大学入試数学 分数式が整数になる条件—割り算の余りへ直して分母の約数を絞る｜武蔵野個別指導塾

一次式の商を定数と分数に分け、負の約数や分母が0となる候補まで追う整数条件の整理。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで分子だけを因数分解し続けるという場面です。分子の形が変わっても、分母で割り切れるかどうかが見えなければ、整数になる値は決まりません。分母をひとまとまりと見て分子からその倍数を取り出すと、分数部分の分子が定数になることがあります。その定数の約数を調べれば、負の値を含む候補を漏れなく扱えます。

どこを見れば候補が有限になるか

整数 n に対して、一次式を一次式で割った値が整数になる n を求める問題を考えます。最初に見るのは分母が0にならない条件です。式が定義されない値は、後で約数の一覧に出てきても答えに入れられません。自然数というときは1以上の整数を指し、整数と指定されたときは負の整数と0も含めます。

出方には、商をそのまま整数とする型と、商に範囲などの追加条件を課す型があります。また、分子と分母の係数がそろわず、分母を置き換えた後に割り切れる候補をさらに絞る型もあります。いずれも、分母と分子を別々に眺めるより、両者の差に一定の数を作れるかが鍵です。

例えば分母が n + 2、分子が 3n + 11 なら、分子は分母の3倍に5を加えたものです。n + 2 が非零なら、商は 3 + 5/(n + 2) です。整数3を取り除いても整数かどうかは変わらないので、残る分数を調べます。分母の候補は無限に見えても、5を割り切る非零の整数に限られます。

分母を約数に変える理由

整数 a、非零の整数 d に対して、a/d が整数であることと、ある整数 k を使って a = dk と書けることは同じです。後者を「d が a を割り切る」と言います。d が負であってもこの同値は成立します。正の除数による余りを考える場合は |d| を除数とし、余り0なら d でも割り切れると考えられます。

分子を分母の整数倍と定数の和にできれば、分数式は整数と定数を分母で割った分数の和になります。ここで残った分数は、分母の絶対値が分子の絶対値以下とは限らず、通常の意味での真分数とは限りません。分母が正で余りが0以上かつ分母未満の割り算では、非零の余りを分母で割った部分が真分数です。一方、この方法で固定した余りは負にもなり、候補を絞るための一定の残りと考えます。

図1のように、元の式から分母の条件を保ったまま整除条件へ進みます。定数が非零なら、その約数は正負を含めても有限個です。定数が0なら事情が違い、非零の分母はすべて0を割り切るため、約数を有限に列挙する方法は使えません。

図1では候補を得た後に元の式へ戻っています。これは単に計算をやり直すためではありません。置き換えた分母から整数 n が復元できるか、分母が0ではないか、追加条件が残っていないかを確かめるためです。必要条件から候補を得たことと、その候補が元の条件を満たすことを分けて書くと、証明の抜けが見つかります。

分母の係数が1でない場合は特に注意が要ります。例えば分母を d = 2n + 1 と置くと、整数 n から作られる d は奇数に限られます。定数の約数であっても偶数の d は元の変数に戻せません。逆に、奇数 d なら n = (d − 1)/2 は整数です。この対応の両方向を示せば、候補の絞り込みと復元をつなげられます。

基本例題：分母をそのまま置く

例題1（基本・標準）　n を整数とします。(2n + 9)/(n + 1) が整数となる n をすべて求め、整数の集合として答えてください。

まず n + 1 が0ではないので n ≠ -1 です。分子から分母の2倍を取り出します。

2n + 9 = 2(n + 1) + 7
(2n + 9)/(n + 1) = 2 + 7/(n + 1)

2は整数なので、求める条件は n + 1 が7を割り切ることと同値です。7の非零の整数の約数は 1、-1、7、-7 です。図2のように、各約数から1を引いて n を復元します。

n + 1 = 1 なら n = 0
n + 1 = -1 なら n = -2
n + 1 = 7 なら n = 6
n + 1 = -7 なら n = -8

したがって候補は -8、-2、0、6 です。図2の4つの分母はいずれも非零で、元の式に戻すと順に商は1、-5、9、3です。よって答えは {-8, -2, 0, 6} です。約数をすべて挙げたので必要性があり、各候補の代入によって十分性も確かめられました。

