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中2数学三角形の合同条件—対応する辺と角を選んで使えない条件も見分ける｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学中2 単元を掘り下げる

二辺とその間でない角が等しい反例を比べ、頂点の対応をそろえて判定する、その要が合同条件です。

よくあるのは、2つの三角形に等しい辺が2組と等しい角が1組見つかり、それだけで合同と決めてしまう場面です。角がどの辺の間にあるかまで確かめないと、形の違う三角形を同じ形だと判断することがあります。印の数を数えるだけでなく、対応する頂点をそろえ、条件の位置を見る手順を身に付けましょう。

何を選んで判断するか

三角形の合同を扱う問題では、たとえば次の3種類の判断が求められます。

与えられた3組の辺が対応して等しいことから、合同条件を選ぶ。
2組の辺と1組の角、または1組の辺と2組の角が与えられたとき、角の位置も含めて条件に合うかを調べる。
条件が足りないとき、形の異なる図を示して、その情報だけでは合同と決められない理由を述べる。

必要なのは、辺と角の名前、三角形の内角の和、角の二等分などの基本的な言葉です。長さや角度を定規や分度器で測って近い値になっても、それは合同の証明にはなりません。どの等しさが仮定として与えられ、どの等しさを途中で導いたかを区別します。

ここで扱うのは一般の三角形に使う3つの合同条件と、その選び方です。直角三角形についての特別な合同条件は使わず、まず頂点の対応と情報の位置を調べます。

対応をそろえると条件が読める

合同とは、2つの図形がぴったり重なることです。向きを変えたり裏返したりして重ねられる場合も合同です。三角形の頂点が A と D、B と E、C と F の順に重なるなら、△ABC と △DEF は対応する順に書かれています。

図1のように、頂点の順を決めたら、そこから辺と角を対応させます。AB に対応する辺は、A と B の相手を順にたどって DE です。同様に BC と EF、CA と FD が対応します。角は ∠A と ∠D、∠B と ∠E、∠C と ∠F です。

図1では、2つの三角形を左右に分けて描いています。左の頂点を A、B、C の順にたどったとき、右は D、E、F の順です。例えば △ABC と △DFE と書けば B と F が対応することになり、図の対応とは変わってしまいます。左右の見かけの位置でなく、等しい辺と角の組から順を決めてください。

次のいずれかが成り立つとき、2つの三角形は合同です。

3組の辺がそれぞれ等しい。
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

2つ目の「間の角」は、選んだ2辺が交わる頂点の角です。AB と AC を選んだなら間の角は ∠A です。∠B が等しいとわかっても、それはこの2辺の間の角ではありません。3つ目も同様に、AB を選んだら両端は ∠A と ∠B です。角が2つあるという個数だけではなく、選んだ辺の両端かどうかを見ます。

情報が指定の位置にそろうと、三角形の形と大きさが決まります。たとえば1辺を置き、その両端からそれぞれ指定された角の向きに辺を延ばすと、その交点が残る頂点です。一方、位置の違う情報を同じ条件に置き換えることはできません。見えていない等しさを勝手に加えず、必要なら内角の和など、すでに使える性質で導きます。

基本例題：共通の頂点にある角を選ぶ

三角形 ABC と三角形 DEF について、AB = DE = 5 cm、AC = DF = 4 cm、∠BAC = ∠EDF = 60° とします。2つの三角形が合同かを、対応する順に三角形を記し、合同条件を挙げて答えてください。

図2のように、まず角の記号の中央にある頂点 A と D を対応させます。AB と DE、AC と DF がそれぞれ等しいので、残る対応は B と E、C と F です。図2の角は、示された2辺が交わる頂点にあります。

与えられた条件を、対応をそろえて並べます。

AB = DE = 5 cm
AC = DF = 4 cm
∠BAC = ∠EDF = 60°

AB と AC の間の角は ∠BAC、DE と DF の間の角は ∠EDF です。したがって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABC ≡ △DEF です。

確かめると、最初の文字 A と D が角の頂点、次の文字 B と E が長さ 5 cm の辺のもう一方の端、最後の文字 C と F が長さ 4 cm の辺のもう一方の端です。条件をこの順へ戻すと、辺の長さも角の位置も問題文と一致します。たとえ一方の三角形を回転して描いても、この対応は変わりません。

この結論から、残る辺 BC と EF、残る角 ∠B と ∠E、∠C と ∠F もそれぞれ等しいといえます。ただし、それらは合同とわかった後に使える結果です。合同を示す前に根拠として使うなら、別の理由が必要です。

