大学入試数学 確率の漸化式と偶奇—直前の二状態から更新式を作り初期値と一般項を結ぶ｜武蔵野個別指導塾

点灯が奇数回になる確率を、偶数と奇数の二状態の行き来から求めると121/243です。初期値と1回で点く確率がそろえば、更新式の分かれ目になるのは偶奇です。

工作室に小さな表示灯が一つあります。作業台の記録係は、1回の作業が終わるたびに表示灯を見て、点いていれば点灯、消えていれば消灯と記録します。1回の作業で表示灯が点く確率を p、点かない確率を 1-p とします。作業どうしは独立で、p は毎回同じ値です。ここでは 0<p<1 とします。

記録をのぞいた高校生が「4回作業したのだから、点灯も4回でしょう」と言いました。独立な試行では、点く回数は作業の回数と一致しません。点かない回もあり、同じ4回でも0回から4回まで幅があります。回数を数える対象は操作の回数ではなく、点いた回数です。この取り違えは、確率を足すだけの式を作ってしまう誤りへつながります。

この場面の問いは三つの形で出ます。第一は、n回の作業を終えたとき、点いた回数が奇数である確率です。第二は、nを1つ増やすとその確率がどう変わるかという比較です。第三は、表示灯そのものが操作のたびに切り替わる機械で、時刻nに点いている確率です。形は違っても、どれも直前の状態を二つに分けて持つと同じ更新式になります。

二つの状態を分けて持つ

n回の作業を終えた時点で、点いた回数が偶数である確率を Eₙ、奇数である確率を Oₙ とします。時刻0では、まだ一度も点いていないので0回です。0は偶数ですから、O₀ は0、E₀ は1です。この初期値は省略せずに書きます。nの範囲は0以上の整数で、Eₙ と Oₙ はどちらも0以上1以下です。

偶数と奇数は同時に起こらず、どちらか一方しかありません。したがって、どのnでも Eₙ と Oₙ の合計は1です。この関係を全確率1と呼びます。状態を二つに分けただけでは未知数が二つ残りますが、合計が1であることを使えば一方を消せます。更新式を作るときは、まず二つとも書いてから、片方を1から引いて整理します。

n回目までの偶奇が決まれば、n+1回目にどちらの状態へ移るかは次の1回だけで決まります。偶数から点けば奇数へ移り、その確率は p です。奇数から点けば偶数へ移り、これも確率は p です。点かなければ偶奇は変わりませんから、その確率は 1-p です。過去の点き方は、いまどちらの状態にいるかという情報にまとまります。このまとめ方が、点いた回数をそのまま覚えるより少ない情報で済む点です。

図1のように、偶数と奇数の間を行き来する矢印はどちらも p、その場にとどまる矢印は 1-p です。図1で確かめてから、次の更新式を立てます。

Oₙ₊₁ = p・Eₙ + (1-p)・Oₙ
Eₙ₊₁ = (1-p)・Eₙ + p・Oₙ

第1式の右辺は、偶数から点いて奇数へ入る流れと、奇数から点かずに奇数へ残る流れの和です。第2式はその反対で、偶数から点かずに残る流れと、奇数から点いて偶数へ入る流れの和です。二つの式の係数を足すと、どの項も p+(1-p) になります。これは、行き先が必ずどちらか一方であることの表れです。

Eₙ を 1-Oₙ に置き換えると、式は一つにまとまります。

Oₙ₊₁ = p・(1-Oₙ) + (1-p)・Oₙ
Oₙ₊₁ = p + (1-2p)・Oₙ

ここで現れた 1-2p が、この題の中心の係数です。p が 1/2 より小さいと正、1/2 より大きいと負、ちょうど 1/2 なら0になります。この係数の符号が、Oₙ が 1/2 をまたいで入れ替わるか、1/2 の片側にとどまるかを決めます。

基本例題　5回の操作で点く回数が奇数になる確率

【標準】1回の作業で表示灯が点く確率を 1/3、点かない確率を 2/3 とします。5回の作業を独立に行うとき、点いた回数が奇数である確率を求めてください。答えは既約分数で答えてください。

