高校数学II 円の標準形と一般形—平方完成で中心と半径を読み存在条件を分ける｜武蔵野個別指導塾

平方完成の符号と定数を追い、半径の二乗が正・零・負の場合から円の標準形を捉えます。

よくあるのは、高2が円の式を見て、括弧の中の符号をそのまま中心の座標にし、右辺の数をそのまま半径にする場面です。例えば右辺が 9 なら、半径は 9 ではなく 3 です。平方完成を丁寧に行えば、中心と半径は同時に見えてきます。さらに右辺が零や負になったときは、図形が本当に円かどうかも判定できます。

円の式で問われること

第1の型は、中心と半径から方程式を作る問題です。中心から円周上の点までの距離が一定という定義を使います。中心の横座標が正でも、式の括弧内には引き算が現れます。座標を暗記した符号で扱うより、点と中心の差を一度書くと間違いを見つけやすくなります。

第2の型は、展開された式を平方完成して中心と半径を読み取る問題です。xの項とyの項を別々にまとめ、平方を作るために加えた定数を最後に整理します。半径そのものを読む前に、右辺が半径の二乗であることを確認します。

第3の型は、文字を含む式が円を表す条件を調べる問題です。平方完成した右辺が正なら円、零なら中心の1点、負なら実数の座標を持つ点はありません。零の場合も「点がある」ことと「正の半径の円である」ことを区別します。ここでは円の式の形と存在条件に焦点を当てます。

距離の定義から標準形へ

中心を C(a, b)、半径を r とします。円は、Cからの距離が正の数 r に等しい点 P(x, y) の集まりです。r > 0 を前提とします。距離の公式から、条件は次のように書けます。

CP = √((x - a)² + (y - b)²) = r
(x - a)² + (y - b)² = r²

両辺とも負でないので、二乗しても同値です。逆に最後の式を満たす点も、距離の正の平方根を取れば CP = r を満たします。この往復があるため、得た式の点が円周の点と一致します。

図1のように、PとCの横の差が x − a、縦の差が y − b です。差の符号にかかわらず二乗を足すので、距離は負になりません。

図1の直角三角形の2辺から、距離の二乗が (x − a)² + (y − b)² になることを読み取れます。標準形の (x − a) と (y − b) は、中心から見た座標のずれです。したがって (x + 2)² は x − (-2) の二乗で、中心の横座標は -2 です。括弧の中が零になる座標を考えると、符号の取り違えを防げます。

標準形を展開すると、次の一般形になります。

(x - a)² + (y - b)² = r²
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²
x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

逆に x² + y² + Dx + Ey + F = 0 は、次のように平方完成できます。

(x + D/2)² + (y + E/2)² = (D/2)² + (E/2)² - F

右辺を R と置きます。R > 0 なら中心は (-D/2, -E/2)、半径は √R です。R = 0 では二つの平方がともに零でなければならず、点は中心の1点に限られます。R < 0 では左辺が零以上なので、条件を満たす実数の点はありません。一般形の二次の係数が共通の零でない数なら、その数で両辺を割ってから同じ判定ができます。

この判定は右辺の符号が確定して初めて行えます。平方完成の途中で定数を移項し忘れると、中心が合っていても半径や存在条件が変わります。式を展開して元に戻るかを確認する習慣が有効です。

基本例題：一般形から中心を読む

次の式が表す円の中心を座標で、半径を正の数で求めてください。

x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0

まずxの項とyの項を集めます。それぞれ一次の係数の半分を使って平方を作ります。x側に 4、y側に 9 を加えた分は、等式を保つため右辺にも加えます。

(x² - 4x) + (y² + 6y) = 12
(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 12 + 4 + 9
(x - 2)² + (y + 3)² = 25

右辺は正なので円です。中心は (2, -3)、半径は √25 = 5 です。図2のように、中心から右へ 5 進んだ点は (7, -3) です。横のずれが 5、縦のずれが 0 なので、この点は確かに円周上にあります。

図2の点を元の式に戻すと、49 + 9 − 28 − 18 − 12 = 0 です。中心の符号と半径の両方を点の座標から確かめられます。ただし1点が式を満たすことだけで円全体の一致を証明したわけではありません。円全体については、平方完成の各行が同値であることが根拠です。

