大学入試数学 整数と論証｜整数条件の絞り込みと証明方針の選び方｜武蔵野個別指導塾

約数と倍数、合同式、不定方程式から、対偶・背理法・数学的帰納法、存在と一意性までを30の問いに分けた目次です。自作の類題で条件を読み、候補を絞る根拠と答えを元の条件へ戻す手順を確かめます。計算は進むのに整数解を尽くした理由が書けないときや、証明の方針を選べないときに、つまずいた問いから読めます。

約数の候補を絞れないときは1〜5、余りの使い方で迷うときは6〜10から進めます。不定方程式と整数値の条件は11〜19で扱います。

反例や証明の仮定が混ざるときは20〜24、帰納法の起点と推論は25〜27を確かめてください。28〜30では存在と一意性を別々に証明して答案を完成させます。

約数と互いに素の条件

• 大学入試数学 約数条件と大小評価—割り切れる数の上下限を組み合わせて候補を有限にする
• 大学入試数学 約数個数からの逆算—素数の指数の組を絞って元の整数を復元する
• 大学入試数学 最大公約数と和の条件—互いに素な二数へ直して可能な組を証明する
• 大学入試数学 互いに素な積と平方—素因数の所属を分けて各因子の形を決める
• 大学入試数学 一次式どうしの公約数—整数の一次結合で共通因子の候補を固定する

余りから候補を絞る

• 大学入試数学 合同式の法の選択—係数と平方の余りを見て調べる法を決める
• 大学入試数学 合同式の約分条件—共通因子がある場合の解の取りこぼしを直す
• 大学入試数学 累乗の余りと不可能性—指数の周期から整数解がない理由を示す
• 大学入試数学 平方数の二つの余り条件—別々の法の必要条件を重ねて候補を削る
• 大学入試数学 同時余り条件の整合性—共通因子に着目して解の存在を見極める

整数解と大小の条件

• 大学入試数学 一次不定方程式と追加条件—一般解に別の整除条件を加えて全解を決める
• 大学入試数学 非負整数解と総量の境界—解が存在する範囲をパラメータで説明する
• 大学入試数学 因数分解と零積の場合—積が零になる枝も分けて整数解を尽くす
• 大学入試数学 逆数の和の整数解—分母の条件を保って約数の組へ変形する
• 大学入試数学 二次方程式の整数根—判別式の平方条件と根の整除条件を両方調べる
• 大学入試数学 連続する平方数の間隔—二つの平方で挟んで整数値の可能性を絞る
• 大学入試数学 対称な整数条件と順序—大小を固定して探索の重複と上限を整理する
• 大学入試数学 分数式が整数になる条件—割り算の余りへ直して分母の約数を絞る
• 大学入試数学 文字を含む整数解の絞り込み—上限の証明から候補の検証まで答案を完成する

反例と証明方針

• 大学入試数学 整数命題の反例の作り方—否定の範囲を保って成立しない条件を探す
• 大学入試数学 対偶と素因数の条件—直接示しにくい整除命題を否定から組み直す
• 大学入試数学 背理法と最小の候補—最小性に反する整数を作って矛盾を示す
• 大学入試数学 背理法と有限個の仮定—候補の一覧に入らない整数を作って否定する
• 大学入試数学 直接証明と対偶と背理法—同じ整数命題の仮定の置き方を比べて選ぶ

帰納法と存在・一意性

• 大学入試数学 数学的帰納法と開始番号—成り立つ範囲を調べて証明の起点を決める
• 大学入試数学 数学的帰納法と合同条件—指数式の差を作って仮定が使える形へ直す
• 大学入試数学 二段進む数学的帰納法—偶奇それぞれの初期値から全体を覆う
• 大学入試数学 整数解の存在の示し方—条件から具体的な候補を組み立てて代入する
• 大学入試数学 整数解の一意性の示し方—二つの候補の差と範囲から同じ値だと示す
• 大学入試数学 存在と一意性の完成答案—候補の構成と他の解の排除を分けて論証する

解いた後は、候補を出した行と他の候補を除いた行に印を付け、根拠を自分の言葉で確かめてください。