O₀ は0です。1回目は、偶数から点く場合だけが奇数になりますから、O₁ は p、すなわち 1/3 です。以下、更新式 Oₙ₊₁ = p + (1-2p)Oₙ に p と 1-2p を入れて順に進めます。ここでは p は 1/3、1-2p は 1/3 です。

O₀ = 0
O₁ = 1/3 + (1/3)・0 = 1/3
O₂ = 1/3 + (1/3)・(1/3) = 1/3 + 1/9 = 4/9
O₃ = 1/3 + (1/3)・(4/9) = 1/3 + 4/27 = 9/27 + 4/27 = 13/27
O₄ = 1/3 + (1/3)・(13/27) = 1/3 + 13/81 = 27/81 + 13/81 = 40/81
O₅ = 1/3 + (1/3)・(40/81) = 1/3 + 40/243 = 81/243 + 40/243 = 121/243

Eₙ も同時に確かめます。O₁ が 1/3 なら E₁ は 2/3、O₂ が 4/9 なら E₂ は 5/9、O₃ が 13/27 なら E₃ は 14/27、O₄ が 40/81 なら E₄ は 41/81、O₅ が 121/243 なら E₅ は 122/243 です。どの段階でも合計は1になります。図2は、この計算の途中である n=0 から n=3 までの二つの値を表にしたものです。

図2のように、偶数側の確率は 1、2/3、5/9、14/27 と減り、奇数側は 0、1/3、4/9、13/27 と増えています。p が 1/2 より小さいので、奇数側の値は前の段階より大きく、1/2 との差は段階ごとに小さくなります。ここで行き先を確かめるために、答えを二項係数で数え直します。

5回のうち点く回数が k である確率は、C(5,k)・(1/3)ᵏ・(2/3)⁵⁻ᵏ です。C(n,k) は n 個から k 個を選ぶ組合せの数で、C(n,k) は n・(n-1)・…・(n-k+1) を k・(k-1)・…・1 で割った値です。奇数になるのは k が 1、3、5 の場合です。

k=1: C(5,1)・(1/3)・(2/3)⁴ = 5・(1/3)・(16/81) = 80/243
k=3: C(5,3)・(1/3)³・(2/3)² = 10・(1/27)・(4/9) = 40/243
k=5: C(5,5)・(1/3)⁵ = 1/243
合計: 80/243 + 40/243 + 1/243 = 121/243

更新式の結果と一致しました。答えは 121/243 です。小数では約0.498で、1/2よりわずかに小さい値です。5回ではまだ 1/2 との差が残ります。この差がどこから来るかは、次の標準例題で一般項にして確かめます。

標準例題1　文字のまま更新式を解く

【標準】0<p<1 とします。Oₙ が満たす更新式から、Oₙ を p と n の式で表してください。また p が 1/2 のときの値を確かめ、p が 1/2 より小さいときと大きいときで Oₙ の動きがどう違うかを説明してください。n は0以上の整数です。

更新式は Oₙ₊₁ = p + (1-2p)Oₙ です。この形は、数学Bで学ぶ漸化式 xₙ₊₁ = r・xₙ + c と同じ形です。r が1でなければ、定数を引いて等比の形に直せます。ここでは両辺から 1/2 を引きます。1/2 を選ぶ理由は、p + (1-2p)・(1/2) を計算すると 1/2 になるからです。つまり 1/2 は、右辺へ入る流れと出る流れがつり合う値です。

Oₙ₊₁ - 1/2 = p + (1-2p)・Oₙ - 1/2
Oₙ₊₁ - 1/2 = (1-2p)・Oₙ - (1/2 - p)
Oₙ₊₁ - 1/2 = (1-2p)・(Oₙ - 1/2)

最後の式で、Oₙ − 1/2 という一つの量が毎回 (1-2p) 倍されることがわかります。初項は O₀ − 1/2 で、O₀ は0ですから -1/2 です。したがって、n回で (1-2p) を n回かけた値になります。

