大学入試数学 互いに素な積と平方—素因数の所属を分けて各因子の形を決める｜武蔵野個別指導塾

積が平方になるとき、素因数の指数と共通因子を調べ、反例から条件の役割を読み解く互いに素な積と平方。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで、積が平方なら各因子も平方だと無条件で言ってしまう場面です。積の中では、別々の因子にある同じ素数が合わさって、指数が偶数になることがあります。そこで先に因子の共通部分を調べます。互いに素なら素因数の所属が分かれ、積の情報を各因子に戻せます。

どの条件から手をつけるか

正整数を平方数と呼ぶとき、正整数の2乗で表せる数を指します。1も1²なので平方数です。以下、自然数は1以上の整数とします。積が平方という条件から各因子の形を決めたいときには、まず因子が正整数か、最大公約数が1かを確かめます。どちらも結論を使う前に必要な情報です。

問いには、互いに素な2数について平方性を証明する型と、式を因数に分けて整数の候補を求める型があります。後者では、互いに素であること自体が途中の証明になります。また、共通因子があるときに誤った推論を直す型もあります。平方の判定と最大公約数の判定を混ぜずに、一つずつ進めます。

たとえば積が平方とわかっただけでは、積全体の各素数の指数が偶数だと言えるにとどまります。因子ごとの指数が偶数かどうかは、同じ素数が両方にある可能性を調べてから決まります。候補を求める問題では、必要な形を得た後に元の条件への代入も必要です。

素因数の行き先を分ける

正整数 a, b の最大公約数が1のとき、a と b は互いに素です。1を素因数にもたない数として扱うのではなく、1には素因数がないと考えます。したがって1はどの正整数とも互いに素で、平方数でもあります。

正整数が平方数であることと、その素因数分解で現れるすべての素数の指数が偶数であることは同値です。実際、平方にすると指数は2倍されます。逆にすべての指数が偶数なら、各指数を半分にした正整数の2乗として元の数を書けます。1の場合も1²であり、この判定に含めます。

図1のように、積に現れる素数を一つ選び、その所属と指数を追います。互いに素であれば、その素数は a と b の両方を割ることができません。一方に現れた指数が、そのまま積における指数になります。積が平方ならその指数は偶数です。選ぶ素数は任意なので、両因子の各指数が偶数になり、各因子は平方です。

図1の分岐は、どちらか一方に所属するという条件を表します。積に現れない素数の指数は両方で0です。これも偶数なので、指数の議論に例外はありません。逆向きは互いに素でなくても成立します。a = u²、b = v²なら、ab = (uv)²だからです。したがって互いに素な正整数については、積が平方であることと各因子が平方であることが同値です。

共通因子があると、指数が別々に奇数でも和が偶数になる場合があります。たとえば 6 = 2・3、24 = 2³・3 では、積は 144 = 12² ですが、6も24も平方数ではありません。共通する2と3の指数が積の中で足し合わされます。共通因子がある場合に必ず結論が失敗するという意味ではありません。4と9の積が平方であるように、個別の数について成立することと、条件なしに一般に言えることは別です。

基本例題：隣り合う因子を使う

例題1（標準） 自然数 n について、n(n + 1) が平方数ならば n と n + 1 がともに平方数であることを証明してください。

隣り合う整数の共通の正の約数は、差の1も割ります。よって n と n + 1 は互いに素です。両方が正整数であることも、n が自然数という条件から確認できます。

積が平方なので、図2のように互いに素な2因子へ平方の条件を戻せます。n と n + 1 にそれぞれ現れる素数の指数は、そのまま積の指数です。積の指数はすべて偶数ですから、各因子の指数も偶数です。1のときも平方であるため、結論が得られます。

図2の矢印は、共通の約数が差を割ることを使ってから平方の判定へ進む順序を表します。この例題の結論は「各因子が平方」という必要条件です。実際には連続する正の平方数は存在しないので、元の条件を満たす n もありません。そこまで求められた場合は、n = u²、n + 1 = v² とおき、u, v は正整数で v > u とします。すると

v² - u² = 1
(v - u)(v + u) = 1

ですが、v − u は正整数、v + u は3以上なので積は1になりません。条件から不可能な形に到達したことを、積の大きさで示しました。題意が証明だけなら、各因子の平方性を示した時点で答えています。解の不存在まで述べるときには、別の論証が必要です。

なお、n = 1では積が2で平方ではありません。小さな値を調べることは式の理解に役立ちますが、無限にある自然数を数個調べただけで不存在の証明にはなりません。上の差の式は任意の自然数 n に対する議論です。

標準と発展：共通因子を先に外す

例題2（やや難） 正整数 a, b は互いに素で、ab = 900 を満たします。a < b とするとき、順序対 (a, b) をすべて求めてください。

900を素因数分解します。

900 = 9・100
900 = 2²・3²・5²

積は平方で、a と b は互いに素です。よって両方が平方数です。さらに、同じ素数は両方に所属できないため、2²、3²、5² のそれぞれを一塊としてどちらかへ配ります。指数を途中で分割すると公約数が生じるので認められません。1を選ぶ場合も、どの塊も a に置かない場合として含めます。

大小を無視すると a の候補は 1, 4, 9, 25, 36, 100, 225, 900 です。b = 900/a とし、a < b を確認すると次の4組です。

(a, b) = (1, 900), (4, 225), (9, 100), (25, 36)

各組は正整数で、積は順に900です。素因数の塊を分けたため公約数は1であり、大小条件も成り立ちます。逆に条件を満たす組は必ず各素数の塊を一方に割り当てるので、この一覧に含まれます。列挙で終わらず、漏れがない理由と、残した組が元の条件を満たす理由を分けて書きます。