標準例題：両端でない角はどう扱うか

三角形 PQR と三角形 STU について、PQ = ST = 7 cm、∠P = ∠S = 50°、∠R = ∠U = 70° とします。合同かを調べ、合同なら対応する順と用いた条件を答えてください。

与えられた2つの角のうち、∠R と ∠U は辺 PQ と辺 ST の端にはありません。そのため、与えられたままでは「1組の辺とその両端の角」と書けません。ここで三角形の内角の和が 180° であることを使います。

∠Q = 180° - 50° - 70°
∠Q = 60°
∠T = 180° - 50° - 70°
∠T = 60°

これで PQ の両端の角 ∠P、∠Q と、ST の両端の角 ∠S、∠T がそれぞれ等しいとわかりました。PQ = ST も与えられているので、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しく、△PQR ≡ △STU です。

元の条件に戻すと、∠P と ∠S は 50°、∠R と ∠U は 70° です。計算した 60° を加えた内角の和も、それぞれ 180° になります。P と S、Q と T、R と U の順で書いた合同の式は、与えられた辺と角の組に合っています。

同じ角の情報から、QR と TU の両端の角を使う方法も考えられます。しかし QR = TU は、まだ与えられていません。使う辺は、長さが等しいと確かめられた PQ と ST に限ります。情報が3組あることより、その3組を同じ合同条件にまとめられることが決め手です。

発展例題：条件が足りない場合を形で示す

点 A、C、D はこの順に一直線上にあり、AC = 1 cm、AD = 5 cm とします。線分 CD の中点を M とし、M を通る CD に垂直な直線上に、直線 AD 上にない点 B を取ります。AB = 5 cm とします。△ABC と △ABD について、AB が共通、BC = BD、∠BAC = ∠BAD が成り立つことを示し、この情報だけで合同といえるか答えてください。

AC = 1 cm、AD = 5 cm なので CD = 4 cm です。M は CD の中点ですから CM = DM = 2 cm。BM は CD に垂直なので、∠BMC と ∠BMD はともに 90° です。

△BMC と △BMD では、BM は共通、CM = DM、そして ∠BMC = ∠BMD です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいため、△BMC ≡ △BMD となります。対応する辺より BC = BD です。さらに、C と D は A から見て同じ方向の半直線上にあるので、∠BAC = ∠BAD です。

それでも △ABC と △ABD は合同ではありません。両三角形の残る辺は AC = 1 cm と AD = 5 cm で異なります。共通の AB は 5 cm なので、△ABD は長さ 5 cm の辺を2本持ちます。一方、△ABC の辺の長さは、AB が 5 cm、AC が 1 cm、BC はそれらのいずれとも異なります。実際に BC が 5 cm なら AB = BC から ∠BAC = ∠ACB ですが、M は C と D の間にあり、BM は AD に垂直なので、∠ACB は鈍角、∠BAC は鋭角です。また BC が 1 cm なら三角形 ABC の2辺の和 1 cm + 1 cm は残りの辺 5 cm より小さく、三角形になりません。したがって頂点を別の順に対応させても合同にはできません。

この配置は実際に作れます。A、C、D を条件どおりに置き、CD の中点 M を取ります。A を中心とする半径 5 cm の円と、M を通る CD の垂線との交点を B とすれば、AB = 5 cm です。AM = 3 cm なので、この垂線は円と交わります。C から見た CA と CM は反対向きで、∠MCB は鋭角ですから ∠ACB は鈍角です。A と M を結ぶ方向から見た ∠BAC は鋭角です。

比べた2組の辺は AB と BC、AB と BD です。この2辺の間の角はそれぞれ ∠ABC と ∠ABD であり、与えた等しい角 ∠BAC と ∠BAD ではありません。つまり「2組の辺と1組の角」があっても、その角が間にないときには、2組の辺とその間の角の合同条件を使えません。反例は、たまたま合同でない1組が存在することを示し、情報だけから必ず合同とはいえないと結論するためのものです。

誤答をほどく：印の数と対応順

図3は、発展例題の2つの三角形を重ねた図です。点 C と D は同じ半直線上にあり、BC と BD は等しい一方、AC と AD は異なります。図3の角 A は共通の向きで、選んだ辺 AB と BC の間の角ではありません。

誤答の1つは「AB は共通、BC = BD、∠BAC = ∠BAD だから、2組の辺とその間の角が等しい」です。原因は、3組の等しさを見つけたところで止まり、角の位置を確かめなかったことです。AB と BC が交わる頂点は B ですから、その間の角は ∠ABC です。等しいとわかっている角 A は使おうとした条件の位置と違います。辺に印を付け、2本が交わる頂点に指を置いて角を選び直します。