Oₙ - 1/2 = (-1/2)・(1-2p)ⁿ
Oₙ = 1/2 - (1/2)・(1-2p)ⁿ

p が 1/2 のときは 1-2p が0です。n が1以上なら (1-2p)ⁿ は0、n が0なら1です。式は n が1以上で 1/2、n が0で0を与えます。n が1以上なら、1回目に点くかどうかが半々で、以降も同じなので、奇数と偶数が同じ確率になるという結果と合います。

p が 1/2 より小さいとき、1-2p は0と1の間の正の数です。n が増えるほど (1-2p)ⁿ は小さくなり、Oₙ は 1/2 より小さいまま増えます。p が 1/2 より大きいとき、1-2p は -1 と0の間の負の数です。n が1増えるたびに符号が入れ替わり、Oₙ は 1/2 の上下を行き来します。増えるか減るかが n の偶奇で決まる、というのがこの題の名前につながる性質です。

別解として、二項定理で一気にまとめることもできます。n回のうち奇数回点く確率は、奇数 k について C(n,k)・pᵏ・(1-p)ⁿ⁻ᵏ を足したものです。(p+(1-p))ⁿ と ((1-p)-p)ⁿ をそれぞれ展開し、引き算すると奇数乗の項だけが2倍で残ります。

(p+(1-p))ⁿ - ((1-p)-p)ⁿ = 2・(奇数 k の項の和)
1 - (1-2p)ⁿ = 2・Oₙ
Oₙ = (1 - (1-2p)ⁿ)/2

この変形は、偶数乗の項が引き算で消え、奇数乗の項だけが残ることを使っています。二つの導き方が同じ式に着くことを確かめると、更新式の係数の意味も見えやすくなります。

標準例題2　切り替わる表示灯で時刻nの点灯確率

【やや難】表示灯の状態は、操作のたびに確率 p で反転し、確率 1-p でそのままとします。時刻0では消灯しています。p が 3/5 のとき、3回の操作を終えた時点で点灯している確率と、4回の操作を終えた時点で点灯している確率を求めてください。答えは既約分数で答えてください。また、2回目と4回目の値が 1/2 より小さく、3回目の値が 1/2 より大きい理由を説明してください。

この機械では、点く回数ではなく、状態が反転した回数の偶奇が点灯と消灯を決めます。時刻0で消灯ですから、反転が奇数回なら点灯、偶数回なら消灯です。点灯している確率を aₙ とします。a₀ は0です。n+1回目に点灯するのは、n回目に消灯していて反転する場合と、n回目に点灯していて反転しない場合です。

aₙ₊₁ = p・(1-aₙ) + (1-p)・aₙ
aₙ₊₁ = p + (1-2p)・aₙ

基本例題と同じ形の更新式になりました。p が 3/5 なので、1-2p は -1/5 です。両辺から 1/2 を引くと、aₙ − 1/2 が毎回 -1/5 倍されます。初項 a₀ − 1/2 は -1/2 です。

aₙ - 1/2 = (-1/2)・(-1/5)ⁿ
aₙ = 1/2 - (1/2)・(-1/5)ⁿ
a₁ = 1/2 + 1/10 = 3/5
a₂ = 1/2 - 1/50 = 24/50 = 12/25
a₃ = 1/2 + 1/250 = 125/250 + 1/250 = 126/250 = 63/125
a₄ = 1/2 - 1/1250 = 625/1250 - 1/1250 = 624/1250 = 312/625

3回目の値は 63/125、4回目の値は 312/625 です。小数では 0.504 と 0.4992 で、3回目は 1/2 より大きく、4回目は小さくなります。2回目は 12/25、すなわち 0.48 です。4回目は2回目より大きいのに、まだ 1/2 に届いていません。値の大小を並べると、a₂ が a₄ より小さく、a₄ が a₃ より小さく、a₃ が 1/2 より大きい、という順になります。

理由は、(-1/5)ⁿ の符号が n の偶奇で決まるからです。n が奇数なら負で、1/2 から負の量を引くので 1/2 より大きくなります。n が偶数なら正で、1/2 から正の量を引くので 1/2 より小さくなります。1/5 は1より小さいので、n が増えるほど 1/2 との差は小さくなります。そのため、同じ側では後の n ほど 1/2 との差が小さい値になります。a₂ より a₄ が大きいのはこのためです。