別の見方では、商を整数 k と置いて 2n + 9 = k(n + 1) とします。ただし、そのまま n と k の2文字の式を解こうとすると整理が長くなります。先に 7 = (k − 2)(n + 1) とすれば、同じ約数の組に戻ります。商を置く方法でも、分母が非零であるという元の条件は消えません。

係数がそろわないときと条件が重なるとき

例題2（標準・やや難）　n を整数とします。(3n + 8)/(2n + 1) が整数となる n をすべて求め、整数の集合として答えてください。

分母 2n + 1 は整数 n に対して0になりません。分子の先頭の係数3は分母の先頭の係数2の整数倍ではないので、整数を取り出す操作だけでは定数を残せません。そこで商を k と置き、分母を d = 2n + 1 とします。d は奇数です。

3n + 8 = k(2n + 1)
2(3n + 8) = 2k(2n + 1)
3(2n + 1) + 13 = 2k(2n + 1)
13 = (2k - 3)d

したがって d は13の約数です。候補は 1、-1、13、-13 で、いずれも奇数です。ただし d が13の約数であることだけでは商 k の整数性を省略できません。実際に n = (d − 1)/2 を作って元の商を調べます。

d = 1 なら n = 0、商は 8
d = -1 なら n = -1、商は -5
d = 13 なら n = 6、商は 2
d = -13 なら n = -7、商は 1

答えは {-7, -1, 0, 6} です。各行で分母と分子を元の式に戻し、示した商が得られます。ここでは13の約数がすべて奇数なので偶数の候補は現れませんが、別の定数では d の奇偶による排除が必要です。

別解では d が奇数であることを使います。13/d は奇数の整数なので、(3 + 13/d)/2 は整数です。これは各候補を一つずつ代入しなくても十分性を示します。ただし、一般の係数で同じことが自動的に言えるわけではありません。分子を2倍して得た整除条件を元へ戻すとき、その2で割った値が整数かを確認する必要があります。

例題3（発展・難）　n を整数とします。(n + 11)/(n − 2) が整数で、さらにその値が正となる n をすべて求め、整数の集合として答えてください。

n ≠ 2 として分母を d = n − 2 と置きます。商を q とすれば、次のようになります。

n + 11 = (n - 2) + 13
q = 1 + 13/d
d は 13 の非零の整数の約数

整数となる候補は d = 1、-1、13、-13 です。正という追加条件を各行に適用します。

d = 1 なら n = 3、q = 14
d = -1 なら n = 1、q = -12
d = 13 なら n = 15、q = 2
d = -13 なら n = -11、q = 0

正の商を与えるのは n = 3、15 です。答えは {3, 15} です。元の分数でもそれぞれ 14/1 = 14、26/13 = 2 となり、分母は非零で商は正です。n = -11 では分子が0なので商は整数ですが、正ではありません。n = 1 は分母も分子も非零ですが商が負です。どちらも異なる理由で除外されます。

この問題では、先に不等式だけを解いても整数性は決まりません。整数性で有限個に絞ってから符号を見れば、境界の0を含めて点検できます。反対に、先に符号を調べる方法も可能ですが、その後に整除条件を重ねる必要があります。順序を変えても、両方の条件を満たす候補だけが残ることを明示します。

負の約数を落とした答案を直す

例題1について「n + 1 は7の約数だから 1 または 7、よって n = 0、6」とする答案を考えます。正の約数だけを調べたため、整数 n の範囲にある負の分母を落としています。図3のように、約数の符号を両方調べて元の分数に戻すと、不足した候補を回収できます。

図3の修正では、-1 と -7 も分母の候補です。それぞれ n = -2、-8 を与え、元の式の値も整数です。もし n が自然数に限られていたなら、すべての候補を出した後で n ≥ 1 を適用します。約数を初めから正に限る根拠は、n が正という条件だけでは一般に得られません。分母に負の定数が加われば、正の n でも分母は負になり得るからです。

