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中2数学合同を使う証明—結論から必要な三角形を探し根拠を順に並べる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学中2 単元を掘り下げる

共通辺を使う例と循環した誤答から、結論までの鍵は合同証明です。

よくあるのは、証明するはずの辺の等しさを最初に使う場面です。図を見ると等しく見えるので、そのまま合同の条件に入れたくなります。しかし、まだ確かめていない結論を出発点にすると、理由が一周してしまいます。何を示したいのかを先に見ながら、答案は与えられた条件から書く。この二つの向きを区別すると、証明の道筋が見えてきます。

何を探す問題なのか

合同を使う証明には、例えば次のような出方があります。二つの辺が等しいことを示す型、二つの角が等しいことを示す型、合同から別の角の関係までたどる型です。どれも、結論に出てくる辺や角が、それぞれどの三角形の一部なのかを探します。

必要なのは、三角形の合同条件、対頂角、共通する辺の扱いです。合同とは、一方を移動して他方にぴったり重ねられることです。対応する辺は等しく、対応する角も等しくなります。ただし、合同を示す前に、その結果として得たい等しさを条件にしてはいけません。中2の図形の論証で扱う、仮定と結論を区別する考え方に沿って進めます。

結論からたどり、仮定から書く

仮定は問題で与えられた条件、結論は示すべき事柄です。図の形が似て見えることは仮定ではありません。図1のように、考えるときは結論の辺や角から三角形へ戻り、答案では仮定から合同条件を経て結論へ進みます。

図1の2本の矢印は別々の証明ではなく、見通しと記述の方向を表しています。結論が辺PQ = 辺RSなら、PQを含む三角形とRSを含む三角形を探します。そして、PにR、QにSが対応するように残りの頂点も並べます。結論が角なら、その角の頂点と両側の辺が対応するように探します。

合同を示す条件は、3組の辺がそれぞれ等しい、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい、の3通りです。「間の角」は選んだ2辺に共通する頂点の角です。「両端の角」は選んだ辺の両端にある角です。条件の数が3組でも、その配置が違えば同じ条件とは限りません。

共通辺とは、二つの三角形が同じ辺を持つときのその辺です。例えば辺ACを両方が使うなら、AC = ACと書けます。これは新たな仮定ではなく、同じ線分の長さを比べています。辺の向きが逆でもACとCAは同じ線分ですが、三角形の頂点の順序には対応を反映させます。

答案の途中で使えるのは、仮定、共通辺、すでに示した事実、そして適用条件を満たす性質です。対頂角は、2直線が交わるとき向かい合う角です。2直線が交わるという位置関係を確認してから、対頂角が等しいと書きます。結論へ向かう途中の事実と、まだ示していない結論を区別することが要点です。

基本例題：共通辺から等しい角へ

四角形ABCDの対角線ACを引きます。AB = AD、BC = DCのとき、∠BAC = ∠DACを証明してください。四角形は辺が交差しない形とします。

図2のように、示す角を含む三角形ABCとADCに注目します。結論から考えると、AとA、BとD、CとCを対応させたいことがわかります。答案は次のように書きます。

三角形ABCと三角形ADCにおいて、

AB = AD　……仮定
BC = DC　……仮定
AC = AC　……共通な辺

3組の辺がそれぞれ等しいので、三角形ABCと三角形ADCは合同です。合同な三角形の対応する角は等しいので、∠BAC = ∠DACです。

3組の辺を順に比べると、ABにAD、BCにDC、CAにCAが対応します。三角形の名前もABCとADCの順です。図2のAからCへの線は共通辺であり、2本の別々の線が偶然等しいのではありません。角BACと角DACは、いずれも対応するAの角です。

逆向きの見通しでは「この角を対応させたい」と考えますが、答案の冒頭に角BAC = 角DACとは書きません。もしその角を合同条件に入れると、結論が正しいと仮定して結論を導くことになるためです。仮定の辺2組と共通辺で合同が成立するので、目的の角はその後で得られます。

標準例題：交点を挟んだ対応を決める

線分PRと線分QSが点Oで互いに交わり、PO = RO、QO = SOです。PQ = RSを証明してください。P、RはOを挟み、Q、SもOを挟むものとします。

求めるPQとRSを含む三角形として、三角形POQと三角形ROSを選びます。PとR、OとO、QとSを対応させると、与えられた2組の辺が使えます。残る角POQと角ROSは対頂角です。これらは選んだ2辺の間にあるため、合同条件に当てはまります。

三角形POQと三角形ROSにおいて、

PO = RO　……仮定
QO = SO　……仮定
∠POQ = ∠ROS　……対頂角

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形POQと三角形ROSは合同です。対応する辺は等しいので、PQ = RSです。

ここではPQ = RSを最初に使っていません。対頂角を使える理由は、線分PRとQSがOで交わるという位置関係にあります。単に図の角が同じくらいに見えるからではありません。仮定の2組の辺に挟まれた角かどうかまで確認すると、条件名を正確に書けます。

発展例題：合同からさらに一直線上の角へ

線分ABとCDは点Oで互いに交わり、AO = BO、CO = DOです。点Eは直線AC上で、Aを挟んでCと反対側にあります。∠OAE + ∠OBD = 180°を証明してください。

結論には和が現れますが、一直線上の角に着目すると、∠OAEと∠OACの和は180°です。したがって、∠OAC = ∠OBDを示せばよいと見通せます。角OACを含む三角形AOCと、角OBDを含む三角形BODを調べます。