この例題は、状態が反転する機械でも、点いた回数を数える場面でも、更新式の形が同じになることを示しています。状態を二つに分け、次の1回でどちらへ移るかを係数にする。この手順が共通の芯です。場面の言葉に引っぱられて係数を決めないことが大切です。

発展例題　途中で確率が変わる操作

【難】1回目の操作では表示灯が確率 1/4 で点き、2回目以降の操作では確率 3/4 で点くものとします。各操作は独立です。4回の操作を終えたとき、点いた回数が奇数である確率を求めてください。また n が1以上のとき、Oₙ を n の式で表し、1/2 との差の符号が n の偶奇で入れ替わることを示してください。

1回目だけ確率が違うので、最初の1回を別に扱います。O₁ は 1/4 です。2回目以降は p が 3/4 で、1-2p は -1/2 です。O₁ を新しい初期値として、同じ更新式を続けます。

O₁ = 1/4
Oₙ₊₁ - 1/2 = (-1/2)・(Oₙ - 1/2)   (n が1以上)
Oₙ - 1/2 = (O₁ - 1/2)・(-1/2)ⁿ⁻¹
Oₙ - 1/2 = (-1/4)・(-1/2)ⁿ⁻¹
Oₙ = 1/2 - (1/4)・(-1/2)ⁿ⁻¹

n に 1 から 4 までを入れて確かめます。n が1のときは 1/2 − (1/4)・1 で 1/4、n が2のときは 1/2 − (1/4)・(-1/2) で 1/2 + 1/8、すなわち 5/8、n が3のときは 1/2 − (1/4)・(1/4) で 1/2 − 1/16、すなわち 7/16、n が4のときは 1/2 − (1/4)・(-1/8) で 1/2 + 1/32、すなわち 17/32 です。

O₁ = 1/4
O₂ = 5/8
O₃ = 7/16
O₄ = 17/32

4回目の値は 17/32 です。1/2 との差は、n が奇数のとき -1/4・(1/2)ⁿ⁻¹ で負、n が偶数のとき正になります。n が1増えるたびに -1/2 倍されるので、符号は必ず入れ替わり、差の大きさは半分になります。この符号の入れ替わりは、初期値が 1/2 でないことと、1-2p が負であることの二つから来ています。

証明は、n が1増えるときの変化を追う形で書きます。n が奇数のとき (-1/2)ⁿ⁻¹ は正で、それに -1/4 をかけると負になります。n が偶数のとき (-1/2)ⁿ⁻¹ は負で、-1/4 をかけると正になります。どちらも n が1増えると指数が1増え、値は -1/2 倍されます。したがって、差の符号は交互に入れ替わり、絶対値は前の半分です。n=1 の差が -1/4 で負であることから、n が1以上のすべての整数でこの規則が成り立ちます。

誤答を直す　回数を足す誤りと状態を混ぜる誤り

まず、確率を足すだけの誤りを見ます。p が 1/3 のとき、4回の操作で点く回数が奇数になる確率を、1/3 を4回足して 4/3 と答えた人がいました。確率が1を超えた時点で誤りだとわかりますが、どこで壊れたのかを説明できることが大切です。1/3 を足す計算は、各回で「新しく奇数になる」場合だけを数え、奇数から点いて偶数に戻る場合を無視しています。

図3のように、回数を足す見方では 4/3 になり、状態を二つで追う見方では 40/81 になります。正しい見方では、奇数側には偶数から入る流れと、奇数に残る流れの両方があります。点く確率を足すだけでは、入る流れは数えても、出る流れを引いていません。O₄ の 40/81 は1より小さい値で、足し算の 4/3 とは別の値です。

二つ目は、操作の回数と点灯した回数を同じものとして扱う誤りです。3回操作したから点灯も3回、という考え方です。各操作で点く確率が1未満なら、点かない操作も起こります。3回の操作で点く回数は0回から3回まであり、そのどれも起こり得ます。回数の偶奇を問うときは、操作の回数の偶奇ではなく、点いた回数の偶奇を状態にします。