右辺を 25 とした段階で半径を 25 と答えると、距離の二乗と距離を取り違えています。また (y + 3)² を見て縦座標を 3 とすると、中心からの縦の差が y − 3 になり、元の式にある +6y を再現できません。展開による確認がそれぞれの誤りを区別します。

標準例題：中心と円周上の点から作る

中心が (-3, 2) で、点 (1, 5) を通る円の方程式を、標準形と一般形で求めてください。中心と指定点は異なるので、半径は正です。

中心から指定点までの横の差は 1 − (-3) = 4、縦の差は 5 − 2 = 3 です。半径の二乗を先に求めます。

r² = (1 - (-3))² + (5 - 2)²
r² = 4² + 3²
r² = 25
r = 5

したがって標準形と一般形は次のとおりです。

(x + 3)² + (y - 2)² = 25
x² + 6x + 9 + y² - 4y + 4 = 25
x² + y² + 6x - 4y - 12 = 0

点 (1, 5) を一般形に代入すると、1 + 25 + 6 − 20 − 12 = 0 です。平方完成して戻すと中心は (-3, 2)、半径の二乗は 25 となり、元の条件に合います。一般形にした後も、標準形を手元に残して照合すると符号を追いやすくなります。

もし指定点が中心そのものなら、計算上 r = 0 です。距離が零の点は中心の1点ですが、ここで定義した正の半径を持つ円は作れません。式を立てる前に2点が異なることを調べる理由は、この境界を見落とさないためです。

発展例題：文字で存在を分ける

実数 t について、次の式が円を表す t の範囲を求め、円となるときの中心と半径を答えてください。また、それ以外の場合に表す点の集合を述べてください。

x² + y² - 2tx + 4y + 2t + 5 = 0

平方完成によって、中心と半径の二乗を分離します。t は定数として扱います。

(x² - 2tx) + (y² + 4y) = -2t - 5
(x - t)² - t² + (y + 2)² - 4 = -2t - 5
(x - t)² + (y + 2)² = t² - 2t - 1
(x - t)² + (y + 2)² = (t - 1)² - 2

円となる条件は右辺が正であることです。√2 は正なので、次のように分けられます。

(t - 1)² - 2 > 0
(t - 1)² > (√2)²
t - 1 < -√2 または t - 1 > √2
t < 1 - √2 または t > 1 + √2

この範囲では中心は (t, -2)、半径は √((t − 1)² − 2) です。両端を含めないのは、端では半径が零になるからです。

t = 1 - √2 または t = 1 + √2：点 (t, -2) のみ
1 - √2 < t < 1 + √2：該当する実数の点なし

境界値では (t − 1)² = 2 なので右辺が零になります。中心を元の式に戻しても t² + 4 − 2t² − 8 + 2t + 5 = -(t² − 2t − 1) = 0 となり、点が確かに存在します。範囲の内側は右辺が負で、平方の和が負にはならないため点がありません。

例えば t = 3 では右辺は 2、中心は (3, -2)、半径は √2 です。円周上の点 (4, -1) を元の式に入れると、16 + 1 − 24 − 4 + 6 + 5 = 0 です。t = 1 では右辺が -2 となり、同じ式の形でも円とは限らないことが見えます。数例は計算の点検には役立ちますが、全範囲の判定は不等式によって行います。

符号と半径を取り違えた答案を直す

(x + 1)² + (y − 2)² = 9 について、「中心は (1, -2)、半径は 9」と答えたとします。図3のように正しい中心は (-1, 2)、半径は 3 です。括弧が同時に零になる点を探すと中心が決まり、右辺は距離の二乗なので半径はその正の平方根です。

図3の正しい中心から右へ 3 進むと (2, 2) です。この点を式に代入すると 3² + 0² = 9 です。中心は標準形の2つの平方がともに0になる点です。(1, -2)では左辺が20となり、(-1, 2)では0となるので、中心は(-1, 2)と判定できます。半径を 9 とすると、正しい中心から右へ進んだ点 (8, 2) は 9² + 0² = 81 となり、円周上ではありません。

