高校数学C 二次曲線の有理表示—定点を通る直線から点の式と欠ける点を導く｜武蔵野個別指導塾

定点を通る直線と円や楕円の交点を分数で表し、傾きでは届かない点を調べる鍵が二次曲線の有理表示です。

よくあるのは、理系の高3が円上の点を分数で表し、式が円の方程式を満たすところまで確かめたのに、軸上の1点を表示できず立ち止まる場面です。計算が間違っているとは限りません。表示を作る際に使った直線の傾きは実数なので、鉛直な直線をそのまま表すことはできないからです。どの点が欠けるかは定点の位置で変わります。円と楕円を使い、式を作る方向と、候補点から傾きを取り戻す方向を往復します。

直線と曲線のどちらを問うか

出方の1つは、円上の定点を通る傾き t の直線と円を連立し、もう一方の交点を t の分数式で表す問題です。すでにわかっている定点の解を因数として取り出すと、残りの交点が求まります。ただし直線が定点で接する傾きでは、2つの交点が重なります。その場合も重解として定点を表示に含めるのか、異なる交点だけを求めるのかを問題の言葉に合わせます。

2つ目は、得られた表示が曲線のどの範囲を覆うかを問う問題です。分数式を代入して円の式が成り立っても、それは表示された点が円上にあるという片方向の確認です。円上の任意の点に実数 t が見つかるか、見つからない場合はどこかを別に確かめます。

3つ目は、楕円上の定点を通る直線や、表示された点に加えられた条件を扱う問題です。横軸と縦軸の長さが異なると、傾きの係数もそれに応じて変わります。分母が正であることを確認してから不等式を解き、端点で定点や重解が現れないかを調べます。

有理表示を往復するための地図

媒介変数とは、点の x 座標と y 座標を共通の変数 t で表すときの、その変数です。ここでは座標が t の多項式の比で表されるので、有理表示と呼びます。分母が 0 となる値は使えません。さらに、元の幾何で t を傾きとして定めた場合、鉛直線は有限の実数 t では表せません。

例として円 x² + y² = 4 の定点 A(-2,0) を取り、直線 y = t(x + 2) を考えます。図1のように、A を通る直線と円のもう一方の交点を P とします。図の直線は傾き 1/2 の例です。傾きが変わると P も円上を動き、傾き 0 のとき P は右端に来ます。

図1の A は表示を作るために先に選んだ点です。A を通る鉛直線 x = -2 は円と A で接しますが、y = t(x + 2) の形には有限の t を入れてもなりません。そのため、この表示では A が欠けると予想できます。一方、ほかの円周上の点 P(x,y) なら x = -2 ではありません。実際、x = -2 を円の式に入れると y = 0 となり、A そのものになるからです。

したがって P が A と異なるとき、t = y/(x + 2) は実数として定まります。これを用いた直線は A と P を通ります。こうして逆向きの存在を示せば、A を除いた円周が表示できることになります。単に「傾きを大きくすれば近づく」と述べても、有限の t で点そのものを表せる証明にはなりません。

また、鉛直線が表せないことと、定点が必ず欠けることは同義ではありません。例えば定点が円の上端にある場合、鉛直線は下端とも交わり、欠けるのは下端です。さらに定点での接線が鉛直でないときは、その傾きで2つの交点が重なり、定点自体が表示に現れます。欠ける点は、実際に鉛直線と曲線の共有点を調べて決めます。

基本例題：円の右側の点から傾きを戻す

円 x² + y² = 4 上の A(-2,0) を通る直線 y = t(x + 2) を考えます。t は実数です。A 以外の交点を求め、重なる場合は重解として A を含めることにします。座標を t の分数式で表し、表される点の集合を答えてください。さらに t = 1/2 の点を分数で求めます。

まず直線を円に代入します。t は実数なので 1 + t² は常に正です。この事実は後で割り算をするときに使います。

x² + t²(x + 2)² = 4
x² - 4 + t²(x + 2)² = 0
(x + 2)(x - 2) + t²(x + 2)² = 0
(x + 2){x - 2 + t²(x + 2)} = 0