別の見方では、a = u²、b = v² とおき uv = 30 とします。u と v も互いに素で、u < v です。30の互いに素な因数対を求め、それぞれを2乗しても同じ4組を得ます。平方根をとる際に正整数であることを確認しているので、符号を余分に加える必要はありません。

例題3（難） 正整数 x, y の最大公約数は6で、xy = 5400 です。x < y を満たす順序対 (x, y) をすべて求めてください。

まず最大公約数を外し、x = 6a、y = 6b とおきます。a, b は互いに素な正整数です。元の積へ代入すると

36ab = 5400
ab = 150
150 = 2・3・5²

ここで ab は平方ではありません。したがって、a と b をともに平方とする定理は使えません。互いに素という条件があっても、積が平方というもう一方の条件が欠けています。代わりに素因数の塊 2、3、25 を各因子のどちらかに割り当てます。

大小条件 a < b の下で、積150の平方根より小さい方を選ぶと、a の候補は1、2、3、6です。対応する b は150、75、50、25です。6倍して

(x, y) = (6, 900), (12, 450), (18, 300), (36, 150)

を得ます。各組の積は5400で、各組を6で割った2数は共通の素因数をもちません。したがって最大公約数はちょうど6です。また左が右より小さいことも確認できます。3個の素因数の塊の配り方をすべて見ており、逆順は大小条件で除かれるため、他の組はありません。

ここで x と y 自体を互いに素とみなしてはなりません。最大公約数6は共通因子があることを示しています。また、5400が平方かを調べるだけでは、6を取り除いた後の積が平方かどうかを取り違えるおそれがあります。共通因子を両方から取り除くと積はその因子の2乗で割られます。その結果を計算してから次の道具を選びます。

誤答のどこで条件が消えたか

「積が平方だから各因子は平方」という答案を、6・24 = 144 で検査します。図3のように、2の指数はそれぞれ1と3、3の指数はそれぞれ1と1です。積ではどちらも偶数になりますが、それぞれの因子には奇数の指数が残ります。

図3は、積の指数が因子の指数の和になることを示します。誤りの原因は、積で偶数になった指数を、そのまま各因子の指数だと扱った点です。修正するときは、まず最大公約数が1かを調べます。1なら所属が重ならない根拠を記し、1でなければ共通部分を外して、残りの積と条件を調べ直します。

「最大公約数が1でないなら各因子は平方でない」と逆に決めることもできません。共通する素数の指数が両方で偶数なら、各因子が平方の場合もあるからです。定理の仮定を満たさないときは結論が自動的に否定されるのではなく、その定理だけでは判定できないと考えます。

練習：所属と条件を調べる

次の5問では、求める組は順序対で表し、証明を求めるものは理由を書いてください。

1. 互いに素な正整数 a, b について ab = 196、a < b です。順序対 (a, b) をすべて求めてください。
2. 互いに素な正整数 c, d について cd = 72、c < d です。順序対 (c, d) をすべて求めてください。
3. 正整数 x, y の最大公約数が5、積が1800で、x < y です。順序対 (x, y) をすべて求めてください。
4. 正整数 a, b が互いに素で ab が平方数なら、a + b が平方数であるとは限らないことを、具体的な反例で示してください。
5. 互いに素な正整数 a, b について、ab が平方数であれば、a²b と b がともに平方数であることを証明してください。

練習の答えと解き方

1. 196 = 2²・7² です。2²と7²をそれぞれ一方に置き、大小で絞ります。

(a, b) = (1, 196), (4, 49)

積はどちらも196で、共通の素因数はありません。塊の割当ては4通りで、その逆順を除いた2組なので漏れはありません。

2. 72 = 2³・3² です。積が平方ではないため、各因子を平方と決めることはできません。互いに素という条件から2³と3²を分けます。

(c, d) = (1, 72), (8, 9)

各積は72で、各組の最大公約数は1です。2つの塊の割当てを逆順まで含めて尽くしています。

3. x = 5a、y = 5b とすると、a, b は互いに素で

25ab = 1800
ab = 72
72 = 2³・3²

となります。塊を分けて a < b とすると (a, b) = (1, 72), (8, 9) です。したがって

(x, y) = (5, 360), (40, 45)

です。各組の積は1800で、5で割った組が互いに素なので最大公約数は5です。大小も元の条件に合います。

4. たとえば a = 1、b = 16 です。最大公約数は1、積は16 = 4²ですが、和17は平方数ではありません。4² = 16 < 17 < 25 = 5² と挟めるためです。反例は仮定を満たし、結論を満たさないことを両方確認します。

5. 条件から a = u²、b = v² と書ける正整数 u, v が存在します。よって

a²b = (u²v)²
b = v²

です。いずれも正整数の2乗です。最初に互いに素と積の平方を使い、その後に得た形を代入しています。

手元に残す要点

• 互いに素な正整数の積が平方なら、各因子も平方です。
• 共通素因数がなければ、その指数は一方の因子から積へ移ります。
• 共通因子がある場合は、そのまま各因子の平方を結論できません。
• 候補を出した後は、元の積・最大公約数・大小へ戻して確かめます。

行き詰まった答案を点検する

個別指導で式を確かめるなら、最初に「どの2数が互いに素か」を答案に印をつけて読みます。次に、素数を一つ選び、その指数が積の中で足されるのか、一方からそのまま移るのかを説明します。共通因子を除いた場合は、その因子の2乗で積を割った式を実際に書きます。

最後に、候補が元の積を作ることと、最大公約数が指定値になることを別々に確かめます。平方という積の性質は、素因数の所属を確認してから各因子へ戻せます。