大学入試数学 対称な整数条件と順序—大小を固定して探索の重複と上限を整理する｜武蔵野個別指導塾

和と積の条件で小さい整数の上限を定め、同じ数の組と入れ替えた組を区別する対称な順序。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで大小を仮定したまま逆の組を戻さないという場面です。計算で見つかった組が正しくても、求めるものが順序対なら答えが欠けることがあります。大小を決める操作は、探索を短くするための一時的な約束です。元の条件と答えの指定に戻って、その約束を外すところまで考えます。

先に何を確かめるか

2つの整数 x, y について、x + y や xy の値を指定する条件は、x と y を入れ替えても変わりません。このような条件をここでは対称な条件と呼びます。例えば和と積がともに決まっている問題では、片方を小さい数として探し、その後に入れ替えを戻せます。一方、x − y の値や x のみに課した範囲は入れ替えで変わることがあり、同じ操作を無条件には使えません。

問いには、和と積から順序対を求める型、和と積を組み合わせた式から候補を絞る型、同じ数の組を含めて個数を数える型があります。最初に見るのは、変数が正整数か、0を含むか、負の整数も許すかという範囲です。以下では自然数を1以上の整数とします。正であることが、積や和から上限を作るときに効きます。

同じ条件でも「順序対」と「順序を区別しない組」は答え方が違います。順序対 (a, b) は、a と b が異なれば (b, a) と別です。a = b なら入れ替えても同じ1個です。個数を2倍する前に、この等しい場合を調べます。

小さい方に役割を与える

対称な条件を満たす任意の組について、小さい方を a、大きい方を b と置けば、1 ≤ a ≤ b です。元の組がどちらの順序であっても、この代表に移せます。逆に、代表を見つけた後は (a, b) と (b, a) を元の条件へ戻します。図1のように、等号がある行だけは復元しても1組です。

図1では a < b と a = b を分けています。対称性は入れ替えた組が条件を保つ理由であり、探索した代表が条件を満たす理由ではありません。候補そのものについても代入が必要です。

和が S なら、a ≤ b より 2a ≤ a + b = S です。したがって a は S/2 以下の自然数に限られます。積が P なら、正の数どうしなので a² ≤ ab = P です。a の平方が P を超えない範囲を調べれば足ります。この2つは上限の理由が異なります。積の不等式では a が正であることを使っており、負を含む問題へそのまま持ち込めません。

候補を試すときは、上限とともに端点も記録します。2a = S や a² = P は a = b の可能性に対応します。端点を除くと、対角の組を落とすことがあります。逆に、得られた不等式は必要条件であり、その範囲の数がすべて解だとは限りません。残った数にもう一方の条件を課します。

上限が使えない場合も見分ける

和が決まるときの上限は、両方が正であることと、どちらを小さい方にしたかを一緒に使っています。整数全体を許して和だけを固定すると、小さい方は負の方向にいくらでも動けます。したがって「小さい方は和の半分以下」という不等式だけでは、探索範囲は有限になりません。下限も別に必要です。自然数であれば下限1があり、初めて端から端まで列挙できます。

積についても同様です。正の積が与えられたとしても、負の整数を許すと2数とも負の場合があります。正の因子の表だけで終了せず、負の因子の組を別に調べる必要があります。また積が0なら、片方が0であるという枝が生じます。非負整数の問題で積が0という情報だけでは、もう片方には上限がなく、和などの追加条件が必要です。最初に変数の範囲を見る理由は、このように候補の作り方そのものが変わるためです。

探索の途中で候補が1つも残らない場合も、失敗ではなく結論です。ただし、試した範囲が全解を覆うことを先に示した場合に限ります。数個を試して見つからなかっただけでは、範囲外の解を排除できません。逆に候補が残ったときは、必要条件に合うだけで安心せず、与えられた条件を全部調べます。有限の表は、範囲の証明と各行の確認がそろって初めて全解の根拠になります。

順序を区別しない組を求める問題なら、小さい方を先にした代表を1回ずつ書けば足ります。その際も、等しい数の組が許されるかを元の条件で確かめます。順序対の問題と比べると、探索は同じでも最後の書き方が変わります。問題文の指定に線を引いておけば、計算の終わりに何を戻すべきかを見失いにくくなります。