因数 x + 2 = 0 は定点 A に対応します。もう一方の因数を 0 として解きます。接する場合には両方の因数が同時に 0 になっても、この式で重解を扱えます。

x - 2 + t²(x + 2) = 0
(1 + t²)x = 2(1 - t²)
x = 2(1 - t²)/(1 + t²)
x + 2 = 4/(1 + t²)
y = 4t/(1 + t²)

この場合、2つの因数が同時に 0 になる実数 t はありません。実際に x = -2 を最後の x の式に入れると 2 = -2 となるためです。代入して円上にあることも確かめます。

x² + y² = {4(1 - t²)² + 16t²}/(1 + t²)²
          = 4(1 + 2t² + t⁴)/(1 + t²)²
          = 4

逆に円上の P(x,y) が A と異なれば、先ほどの理由で x + 2 は 0 でなく、t = y/(x + 2) と置けます。直線は A と P を通り、連立から得たもう一方の解が P です。よって表される集合は円 x² + y² = 4 から A(-2,0) を除いたものです。A が欠けることは、分数式の x + 2 = 4/(1 + t²) が正であることからも直接確認できます。

t = 1/2
x = 2(1 - 1/4)/(1 + 1/4) = 6/5
y = 4・(1/2)/(1 + 1/4) = 8/5

図2の P(6/5,8/5) は、(6/5)² + (8/5)² = 4 を満たします。また A から P への傾きは (8/5)/(16/5) = 1/2 です。円の式だけでなく、指定された直線にも戻りました。

標準例題：楕円で傾きの範囲を絞る

楕円 x²/25 + y²/9 = 1 上の B(-5,0) を通る直線 y = t(x + 5) を考えます。t は実数です。B 以外の交点を t の分数式で表し、そのうち x ≥ 0、y ≥ 0 を満たす点に対応する t の範囲と両端の座標を求めてください。両端は整数で表します。

両辺に 225 を掛けて分母を払い、直線の式を代入します。

9x² + 25y² = 225
9x² + 25t²(x + 5)² - 225 = 0
(x + 5){9(x - 5) + 25t²(x + 5)} = 0
9(x - 5) + 25t²(x + 5) = 0
(9 + 25t²)x = 45 - 125t²
x = 5(9 - 25t²)/(9 + 25t²)
x + 5 = 90/(9 + 25t²)
y = 90t/(9 + 25t²)

9 + 25t² は実数 t に対して正です。したがって B を表す x + 5 = 0 は起こらず、実数 t で得られる点は B と異なります。逆に楕円上で B と異なる点は x + 5 ≠ 0 です。x = -5 を楕円へ代入すると y = 0 しかないので、t = y/(x + 5) が実数で作れます。これにより B 以外の全点を覆います。

指定された範囲は、正の分母に注意して次のように決まります。

y ≥ 0 より t ≥ 0
x ≥ 0 より 9 - 25t² ≥ 0
よって -3/5 ≤ t ≤ 3/5
両条件から 0 ≤ t ≤ 3/5

t = 0 なら (x,y) = (5,0)、t = 3/5 なら (x,y) = (0,3) です。両点は楕円の式と x ≥ 0、y ≥ 0 を満たし、それぞれの傾きも 0 と 3/5 です。等号のある条件なので両端を含めます。もし x > 0 と指定されていれば、後者の端点は含めません。

発展例題：欠けた点と別の条件の交点

円 x² + y² = 9 上の C(3,0) を通る直線 y = t(x − 3) を使います。t は実数です。C 以外の交点を t の分数式で表し、円と直線 y = 1 の交点を、この表示を使って求めてください。交点の座標は根号を用いて表します。

C からの直線を円へ代入し、既知の解 x = 3 を分けます。

x² + t²(x - 3)² = 9
(x - 3){x + 3 + t²(x - 3)} = 0
(1 + t²)x = 3(t² - 1)
x = 3(t² - 1)/(1 + t²)
x - 3 = -6/(1 + t²)
y = -6t/(1 + t²)