別の失敗は、平方完成の際に加えた数を片側にしか書かないことです。例えば x² + 2x を (x + 1)² と書き換えるなら、元の式との差 1 を補う必要があります。式の左右に同じ数を加えるか、(x + 1)² − 1 と書けば同値性を保てます。計算の各行を逆に展開して、消えた定数がないか確認してください。

右辺が負の場合に負の数の平方根を半径とする答案も修正が必要です。実数の平方は零以上なので、実数の点がないと判定します。右辺が零の場合には点は残りますが、半径が正という円の条件を満たしません。この2つは同じ「円でない」場合でも、残る点の有無が異なります。

練習：式と図形を行き来する

次の5問は、中心を座標、半径を正の整数または根号で表し、方程式を求める場合は指定の形で答えてください。

1. 中心 (4, -1)、半径 2 の円の方程式を標準形と一般形で求めてください。
2. x² + y² + 8x − 2y + 8 = 0 が表す円の中心と半径を求めてください。
3. x² + y² − 6x + 10y + 34 = 0 が表す点の集合を求め、円かどうか判定してください。
4. x² + y² + 2x − 4y + 8 = 0 が表す点の集合を求めてください。
5. 実数 k について、x² + y² − 4x + 2y + k = 0 が円を表す k の範囲と、そのときの中心・半径を求めてください。境界でも何を表すか答えてください。

練習の解答と確認

1. 点 (x, y) と中心の距離が 2 であることから、標準形は次のとおりです。

(x - 4)² + (y + 1)² = 4
x² - 8x + 16 + y² + 2y + 1 = 4
x² + y² - 8x + 2y + 13 = 0

中心から右に 2 進んだ (6, -1) を一般形に代入すると、36 + 1 − 48 − 2 + 13 = 0 です。一般形を平方完成すれば中心 (4, -1)、半径の二乗 4 に戻ります。

2. 左辺の一次の係数の半分を使います。

(x² + 8x + 16) + (y² - 2y + 1) = -8 + 16 + 1
(x + 4)² + (y - 1)² = 9

中心は (-4, 1)、半径は 3 です。中心から左へ 3 の点 (-7, 1) を元の式に戻すと 49 + 1 − 56 − 2 + 8 = 0 となります。

3. 平方完成して右辺を調べます。

(x - 3)² - 9 + (y + 5)² - 25 + 34 = 0
(x - 3)² + (y + 5)² = 0

平方の和が零になるのは両方が零のときなので、点の集合は (3, -5) の1点です。正の半径を持たないため円ではありません。元の式に代入すると 9 + 25 − 18 − 50 + 34 = 0 です。

4. 同様に変形します。

(x + 1)² - 1 + (y - 2)² - 4 + 8 = 0
(x + 1)² + (y - 2)² = -3

左辺は零以上なので、条件を満たす実数の点はありません。中心らしく見える (-1, 2) を入れても元の左辺は 3 であり、解ではありません。

5. 平方完成してから正負を判定します。

(x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 + k = 0
(x - 2)² + (y + 1)² = 5 - k

円となるのは 5 − k > 0、すなわち k < 5 です。中心は (2, -1)、半径は √(5 − k) です。k = 5 では点 (2, -1) のみ、k > 5 では実数の点がありません。円の場合、中心から右へ √(5 − k) の点を標準形に代入すると左辺は 5 − k です。展開が元の式と同値であるため、この点は与えられた条件も満たします。

覚えておくこと

• 中心 (a, b)、半径 r > 0 の円は (x − a)² + (y − b)² = r² です。
• 平方完成後の右辺は半径そのものではなく半径の二乗です。
• 右辺が正なら円、零なら1点、負なら実数の点はありません。
• 得られた式を展開し、与えられた条件へ点を戻して確かめます。

つまずいた場所を見分ける

「括弧の中が零になるのはどの座標ですか」と尋ね、中心を符号込みで言えるか確認します。答えが逆なら、中心からの差を x − a、y − b と書き直します。「右辺は距離と距離の二乗のどちらですか」という問いで、半径の読み違えも分けられます。

個別指導では、平方完成の前後を展開して同じ式に戻るか、加えた定数を左右で照合します。文字を含む場合は正・零・負の各場合を示し、境界値を代入して点の有無まで言葉にできるかを確認します。中心と半径を読む前に右辺の符号を見れば、存在しない円を描かずに済みます。