三角形AOCと三角形BODにおいて、

AO = BO　……仮定
CO = DO　……仮定
∠AOC = ∠BOD　……対頂角

2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、三角形AOCと三角形BODは合同です。対応する角は等しいので、∠OAC = ∠OBDです。また、E、A、Cはこの順に一直線上にあるため、∠OAE + ∠OAC = 180°です。よって、∠OAE + ∠OBD = 180°です。

この例では合同が結論そのものではなく、結論に必要な角の等しさを得る途中の段階です。EがAを挟んでCと反対側にあるという条件を落とすと、2つの角が一直線を作るとは限りません。合同だけで最後の和まで書かず、直線上の関係を別に示します。

別の見方では、先に∠OAEと∠OACの和を書き、その後で合同を証明して角を置き換えられます。ただし、置き換える等しさは使用する前に示します。見通しの順番を変えても、根拠が後から現れる答案にはしません。

誤答のどこで道が途切れるか

基本例題で「∠BAC = ∠DAC、AB = AD、AC = ACだから合同」と書くと、示すはずの角を根拠に使っています。図3のように、結論から合同を探す矢印を、そのまま証明の矢印にしてしまった誤りです。これでは角が等しい理由が示されません。

修正するときは、問題文に戻ってAB = ADとBC = DCを取り出し、AC = ACを共通辺として加えます。図3の下側の順に3組の辺から合同を示せば、角の等しさを結論として使えます。正しい答えを書いていても、そこへ至る理由が循環していれば証明にはなりません。

もう一つの誤りは、対応順を取り違えることです。基本例題で三角形ABCと三角形ACDを対応順として書くと、BとC、CとDが対応したことになります。仮定のAB = ADとは合いません。図の向きに合わせて名前を読むのではなく、等しい辺の端点を照合し、ABCとADCの順に直します。

また、2組の辺と1組の角が等しいと書いても、その角が2辺の間になければ、ここで使う合同条件には当てはまりません。例えば2辺がそれぞれ3と5で、それらの間でない角が等しくても、残りの頂点を異なる位置に取れる場合があります。条件の配置が不十分なら、見た目で合同と決めず、別の既知の辺や角を探します。

条件が足りないときの戻り方

三角形を選んだ後に必要な条件が見つからない場合、すぐに図に印を書き足してはいけません。まず、選んだ三角形に結論の辺や角が本当に含まれるかを調べます。含まれていても対応がずれていれば、等しいと与えられた辺が別の組に割り当てられ、合同条件を満たせません。頂点を結ぶ対応を書き直し、仮定をもう一度読みます。

それでも必要な事実がないときは、図に示された位置関係から使える性質を探します。交点があれば対頂角、同じ線分を共有すれば共通辺が候補です。ただし、交わると書かれていない線に交点を勝手に作ったり、見た目だけで辺を等しいとしたりはできません。根拠が出ない場合は、その経路ではまだ証明できないと判断し、別の三角形を検討します。

解答の確認では、合同条件の文だけで終わらせず、結論まで戻ります。合同の対応順を指で追い、求める2つが対応する辺か角かを照合します。条件が整っている場合も、欠けている場合も、同じ順序で点検すると、どこまで確かめられたかが明確になります。

練習：まず証明の設計をする

次の5問は、仮定、使う三角形、合同条件、結論を含めて文章で証明してください。線分の交点は各線分の端点ではなく、四角形の辺は交差しないものとします。

四角形EFGHで、EF = EH、FG = HGです。対角線EGを引きます。∠FEG = ∠HEGを証明してください。
線分JLとKMが点Nで交わり、JN = LN、KN = MNです。JK = LMを証明してください。
四角形PQRSで、PQ = SR、QR = PSです。対角線PRを引きます。∠QPR = ∠SRPを証明してください。
線分UVとWXが点Tで交わり、UT = VT、WT = XTです。∠UWT = ∠VXTを証明してください。
三角形ABCで、点D、Eはそれぞれ辺AB、AC上にあり、AD = AE、AB = ACです。BE = CDを証明してください。

練習の解答と確かめ

三角形EFGと三角形EHGにおいて、EF = EH、FG = HGは仮定、EG = EGは共通辺です。3組の辺がそれぞれ等しいので合同です。対応する角は等しいので、∠FEG = ∠HEGです。辺の対応はEFとEH、FGとHG、GEとGEです。最後にEの角へ戻ることで、求める角を取り違えていないと確かめられます。
三角形JNKと三角形LNMにおいて、JN = LN、KN = MNは仮定、∠JNK = ∠LNMは対頂角です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同です。対応する辺よりJK = LMです。Nを挟んでJとL、KとMが反対側にあることが対頂角の根拠です。
三角形PQRと三角形RSPにおいて、PQ = RS、QR = SPは仮定、PR = RPは共通辺です。3組の辺がそれぞれ等しいので合同です。対応する角より∠QPR = ∠SRPです。PとRが対応する点に注意します。どちらの角も名前の中央が対応する頂点です。
三角形UWTと三角形VXTにおいて、UT = VT、WT = XTは仮定、∠UTW = ∠VTXは対頂角です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同です。対応する角より∠UWT = ∠VXTです。結論の頂点WとXが対応しているかを最後に確かめます。
三角形ABEと三角形ACDにおいて、AB = AC、AE = ADは仮定です。Dは辺AB上、Eは辺AC上なので、∠BAEと∠CADはともに∠BACです。よって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しく、三角形ABEと三角形ACDは合同です。対応する辺よりBE = CDです。角が共通する理由は、点の位置にあります。長さの等しさだけから角を等しいとしたのではありません。