分母 1 + t² は正で、x − 3 は 0 になりません。C が表示から欠け、ほかの円周上の点については t = y/(x − 3) が定まります。今度は C 自体が y = 1 を満たさないので、交点を探す際に欠けた点を追加する必要はありません。条件が y = 0 なら C も別に調べる必要があります。

-6t/(1 + t²) = 1
-6t = 1 + t²
t² + 6t + 1 = 0
t = -3 + 2√2 または t = -3 - 2√2

2つの t はともに実数です。円の式と y = 1 から x² = 8 なので、候補の座標は (2√2,1)、(-2√2,1) です。どちらも C ではなく、傾きはそれぞれ 1/(2√2 − 3)、1/(-2√2 − 3) です。有理化すると順に -3 − 2√2、-3 + 2√2 となり、先ほどの2つの t に一致します。各点を円と直線の両方に戻すと、8 + 1 = 9、y = 1 です。実数解が2つあり逆向きにも対応したので、交点はこの2点です。

この手順では、まず表示で除いた点が追加条件を満たすかを調べました。その点が条件を満たすなら、媒介変数の方程式をどれほど正確に解いても点が1つ不足します。反対に満たさないときは、表示された部分で解くことができます。欠ける点の確認は計算後のおまけではなく、交点の個数を決めるための条件です。

誤答を直す：円の式を満たすだけでは足りない

基本例題について「x² + y² = 4 と計算できたから、実数 t は円周全体を表す」と答えたとします。円の式への代入は正しいものの、結論は広すぎます。円周上の点がすべて表示されるには、それぞれに対応する有限の t が必要です。

図3のように、A(-2,0) を通る鉛直線は x = -2 です。この直線と円の共有点は A しかなく、直線 y = t(x + 2) には有限の t で表せません。実際に式から x + 2 = 4/(1 + t²) > 0 なので A は入らず、円周上の別の点では t = y/(x + 2) を作れます。

図3で白く抜いた点は円に属しますが、この表示には属しません。修正すると「円周のうち A を除いた部分」です。なお、図中の鉛直線を新たな場合として加えれば A を補えますが、これは実数 t の値を1つ付け加えたという意味ではありません。

別の誤りとして、因数 x + 2 を見た途端に「定点は常に除外」と決めることがあります。定点を通る接線が有限の傾きを持てば、もう一方の因数も定点で 0 となり、重解として定点を返します。反対に問題が「定点と異なる交点」と明示しているときは、その接線の傾きでは異なる交点が存在しません。求める集合に重解を含めるかを先に確認してから、傾きと点の両方を除外します。

練習：式と点を両方向から調べる

次の5問は、それぞれ実数 t を使います。座標は整数または分数、必要な場合は根号で表してください。曲線と直線が定点で接する場合、問4では重解を採用します。

1. 円 x² + y² = 16 の定点 D(-4,0) を通る直線 y = t(x + 4) の D 以外の交点を t で表し、欠ける点を答えてください。
2. 円 x² + y² = 1 の定点 E(1,0) を通る直線 y = t(x − 1) について、もう一方の交点を t で表し、t = 2 の点を求めてください。
3. 楕円 x²/36 + y²/16 = 1 の定点 F(-6,0) を通る直線 y = t(x + 6) について、もう一方の交点を t で表してください。また、その点が x ≥ 0、y ≥ 0 を満たす t の範囲を求めてください。
4. 円 x² + y² = 4 の定点 G(0,2) を通る直線 y = tx + 2 を考えます。G と重なる場合も含むもう一方の交点を表し、有限の実数 t で欠ける円周上の点と、G を表す t を答えてください。
5. 円 x² + y² = 25 の定点 H(-5,0) を通る直線 y = t(x + 5) のもう一方の交点について、y = 4 となる t と、その点の座標をすべて求めてください。

練習の答えと道筋

1. 代入して定点の因数を取り出します。

x² + t²(x + 4)² = 16
(x + 4){x - 4 + t²(x + 4)} = 0
x = 4(1 - t²)/(1 + t²)
y = 8t/(1 + t²)

