大学入試数学 文字を含む整数解の絞り込み—上限の証明から候補の検証まで答案を完成する｜武蔵野個別指導塾

2条件を満たす整数の組を、上限の証明と代入による確認に分けて求める方法を、候補漏れを防ぐ例題でたどる整数解の絞り込み。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで探索の上限を理由なく決めるという場面です。文字を含む式に小さい整数を順に入れると、条件に合う組が見つかることがあります。しかし、そこで計算を止めても、もっと大きいところに別の組がないとは言えません。整数であること、2つの条件、そして大小関係をつなぎ、調べる範囲の両端を先に決めましょう。ここでは自然数を1以上の整数とします。

候補を並べる前に何を見るか

文字を含む整数問題には、2つの整数が和と積を満たす型、片方がもう片方の倍数に近い型、式の値と大小条件を同時に満たす型があります。いずれも最初に、文字が正か、0を含むか、負も許されるかを確認します。たとえば正整数なら積の各因子は1以上です。この事実が上限を作ります。整数という条件だけでは負の値もあるため、同じ評価をそのまま使うことはできません。

「条件を満たすなら候補表のどこかにある」という方向が必要性です。反対に「表に残った候補が元の条件を満たす」という方向が十分性です。前者では取りこぼしを防ぎ、後者では余分な答えを除きます。候補の式が得られた時点では、まだ整数性やもう一方の条件を調べていないことがあります。

探索の終点は、計算の都合で決めません。たとえば正整数 a, b が a ≤ b と ab = 30 を満たすなら、a² ≤ ab = 30 です。6² = 36 なので a ≤ 5 と証明できます。a = 5 まで確かめる理由はこの不等式にあり、5組ほど試せば十分そうだという印象にはありません。大小を仮定する際には、条件が文字の交換で変わらないかも確認します。

範囲と候補をどう結ぶか

整数の組を求める際、条件Aと条件Bの両方が必要なら、まず扱いやすい一方から候補を絞り、残りをもう一方に戻せます。図1のように、範囲を証明してから有限の候補を作り、元の条件をそれぞれ確認します。どの段階も向きがあり、途中の表をそのまま答えと見なさないことが重要です。

図1の流れで、上限を作る根拠は問題ごとに異なります。積が一定なら因子の最小値を使い、和が一定なら一方の正性を使えます。二乗を含むなら、非負の項を除いた不等式で上限が得られることもあります。範囲に等号が含まれるときは端点も調べます。逆に、不等式が厳密なら端点を入れない理由を書きます。

条件のうち1つを使い切って変形した場合も、最後の確認は有効です。変形の途中で割った数が0にならないか、得た値が整数か、与えられた符号条件に合うかを点検できます。特に分数で表した文字には注意します。分母が正でも、分子が分母で割り切れるとは限りません。

候補が1つも残らない場合も、範囲が正しく証明され、全候補が排除されていれば「解なし」と結論できます。一方、いくつか試して失敗しただけでは解なしと言えません。探索の範囲に入らない値を、計算前の論証が排除している必要があります。

上限を得るとき、不等式の向きにも注意します。正の数を掛ける場合は向きが保たれますが、負の数を掛ける場合には向きが逆になります。正整数という前提は、単に答えの見た目を指定するだけでなく、この操作の正当化にも使われます。0を含める問題なら、積が0の枝を別に扱う必要があるかも先に確認します。

候補を表にするときは、何が表の各行を尽くしているかを明記します。約数の列挙なら、範囲内の整数を順に割って余りを調べられます。表の各行からもう一方の文字が一意に決まることも確認します。逆に、1つの候補に複数の対応値がありうる式では、それぞれを調べなければ全解には届きません。

2条件の使い方は固定されていません。先にどちらを使っても、正しい必要条件から全候補を出し、残りの条件を確認すれば同じ答えになります。式変形が複雑な場合は、条件を入れ替えて候補の数を比べるとよいでしょう。どちらを選んでも、省略した値が存在しない理由は答案に残します。