基本例題：和で小さい数の上限を決める

【標準】自然数 x, y が x + y = 14、xy = 45 を満たすとき、順序対 (x, y) をすべて求めてください。

条件は入れ替えで変わらないので、小さい方を a、大きい方を b とします。図2のように和から a の範囲を決め、その中で積を調べます。

1 ≤ a ≤ b
2a ≤ a + b
2a ≤ 14
1 ≤ a ≤ 7
b = 14 - a

積の条件は a(14 − a) = 45 です。a は 1 から 7 までなので、この有限の範囲を調べます。a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のとき、積は順に 13, 24, 33, 40, 45, 48, 49 です。よって a = 5、b = 9 です。

5 と 9 は異なりますから、元の順序対は (5, 9), (9, 5) です。いずれも和は 14、積は 45 で、自然数という条件も満たします。範囲を先に示したので、表にない小さい数が解になる余地はありません。

別の見方では、a と b が 45 の正の因子であることから因子の組を調べても求まります。その場合も、正の因子を尽くした理由と、和による選別、順序の復元を記します。和だけで範囲が狭いこの例では、1から7までの表が短く済みます。

式を整理してから上限を探す

【やや難】自然数 x, y が xy + x + y = 35 を満たすとき、順序対 (x, y) をすべて求めてください。

左右を入れ替えても式は変わりません。a ≤ b と置き、両辺に1を加えると、積の形になります。

ab + a + b = 35
ab + a + b + 1 = 36
(a + 1)(b + 1) = 36

自然数の条件から 2 ≤ a + 1 ≤ b + 1 です。そこで (a + 1)² ≤ 36 となり、a + 1 は 2 以上 6 以下です。36 をこの範囲の整数で割ると、余りが0になるものは 2, 3, 4, 6 です。それぞれの商は 18, 12, 9, 6 です。

(a + 1, b + 1) = (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6)
(a, b) = (1, 17), (2, 11), (3, 8), (5, 5)

元の順序対は (1, 17), (17, 1), (2, 11), (11, 2), (3, 8), (8, 3), (5, 5) です。例えば (3, 8) は 24 + 3 + 8 = 35 です。他の代表も元の式に戻すと順に 17 + 1 + 17 = 35、22 + 2 + 11 = 35、25 + 5 + 5 = 35 です。入れ替えたものも対称性により同じ値になります。

この方法で小さい方を6までに限れたのは、変形後の両因子が正で、前者が後者以下だからです。変形後の因子が負にもなりうる設定では、正の因子だけを並べる表は不十分です。また、積が36という条件から求めた候補は、1を引いた数が自然数かを確かめなければなりません。例えば因子1を許すと変数0が現れるため、この問題では除きます。

【難】自然数 x, y が x + y + xy = 23 を満たすとき、条件を満たす順序対の個数を求め、その理由を示してください。

同じ変形で (x + 1)(y + 1) = 24 です。小さい方を a とすると、2 ≤ a + 1、かつ (a + 1)² ≤ 24 です。5² = 25 なので a + 1 は 2, 3, 4 のいずれかです。すべて24の約数で、対応する商は 12, 8, 6 です。

(a + 1, b + 1) = (2, 12), (3, 8), (4, 6)
(a, b) = (1, 11), (2, 7), (3, 5)

各代表は異なる2数からなるため、それぞれ2通りの順序を持ちます。したがって個数は 3・2 = 6 です。元の式に戻すと、代表は順に 1 + 11 + 11 = 23、2 + 7 + 14 = 23、3 + 5 + 15 = 23 です。いずれも自然数であり、入れ替えも条件を満たします。

個数を数える際、代表の数を機械的に2倍する前に等号を調べます。この例では24が整数の平方でないので、変形後の因子が等しい場合はありません。一方、直前の例の36では等しい因子がありました。正の整数 P に対し、因子の代表が r 個、そのうち等しい因子の代表が d 個なら、順序を区別した個数は 2(r − d) + d です。ただし、変数に戻した後の条件も満たす代表だけを数えます。