三つ目は、Eₙ と Oₙ を両方とも未知数のままにして、式を一本だけ立てて止まる誤りです。二つの状態を書くところまではよいのですが、全確率1を使わないと式が閉じません。Eₙ を 1-Oₙ に直してから整理する、という一手を入れると、Oₙ だけの更新式になります。逆に、Oₙ を消して Eₙ の式にしても同じ形になります。

直し方の手順は決まっています。まず、時刻0の状態を一行で書きます。次に、n+1回目に起きることを「入る流れ」と「残る流れ」に分けて式にします。そのあと、全確率1で一方を消し、定数を引いて等比の形にします。最後に、n が0と1の値を手で計算し、式の値と合うかを確かめます。この四手順を毎回書けば、係数の取り違えは見つかります。

練習問題

次の5問では、点検、案内、作業、測定、受付の場面で確かめます。難度を各問の先頭に示します。

1.【標準】印刷室の警告灯は、1回の点検で確率 2/5 で点きます。4回の点検を独立に行うとき、点いた回数が奇数である確率を求めてください。答えは既約分数で答えてください。

2.【標準】玄関の案内灯は、操作のたびに確率 1/4 で点灯と消灯が反転し、確率 3/4 でそのままです。時刻0では点灯しています。3回の操作を終えた時点で点灯している確率を求めてください。答えは既約分数で答えてください。

3.【標準】倉庫の作業灯は、1回の作業で確率 1/3 で点きます。Oₙ を、n回の作業で点いた回数が奇数である確率とします。Oₙ が 5/12 より大きくなる最小の n を求めてください。n は1以上の整数です。

4.【やや難】測定器の表示灯は、1回の測定で確率 1/3 で点きます。4回の測定を行ったところ、少なくとも1回は点いたことがわかりました。この条件のもとで、点いた回数が奇数である確率を求めてください。答えは既約分数で答えてください。

5.【難】受付の呼び出し灯は、1回の操作で確率 1/4 で点きます。n回の操作で、点いた回数が偶数である確率と奇数である確率の差を Dₙ とします。Dₙ が 1/10 より小さくなる最小の n を求めてください。また、そのときの Dₙ の値を答えてください。

練習問題の解答

1. p が 2/5 なので、1-2p は 1/5 です。O₀ は0です。更新式で順に求めます。

O₁ = 2/5
O₂ = 2/5 + (1/5)・(2/5) = 10/25 + 2/25 = 12/25
O₃ = 2/5 + (1/5)・(12/25) = 50/125 + 12/125 = 62/125
O₄ = 2/5 + (1/5)・(62/125) = 250/625 + 62/625 = 312/625

答えは 312/625 です。E₄ が 313/625 で、合計が1になることも確かめられます。一般項 1/2 − (1/2)・(1/5)⁴ を計算しても、1/2 − 1/1250 で 624/1250、すなわち 312/625 になります。

2. 時刻0で点灯しているので、点灯している確率を aₙ とすると a₀ は1です。反転する回数が偶数なら点灯のまま、奇数なら消灯になります。更新式 aₙ₊₁ = p + (1-2p)aₙ に p と 1-2p を入れます。p は 1/4、1-2p は 1/2 です。

a₁ = 1/4 + (1/2)・1 = 3/4
a₂ = 1/4 + (1/2)・(3/4) = 1/4 + 3/8 = 5/8
a₃ = 1/4 + (1/2)・(5/8) = 1/4 + 5/16 = 9/16

答えは 9/16 です。一般項 1/2 + (1/2)・(1/2)ⁿ に n が3を入れると、1/2 + 1/16 で 9/16 になります。初期値が 1/2 より大きいので、1/2 より大きいまま減る動きです。

3. p が 1/3 なので、1-2p は 1/3 です。一般項は 1/2 − (1/2)・(1/3)ⁿ です。これが 5/12 より大きくなる条件を整理します。