もう一つの失敗は、分子と分母を変形する途中で0による除算を許すことです。分母を d と置いたら、d ≠ 0 を横に残します。残りの定数が0なら、非零の d に対して分数部分は常に0です。この場合に「0の約数を列挙する」と進むと終わりません。式が定義される範囲のすべてが候補になる場合を別に扱います。

練習：条件を変えて判断する

次の5問は互いに独立です。いずれも n は整数とし、答えは整数の集合で表してください。式が定義されない値も考慮します。

1. （標準）(n + 8)/(n + 3) が整数となる n をすべて求めてください。
2. （標準）(4n − 3)/(n − 2) が整数となる n をすべて求めてください。
3. （やや難）(n + 5)/(n − 1) が正の整数となる n をすべて求めてください。
4. （やや難）(n + 7)/(3n + 1) が整数となる n をすべて求めてください。
5. （難）(3n − 12)/(n − 4) が整数となる n をすべて求めてください。

答えと考え方

1. n ≠ -3 です。分子を分母と定数に分けます。

(n + 8)/(n + 3) = 1 + 5/(n + 3)
n + 3 = 1, -1, 5, -5
n = -2, -4, 2, -8

答えは {-8, -4, -2, 2} です。分母は順に -5、-1、1、5、元の商は0、-4、6、2です。どれも式が定義され、整数です。

2. n ≠ 2 です。分母の4倍を取り出します。

(4n - 3)/(n - 2) = 4 + 5/(n - 2)
n - 2 = 1, -1, 5, -5
n = 3, 1, 7, -3

答えは {-3, 1, 3, 7} です。分母は順に -5、-1、1、5、商は3、-1、9、5です。負の分母でも元の式を満たします。

3. n ≠ 1 とし、d = n − 1 と置きます。

(n + 5)/(n - 1) = 1 + 6/d
d = 1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6

正の d では商は正で、n は2、3、4、7です。負の d では商は順に -5、-2、-1、0 となり、正ではありません。答えは {2, 3, 4, 7} です。元の分母は1、2、3、6で、元の商は7、4、3、2と確かめられます。

4. 分母は整数 n に対して非零です。商を k、分母を d = 3n + 1 と置きます。

n + 7 = k(3n + 1)
3n + 21 = 3k(3n + 1)
d + 20 = 3kd
20 = (3k - 1)d

よって d は20の約数です。さらに d = 3n + 1 なので、d を3で割った余りは1です。正負の約数のうち、この条件を満たすのは 1、4、10、-2、-5、-20 です。それぞれ n = 0、1、3、-1、-2、-7 となり、元の商は順に 7、2、1、-3、-1、0 です。答えは {-7, -2, -1, 0, 1, 3} です。残りの約数は n を整数に戻せないため除きます。

5. n ≠ 4 なら分子は分母の3倍です。

3n - 12 = 3(n - 4)
(3n - 12)/(n - 4) = 3

答えは4以外のすべての整数です。元の式では n = 4 のとき分子も分母も0になり、商は定義されません。例えば n = 0 では (-12)/(-4) = 3、n = 5 では 3/1 = 3 です。一般の場合も分子が非零の分母の3倍なので、代入した商は3です。

手元に残す判断

• 分母が0になる値を、変形の前に除きます。
• 分子から分母の倍数を取り出し、一定の残りを作ります。
• 残りが非零なら、その正負の約数を調べます。
• 置換した値を整数の変数に戻し、元の条件を確かめます。
• 残りが0なら、有限の約数の一覧ではなく定義域を調べます。

どの行で判断が止まったか

答えが不足するときは、正負の約数を列挙した行と、分母から n を復元した行を分けて見直します。余分な答えが出るときは、分母が0でないか、整数に戻るか、商の符号などの条件を満たすかを順に確かめます。個別指導で途中式を見る場面なら、候補を一つ選び、分母・分子・商を元の式で言い直してもらうと、変形と条件のどこで食い違ったかを捉えられます。分母を基準に残りを作れば、無限に見える整数の探索に終点が生まれます。