別の誤答は、基本例題の条件から「△ABC ≡ △DFE」と書くことです。A と D の対応は合っていますが、B と F、C と E が対応する書き方になります。すると AB は DF に対応するはずなのに、与えられた長さは AB = 5 cm、DF = 4 cm で一致しません。修正は、AB = DE から B と E、AC = DF から C と F を対応させ、△ABC ≡ △DEF と書くことです。

さらに、図で角が同じくらいに見えることを根拠にする誤りもあります。図は情報を整理する助けですが、見た目だけで等しい角を増やせません。仮定、共通、内角の和など、各行の右側に理由を添えるつもりで確かめます。理由を言えない等しさは保留し、使える条件に足りるかを調べ直します。

自分で選ぶ5問

各問はそれぞれ独立しています。合同と判断できる場合は、対応する順に合同の式を書き、使った条件を答えてください。判断できない場合は、その理由を答えてください。角度を求める問では単位も付けます。

△GHI と △JKL で GH = JK = 6 cm、HI = KL = 8 cm、IG = LJ = 9 cm です。合同か判断してください。
△NOP と △QRS で NO = QR = 3 cm、NP = QS = 6 cm、∠ONP = ∠RQS = 40° です。合同か判断してください。
△UVW と △XYZ で UV = XY = 10 cm、∠U = ∠X = 35°、∠V = ∠Y = 80° です。合同か判断し、∠W と ∠Z も求めてください。
△ABC と △DEF で AB = DE、AC = DF、∠B = ∠E とだけわかっています。これらの情報から必ず合同と判断できるか、角の位置を示して答えてください。
△KLM と △RST で KL = RS = 11 cm、∠K = ∠R = 45°、∠M = ∠T = 65° です。合同か判断し、∠L と ∠S も求めてください。

練習の答えと道筋

GH と JK、HI と KL、IG と LJ がそれぞれ等しいので、3組の辺がそれぞれ等しい条件を使えます。頂点の対応は G と J、H と K、I と L です。よって △GHI ≡ △JKL です。順に辺をたどると 6 cm、8 cm、9 cm が両方で一致します。6 + 8 > 9 など、どの2辺の和も残る1辺より大きく、三角形として成り立つ長さです。
NO と NP が交わる角は ∠ONP、QR と QS が交わる角は ∠RQS です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△NOP ≡ △QRS です。N と Q、O と R、P と S を対応させれば、3 cm と 6 cm の辺および 40° の角が問題文の組に戻ります。
UV と XY はそれぞれ 10 cm で、両端の角も 35° と 80° で一致します。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△UVW ≡ △XYZ です。残る角は次のように求めます。

∠W = 180° - 35° - 80°
∠W = 65°
∠Z = 180° - 35° - 80°
∠Z = 65°

それぞれ 35° + 80° + 65° = 180° となり、元の角の条件にも合います。

必ず合同とは判断できません。AB と AC の間の角は ∠A、DE と DF の間の角は ∠D ですが、等しいと与えられたのは ∠B と ∠E です。辺と角の位置関係を入れ替えれば、図3のように同じ情報を満たしても合同でない組が作れます。たとえば図3の △BAC と △BAD を、それぞれこの問の △ABC と △DEF に対応させると、2辺と間でない角は等しく、合同ではありません。
与えられた辺 KL と RS の両端にある残りの角を求めます。

∠L = 180° - 45° - 65°
∠L = 70°
∠S = 180° - 45° - 65°
∠S = 70°

KL = RS で、両端の角 ∠K = ∠R、∠L = ∠S です。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△KLM ≡ △RST です。45° + 70° + 65° = 180° となり、もとの 45° と 65° も保たれています。

覚えておくこと

対応する頂点の順をそろえて合同の式を書く。
3辺、2辺と間の角、1辺と両端の角のいずれかを選ぶ。
角の位置が違えば、情報を補えるか、反例があるかを調べる。
合同の後で得られる等しさを、根拠に先取りしない。

どこで止まっているかを見分ける

お子さまが条件名を覚えていても、図に2辺を指し示して「間の角」を選ぶところで止まる場合があります。そのときは、角の名前を答える前に、選んだ辺の共通の端を探します。反対に角は選べても合同の式が乱れる場合は、頂点を対応表に並べ、1辺ずつ両端をたどるとずれが見えます。

個別指導で確かめるなら、基本例題の AB と AC に印を付けたうえで角の頂点を説明できるか、標準例題で 180° から残りの角を導けるか、図3で条件が足りない理由を自分の言葉で言えるかを順に見ます。正答だけで終えず、与えられた情報と導いた情報を分けると、次の図でも判断を再現できます。対応と角の位置をたどることが、合同条件の選択につながります。