抜けた順序と、余分な候補を直す

基本例題で「x ≤ y として (5, 9) を得たから答えは (5, 9)」と終える答案を考えます。計算中の大小の約束を元の問題の条件と取り違えています。図3のように、代表の探索と順序対への復元を別の段階にします。

図3の矢印の後で、逆の順序が元の条件も満たすかを確かめます。対称な式なら入れ替えで和も積も変わらないので、(9, 5) も解です。もし元の問題に x < y が加わっていれば、逆の組はその条件に反します。対称性は式だけでなく、与えられた条件全体に対して確認します。

別の誤りは、a ≤ 7 を得て、1から7のすべてを解にしてしまうことです。上限は解の候補を包む条件であって、積が45になる保証ではありません。たとえば a = 4 なら b = 10 ですが、積は40です。範囲に収まっていても元の積の条件に失敗します。候補を絞る行と、代入して採用する行を分ければ、この混同を避けられます。

練習：代表と元の答えを区別する

次の5問では自然数を1以上の整数とします。順序対を求める問題は、順序を区別してすべて答えてください。

1. 【標準】x + y = 12、xy = 32 を満たす順序対 (x, y) を求めてください。
2. 【標準】x + y = 10、xy = 25 を満たす順序対 (x, y) を求めてください。
3. 【やや難】xy + x + y = 19 を満たす順序対 (x, y) を求めてください。
4. 【やや難】xy + x + y = 14 を満たす順序対 (x, y) を求めてください。
5. 【難】x + y = 9、xy = 21 を満たす順序対 (x, y) の個数を求め、存在しない場合も理由を示してください。

答えと考え方

1. 小さい方を a とすると 1 ≤ a ≤ 6 です。b = 12 − a として積を順に調べると 11, 20, 27, 32, 35, 36 です。代表は (4, 8) なので、答えは (4, 8), (8, 4) です。和12、積32を両方満たします。

2. 1 ≤ a ≤ 5 で、a(10 − a) は順に 9, 16, 21, 24, 25 です。代表は (5, 5) であり、入れ替えても同じです。答えは (5, 5) の1組です。和は10、積は25です。

3. 両辺に1を加えると (x + 1)(y + 1) = 20 です。小さい因子は2以上で、その平方は20以下なので 2, 3, 4 を調べます。割り切れるのは2と4で、因子の代表は (2, 10), (4, 5) です。答えは (1, 9), (9, 1), (3, 4), (4, 3) です。代表を戻すと 9 + 1 + 9 = 19、12 + 3 + 4 = 19 です。

4. (x + 1)(y + 1) = 15 です。小さい因子は2以上、平方が15以下なので 2, 3 を調べます。割り切れるのは3で、因子の代表は (3, 5) です。答えは (2, 4), (4, 2) です。元の式で 8 + 2 + 4 = 14 となります。

5. 小さい方 a は 1 ≤ a ≤ 4 です。b = 9 − a とすると、積は a = 1, 2, 3, 4 に対し順に 8, 14, 18, 20 です。21になるものはありません。上限内を尽くしたので、順序対の個数は0です。候補を入れ替えても積は変わらず、欠けた解はありません。

手元に残すこと

小さい方を置く前に、条件全体が入れ替えで変わらないことを確かめます。 正の和や積から、小さい方の上限と等号を含む範囲を示します。 範囲内の候補を元の条件で選び、同じ数と異なる数を分けます。 求める形式が順序対なら、許される逆の順序を戻します。

どこで止まったかを見分ける

候補が多すぎるときは、和なら 2a ≤ a + b、積なら a² ≤ ab を書き、どの不等式で正の条件を使ったか確かめます。表は合うのに答えの数が違うときは、等しい組と異なる組に印を付け、入れ替えが別の順序対かを見ます。個別指導で答案を確認するなら、上限を出した行、候補を原式へ戻した行、順序を復元した行を順に説明してもらうと、抜けた推論を特定できます。対称性が許す範囲を見極めると、短い探索も完全な答えにつながります。