基本例題：積から小さい文字を限定する

【標準】自然数 x, y が x + y = 13、xy = 36 を満たすとき、順序を区別した組 (x, y) をすべて求めてください。

両条件は x と y を交換しても変わりません。そこでまず x ≤ y として調べ、最後に逆順を戻します。この仮定を置くと、x は2つの数の小さい方なので、積から上限が得られます。

x ≤ y
x² ≤ xy
x² ≤ 36
1 ≤ x ≤ 6

x は36の正の約数でもあります。1から6までを調べると、候補は1, 2, 3, 4, 6です。それぞれ y = 36/x として和を調べます。図2のように、積を満たす候補が和も満たすかを区別します。

x = 1 のとき y = 36、x + y = 37
x = 2 のとき y = 18、x + y = 20
x = 3 のとき y = 12、x + y = 15
x = 4 のとき y = 9、x + y = 13
x = 6 のとき y = 6、x + y = 12

小さい方を先にした組は (4, 9) です。条件は対称で、4と9は異なるため、逆順も別の組になります。答えは (4, 9), (9, 4) です。どちらも和が13、積が36で、自然数という条件にも合います。

ここでは和からも x ≤ 6 が出ます。x ≤ y と x + y = 13 より 2x ≤ 13 で、x は整数だからです。積による上限と比べ、短い方を採用してかまいません。ただし x ≤ y を使わずに x ≤ 6 と書くことはできません。たとえば逆順の解では x = 9 だからです。

標準から発展へ：片方を消すと何が残るか

【やや難】自然数 m, n が m + 2n = 20、m が n の倍数を満たすとき、順序対 (m, n) をすべて求めてください。

倍数条件から m = kn と置きます。m と n は自然数なので k も自然数です。これを和の条件に代入します。

kn + 2n = 20
n(k + 2) = 20

k ≥ 1 より k + 2 ≥ 3 です。したがって 3n ≤ 20 であり、n ≤ 6 です。さらに n は20の正の約数なので、この範囲にある候補は1, 2, 4, 5です。式から k を求め、それが自然数かを見ます。

n = 1 のとき k = 18、m = 18
n = 2 のとき k = 8、m = 16
n = 4 のとき k = 3、m = 12
n = 5 のとき k = 2、m = 10

答えは (18, 1), (16, 2), (12, 4), (10, 5) です。それぞれ m + 2n は20で、m/n は18, 8, 3, 2という自然数です。ここでは約数という必要条件が得られた後も、k が正であることを確かめています。n = 10 も20の約数ですが、k = 0 となって m が自然数でなく、上限の外です。

別の進め方として、m = 20 − 2n > 0 から n ≤ 9 としても有限になります。この場合、n が20の約数という条件を重ねて n = 1, 2, 4, 5 を得ます。どちらの上限でも全解を覆いますが、上限が小さいほど確認する候補は減ります。上限が最小である必要はなく、正しく全解を含むことが必要です。

【難】自然数 a, b が a ≤ b、a + b + ab = 35 を満たし、さらに b − a が偶数であるとき、順序対 (a, b) をすべて求めてください。

積の形を作るため、両辺に1を足します。この操作は等式の同値変形で、逆にも戻せます。

a + b + ab + 1 = 36
(a + 1)(b + 1) = 36

a ≤ b より a + 1 ≤ b + 1 です。a + 1 は2以上の整数なので、次の上限が成り立ちます。

(a + 1)² ≤ (a + 1)(b + 1)
(a + 1)² ≤ 36
2 ≤ a + 1 ≤ 6

a + 1 は36の約数です。したがって候補は2, 3, 4, 6であり、対応する b + 1 は順に18, 12, 9, 6です。1を引いて元の2文字に戻し、偶数条件を調べます。

(a, b) = (1, 17) のとき b - a = 16
(a, b) = (2, 11) のとき b - a = 9
(a, b) = (3, 8) のとき b - a = 5
(a, b) = (5, 5) のとき b - a = 0

よって答えは (1, 17), (5, 5) です。前者は 1 + 17 + 17 = 35、後者は 5 + 5 + 25 = 35 です。どちらも a ≤ b で、差は偶数です。0も偶数に含まれるため、等しい組を落としません。

別解では b = (35 − a)/(a + 1) として整数性を調べられます。ただし a + 1 が分子を割る必要があることに加え、a ≤ b も使って上限を作らなければ、有限に調べ終えられません。積の形は上限と候補を同時に見せるので、この問題では見通しがよくなります。a と b は等しい場合も許されるため、a < b と置く方法は使えません。