1/2 - (1/2)・(1/3)ⁿ > 5/12
1/2 - 5/12 > (1/2)・(1/3)ⁿ
1/12 > (1/2)・(1/3)ⁿ
1/6 > (1/3)ⁿ
6 < 3ⁿ

n が1なら 3 で、6より大きくありません。n が2なら 9 で、6より大きくなります。したがって、最小の n は2です。確かめると、O₁ は 1/3 で 5/12 より小さく、O₂ は 4/9 で 5/12 より大きくなります。O₂ の 4/9 を 5/12 と比べると、通分して 16/36 と 15/36 です。

4. 4回の測定で点いた回数が奇数である確率は、p が 1/3 の基本例題と同じ計算で 40/81 です。少なくとも1回点く事象の確率は、1から4回とも点かない確率を引いた値です。4回とも点かない確率は (2/3)⁴ で 16/81 です。

P(少なくとも1回点く) = 1 - 16/81 = 65/81
P(奇数｜少なくとも1回点く) = (40/81)/(65/81) = 40/65 = 8/13

答えは 8/13 です。条件の事象の確率が正であることを、65/81 という値で確かめてから割りました。奇数になる場合は必ず少なくとも1回点く場合に含まれるので、分子はそのまま 40/81 です。

5. 偶数である確率と奇数である確率の差 Dₙ は、Eₙ − Oₙ です。Eₙ は 1-Oₙ ですから、Dₙ は 1-2Oₙ になります。Oₙ の式を入れると、1/2 の項が打ち消し合います。

Dₙ = 1 - 2・(1/2 - (1/2)・(1-2p)ⁿ)
Dₙ = (1-2p)ⁿ

p が 1/4 なので、1-2p は 1/2 です。したがって Dₙ は (1/2)ⁿ です。n が1で 1/2、n が2で 1/4、n が3で 1/8、n が4で 1/16 です。1/10 より小さくなるのは、1/16 が 0.0625 で 0.1 より小さい n=4 です。答えは n=4、D₄ は 1/16 です。n=3 の 1/8 は 0.125 で、まだ 1/10 より大きい値です。

覚えておくこと

• 点いた回数の偶奇は、偶数と奇数という二つの状態に分けて持つ。どの段階でも二つの確率の合計は1です。
• 更新式は Oₙ₊₁ = p + (1-2p)Oₙ。偶数から点く流れが入り、奇数から点く流れが出ます。
• 両辺から 1/2 を引くと、Oₙ − 1/2 が毎回 (1-2p) 倍される等比の形になります。
• 一般項は 1/2 − (1/2)・(1-2p)ⁿ。p が 1/2 なら、n が1以上で 1/2 です。
• 確かめは、n が0と1の手計算、合計が1になること、p が0や1の特別な場合で行います。

つまずきの見分け方と確かめる箇所

確率を足すだけの式を作っている人は、n を増やすと値が1を超えるか、1に届かないまま横ばいになります。ノートの途中で O₄ が 4/3 のような値になっていたら、入る流れだけを足して出る流れを引いていない合図です。合計が1になっているかを各段階で見れば、早い段階で気づけます。

操作の回数と点いた回数を同じものとして扱っている人は、答えに p が現れません。p が 1/3 でも 3/5 でも同じ答えになったら、点く確率を式に取り込めていない証拠です。また、状態を二つ書いたのに式が一本しかない人は、全確率1を使う一手が抜けています。

式の形は合っているのに符号を落とす人もいます。1-2p の符号は、p が 1/2 より大きいか小さいかで決まります。p が 1/2 より大きい設定で単調に増える答えを書いたら、(-1/2)ⁿ のような交互の符号を落としています。n が1と2の値を手で計算し、式の値と並べれば、符号の誤りは見つかります。

確かめる箇所は三つあります。第一に、時刻0の状態を書けるか。第二に、n+1回目に偶数から奇数へ移る場合と、奇数から偶数へ移る場合を、図を見ながら言葉で説明できるか。第三に、求めた一般項に n が0と1を入れて、初期値と1回目の値に戻るか。この三つがそろえば、係数の意味を取り違えたまま進むことはありません。

点いた回数を数える手が止まったら、回数ではなく、いま偶数か奇数かという一道具に持ち替える。その持ち替えができると、確率の更新式は覚えるものではなく、その場で作れるものになります。