分母は正で、x + 4 = 8/(1 + t²) > 0 です。したがって D は欠けます。逆に円上で D と異なる点では x + 4 ≠ 0 なので t = y/(x + 4) が存在します。式を円に戻すと分子は 16(1 + t²)² となり、直線にも y = t(x + 4) の形で戻ります。

2. E に対応する因数 x − 1 を分けます。

x² + t²(x - 1)² = 1
(x - 1){x + 1 + t²(x - 1)} = 0
x = (t² - 1)/(1 + t²)
y = -2t/(1 + t²)
t = 2 のとき (x,y) = (3/5,-4/5)

得た点は 9/25 + 16/25 = 1 を満たし、(-4/5)/(3/5 − 1) = 2 です。E は x − 1 = -2/(1 + t²) ≠ 0 により表示できません。逆に E 以外の円周上の点には t = y/(x − 1) を取れます。

3. 36 と 16 の積で分母を払い、F の因数を分けます。

4x² + 9y² = 144
(x + 6){4(x - 6) + 9t²(x + 6)} = 0
x = 6(4 - 9t²)/(4 + 9t²)
y = 48t/(4 + 9t²)

分母は常に正なので、y ≥ 0 から t ≥ 0、x ≥ 0 から -2/3 ≤ t ≤ 2/3 です。答えは 0 ≤ t ≤ 2/3 です。端の t = 0 は (6,0)、t = 2/3 は (0,4) を与え、どちらも元の楕円と符号条件を満たします。x + 6 = 48/(4 + 9t²) > 0 なので F は欠けますが、F は求める x ≥ 0 の範囲にも入りません。

4. 円への代入後、定点の解 x = 0 を分けます。

x² + (tx + 2)² = 4
x{(1 + t²)x + 4t} = 0
x = -4t/(1 + t²)
y = 2(1 - t²)/(1 + t²)

t = 0 で (0,2) = G を得ます。このとき y = 2 は円に G で接し、2解が重なっています。一方、鉛直線 x = 0 と円のもう1つの共有点 (0,-2) は表示から欠けます。y + 2 = 4/(1 + t²) > 0 からも確認できます。それ以外の点 P(x,y) は、G 以外なら x ≠ 0 なので t = (y − 2)/x が存在し、G には t = 0 を使えます。

5. H の因数を分けた表示に y = 4 を入れます。

x = 5(1 - t²)/(1 + t²)
y = 10t/(1 + t²)
10t = 4(1 + t²)
2t² - 5t + 2 = 0
(2t - 1)(t - 2) = 0
t = 1/2 または t = 2

順に座標は (3,4)、(-3,4) です。どちらも x² + y² = 9 + 16 = 25、y = 4 を満たし、H からの傾きは 4/8 = 1/2、4/2 = 2 です。欠ける H は y = 0 なので、求める交点には入りません。2つの t に対応する点が異なることも座標から確かめられます。

手元に残す要点

定点を通る直線を連立し、定点の因数から残りの解を出します。
分母が 0 にならないか、接するときに重解を採るかを確認します。
表示から曲線への代入と、曲線から傾きを作る逆の確認を分けます。
鉛直線と曲線の共有点を調べ、有限の傾きで欠ける点を補います。

どこで止まったかを見分ける

直線を代入した式で因数が出ない場合は、定点の座標が元の曲線と直線の両方を満たすかから見直します。因数は出ても座標の符号が違う場合は、残った一次式の定数項と、直線に戻すときの x と定点の差を確かめます。例えば右端を定点とすると x − 3 は負になり、y の式の符号も左端を定点とした場合と変わります。

個別指導で答案を見るなら、円の式への代入が正しいかに加え、欠ける候補点を書き、別の点から傾きを定める分母が非零である理由を説明できるかを確かめます。接する傾きで重解を採る問題と、異なる交点を要求する問題も並べると、同じ式から結論が変わる理由を追えます。円周を覆うという主張は、各点に使える実数の傾きが存在するところまで示して初めて成立します。