誤答はどこで候補を失うか

基本例題で「x ≤ 6 だから答えは (4, 9)」と終える答案を考えます。x ≤ 6 は x ≤ y と置いた場合の結論です。元の問題にはその大小条件がないため、図3のように交換した組を戻す必要があります。逆順を戻す操作は条件が対称であることに支えられています。

図3では (4, 9) から (9, 4) へ進み、和と積が変わらないことを確認します。もし条件が x + 2y = 13 のように非対称なら、交換後も成立するとは限りません。その場合は最初から順序を固定せず、条件に即した範囲を作ります。

もう一つの誤りは、必要条件を満たす候補をすべて解にすることです。基本例題では (3, 12) も積は36ですが、和は15です。積の表は候補表であり、和の検査を経て初めて答えが決まります。候補が残らなかったときにも、元の条件を満たさない理由を各候補について記せば、解なしという結論を支えられます。

自分で確かめる5問

次の各問で、指定した組または値をすべて求めてください。各文字は自然数で、順序対は順序を区別します。表を作る前に、調べる範囲を式で示してください。

1. 【標準】x ≤ y、x + y = 14、xy = 45 を満たす (x, y)。
2. 【標準】p + 3q = 18、p は q の倍数を満たす (p, q)。
3. 【やや難】a ≤ b、a + b + ab = 23、b − a は偶数を満たす (a, b)。
4. 【やや難】u + v = 11、u は v の2倍以上、uv = 24 を満たす (u, v)。
5. 【難】s ≤ t、s + t + st = 19、t − s は偶数を満たす (s, t)。

答えと解き方

1. x² ≤ xy = 45 で、7² = 49 より x ≤ 6 です。45の正の約数のうち6以下は1, 3, 5です。対応する y は45, 15, 9で、和は46, 18, 14です。答えは (5, 9) です。元に戻すと 5 + 9 = 14、5・9 = 45 で、大小も合います。

2. p = kq と置くと k ≥ 1 で、q(k + 3) = 18 です。4q ≤ 18 より q ≤ 4 です。18の正の約数のうち範囲に入るのは1, 2, 3です。対応する p は15, 12, 9なので、答えは (15, 1), (12, 2), (9, 3) です。和は順に 15 + 3 = 18、12 + 6 = 18、9 + 9 = 18 で、倍数条件も満たします。

3. (a + 1)(b + 1) = 24 です。2 ≤ a + 1 ≤ b + 1 より (a + 1)² ≤ 24 なので a + 1 ≤ 4 です。候補は2, 3, 4で、組は (1, 11), (2, 7), (3, 5) です。差は順に10, 5, 2なので、答えは (1, 11), (3, 5) です。元の式は 1 + 11 + 11 = 23、3 + 5 + 15 = 23 となります。

4. u ≥ 2v より 24 = uv ≥ 2v² です。v² ≤ 12 なので v ≤ 3 です。24の約数で範囲に入る v は1, 2, 3で、u は24, 12, 8です。和は25, 14, 11ですから、答えは (8, 3) です。8 + 3 = 11、8・3 = 24、8 ≥ 2・3 と元の3条件に戻ります。

5. (s + 1)(t + 1) = 20 です。2 ≤ s + 1 ≤ t + 1 なので (s + 1)² ≤ 20、よって s + 1 ≤ 4 です。20の約数で範囲に入るのは2, 4で、組は (1, 9), (3, 4) です。差は8, 1なので、答えは (1, 9) です。1 + 9 + 9 = 19、1 ≤ 9、差は偶数です。

手元に残す4行

• 正負と順序を確認し、上限の根拠を式で示す。
• 必要条件から有限の候補を作り、端点も調べる。
• 元の条件に戻し、整数性と追加条件を検査する。
• 順序を固定した場合は、交換可能性と重複を確認する。

行き詰まったときに戻る式

候補がいつまでも続くなら、最初に使った正性や大小関係を見直します。個別指導で答案を確かめるときは、例えば「この文字が6以下となる行はどれか」と問い、積と平方の不等式が書けるかを確かめます。表が完成していても、表の外に解がない根拠が欠けていれば、最初の評価に戻ります。

候補は出せるのに答えを誤る場合は、表に元の条件を別々の欄として書きます。条件を満たす行と満たさない行を見比べると、どの検査を省いたかが見えます。交換した組を戻すべきか迷ったら、文字を入れ替えた式が同じ条件になるかを実際に書きます。上限、候補、代入の3つがつながれば、有限の計算が全解の証明になります。