。

p(x) = x³ + ax² + bx + x² + ax + b
= x³ + (a + 1)x² + (a + b)x + b
p′(x) = 3x² + 2(a + 1)x + (a + b)

2つの多項式がどの実数 x でも等しいので、同じ次数の係数がそれぞれ等しくなります。x の係数と定数項を比べます。

2(a + 1) = -4
a + 1 = -2
a = -3
a + b = 5
-3 + b = 5
b = 8

条件に戻すと、元の関数とその導関数は次の通りです。

p(x) = (x + 1)(x² - 3x + 8)
= x³ - 2x² + 5x + 8
p′(x) = 3x² - 4x + 5

指定された式と各係数が一致しました。たとえば x = 0 の値だけが一致しても、x や x² の係数が違う可能性があります。「どの実数 x でも」という条件があるから係数を比較できるのであり、1点の値の一致だけから同じ結論を出してはいけません。逆に係数が一致すれば、どの x を代入しても等しいことが確認できます。

誤答を差商に戻して直す

たとえば q(x) = -2x² + 5x + 9 を微分して、q′(x) = -4x + 5x + 9 とする誤答を考えます。二次の項は処理できていますが、一次の項と定数項を元の形のまま残しています。図3のように、項を3つに分け、それぞれの変化を追います。

図3では 5x の微分は5、9の微分は0です。正しくは次の式です。

q′(x) = -2・2x + 5・1 + 0
= -4x + 5

一次の項を残す誤りは、x の次数1を下げる操作を忘れたためです。定数項を残す誤りは、元の値と変化の割合を混同したためです。定数を足してグラフ全体を上下に動かしても、同じ横方向の変化に伴う縦の差は変わりません。

別の失敗として、-2x² の係数を正の4にする場合があります。元の係数は -2 なので、2を掛けても -4 です。また、x = 0 で誤答の値は9、正しい値は5ですが、元の差商は 5 − 2h となり、極限は5です。点を選んだ照合は誤りを見つけられますが、たまたま一致する点もあり得ます。最終的には各項の規則へ戻って確認します。

練習問題

いずれも x について微分し、導関数を整理した多項式で答えてください。a は x によらない定数です。先に5問を解き、後の解答と途中式を照らしてください。

1. f(x) = 4x² − 7x + 11
2. g(x) = -3x³ + 2x² − 8
3. h(x) = (x − 3)(x² + 2x − 4)
4. k(x) = (2x + 1)(x − 4)
5. m(x) = ax³ − 2ax² + 6x − a

練習の答えと解き方

1

f′(x) = 4・2x - 7・1 + 0
= 8x - 7

x = 0 の差商は ((4h² − 7h + 11) − 11)/h = 4h − 7 です。極限は -7 で、答えに0を代入した値と一致します。定数11が差で消えることも確認できます。

2

g′(x) = -3・3x² + 2・2x - 0
= -9x² + 4x

x = 1 で答えは -5 です。元の式の差商は -5 − 7h − 3h² となり、その極限も -5 です。負の定数 -8 がそのまま残らないことに注意します。

3

h(x) = x³ + 2x² - 4x - 3x² - 6x + 12
= x³ - x² - 10x + 12
h′(x) = 3x² - 2x - 10

元の積に x = 1 を入れると (-2)(-1) = 2 で、展開後も 1 − 1 − 10 + 12 = 2 です。さらに x = 0 の差商は h² − h − 10 で、その極限 -10 は答えの値に一致します。積の展開と微分の両方を確かめています。

4

k(x) = 2x² - 8x + x - 4
= 2x² - 7x - 4
k′(x) = 4x - 7

x = 2 で元の積は (5)(-2) = -10、展開後も 8 − 14 − 4 = -10 です。x = 2 の差商は 1 + 2h なので、極限1は導関数に2を代入した値と一致します。異なる問題の答えが同じ式になることもありますが、途中の展開はそれぞれ確認します。

5

m′(x) = 3ax² - 4ax + 6 + 0
= 3ax² - 4ax + 6

a は任意の定数です。a = 0 なら元の式は 6x、答えは6となり、条件と一致します。一般の a でも x = 0 の差商は ah² − 2ah + 6 で、その極限は6です。文字が残ることと、x によって変化することは別です。

練習で答えが合わなかった場合は、最初に元の式と展開後の式を同じ数で比べ、次に各項の微分を調べます。値が一致する点を1つ見つけただけでは展開の正しさは証明できません。分配法則による各項の対応を確認し、数値代入は見落としを探す補助として使います。

手元に残す要点

• 差商では h ≠ 0 で約分し、その後に極限を取ります。
• 各項の係数に次数を掛け、x の次数を1下げます。
• 定数項の微分は0、一次の項の微分はその係数です。
• 積は展開して整理し、和差の各項を微分します。
• 文字係数は何について微分するかを確かめて扱います。

手が止まったときの確かめ方

定数項が残った答案なら、その定数を c と置き、(c − c)/h を計算してみてください。0になる理由を言葉にできれば、暗記した規則を差商に結びつけられます。一次の項を残した答案なら、(c(x + h) − cx)/h を展開し、h の約分後に何が残るかを追います。

個別指導で確かめるなら、括弧のある式をまず展開し、どの項どうしをまとめたかを口に出して説明すると、展開の誤りと微分の誤りを切り分けられます。計算が合ったときも、元の式の定数を変えれば導関数がどうなるかを考えてみてください。定数を変えても差商の差には現れないため、導関数は変わりません。各項の変化を見れば、定数項の扱いにも理由が残ります。