武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学II 条件から円の方程式を決める方法—中心の条件と通る点から未知数を整理する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

直径の両端や座標軸への接触を手がかりに、存在しない場合も見極めて円を定める。

よくあるのは、直径の両端の座標から長さを計算したあと、その値をそのまま半径として円の式に入れてしまう場面です。式の形が合っていても、端点を代入すると左辺が右辺と一致しません。中心までの距離と端から端までの距離を図で分ければ、どの値を二乗するかを判断できます。

円を決める条件には、点を通ることのほかに、中心の位置や座標軸への接触があります。条件をそのまま文字式に移し、求めた円を元の場面に戻して確かめましょう。三点を通る円の一般的な求め方には立ち入らず、中心や直径、軸との関係に焦点を当てます。

どの条件から手をつけるか

第一の型は、直径の両端が与えられる問いです。中心は両端の中点で、半径は両端間の距離の半分です。端点が同じなら長さが0になり、半径が正の円は作れません。計算に入る前に2点が異なるかを見ると、最後の条件確認まで見通せます。

第二の型は、中心がある直線上にあり、指定された点を通る問いです。中心を文字で置くと、直線上という条件と、各点までの距離が半径に等しいという条件を式にできます。通る点が2つなら、中心からの距離の二乗を等しくして半径をいったん消せます。ただし、方程式に解が出ても、それが正の半径を与えるか、指定の点と中心が重ならないかを見直します。

第三の型は、円が座標軸に接する問いです。接するとは、軸との共有点がちょうど1つであることです。中心から軸までの距離を半径と等しく置くと、接点を直接求めなくても式を作れます。絶対値が付くので、軸の上側と下側を勝手に決めないことが重要です。

中心・半径・条件の対応

中心をC(a, b)、半径をrとします。円とは、Cからの距離が正の一定値rに等しい点の集まりです。r > 0を前提に、点(x, y)が円上にある条件は次のようになります。

(x - a)² + (y - b)² = r²

右辺は半径そのものではなく、その二乗です。ある点P(p, q)を通るときは、x = p、y = qを代入して、(p − a)² + (q − b)² = r²と書けます。中心が直線上にあるという条件は、円上の点ではなく中心の座標(a, b)をその直線の式に代入します。代入する対象の違いに印を付けておくと混同を防げます。

図1のように、直径の両端をA、Bとすると中心Cは中点です。A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)が異なるとき、中心と半径の二乗は次で求まります。

Cの座標 = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
r² = ((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)/4

図1の線分ACとCBは同じ長さで、ABはその2倍です。距離を先に求めて2で割ってから二乗しても、距離の二乗を4で割っても、同じr²になります。2で割ることと、二乗後に4で割ることを対応させましょう。

次にx軸への接触を考えます。C(a, b)からx軸上の点(x, 0)までの距離の二乗は、(x − a)² + b²です。(x − a)²は0以上なので、最も近い点は(a, 0)、距離は|b|です。r = |b| > 0なら、この点だけが円とx軸の共有点になります。逆に接するなら、円の式にy = 0を代入した(x − a)² = r² − b²がちょうど1つの解を持つため、r² = b²です。

同様にy軸への接触はr = |a| > 0です。b = 0ならx軸に接するためのrも0になり、正の半径の円という前提を満たしません。式に代入する前から接する軸と中心が重なっていないかを確認します。

基本例題：直径の両端から作る

異なる2点A(-2, 1)、B(4, 5)を直径の両端とする円の方程式を、中心と半径の二乗が読み取れる形で求めてください。

図2のように、まずAとBの中点を中心Cとします。横座標と縦座標をそれぞれ平均します。

C = ((-2 + 4)/2, (1 + 5)/2)
  = (1, 3)

次にAからBまでの横の差と縦の差は6と4です。直径の長さの二乗から半径の二乗を求めます。

AB² = (4 - (-2))² + (5 - 1)²
    = 6² + 4²
    = 52
r² = AB²/4
   = 13

したがって、求める円の方程式は次のとおりです。

(x - 1)² + (y - 3)² = 13

r² = 13 > 0なので、半径は√13の正の円です。Aについては(-2 − 1)² + (1 − 3)² = 9 + 4 = 13、Bについては(4 − 1)² + (5 − 3)² = 9 + 4 = 13となり、どちらも円上です。さらにCがABの中点なので、AとBを結ぶ線分は中心を通り、その長さは半径の2倍です。単に2点を通るだけでなく、直径の両端という条件まで戻して確かめました。

もしAB = √52を半径にすると、右辺は52になります。Aを代入した左辺は13なので一致しません。端点の代入は、直径と半径の取り違えを見つける手がかりです。

標準例題：中心を直線上に置く

中心が直線y = x − 1上にあり、2点P(1, 1)、Q(5, 3)を通る円の方程式を、中心と半径の二乗が読み取れる形で求めてください。

PとQは異なるので、中心が両点と同時に一致することはありません。中心をC(a, b)、半径をrと置くと、直線の条件はb = a − 1です。P、Qまでの距離はどちらもrですから、距離の二乗を等しくします。

(a - 1)² + (b - 1)² = (a - 5)² + (b - 3)²
a² - 2a + 1 + b² - 2b + 1 = a² - 10a + 25 + b² - 6b + 9
8a + 4b = 32
2a + b = 8

b = a − 1を使い、中心の座標を決めます。

2a + (a - 1) = 8
3a = 9
a = 3
b = 2

Pまでの距離の二乗が半径の二乗です。

r² = (3 - 1)² + (2 - 1)²
   = 4 + 1
   = 5

したがって円は(x − 3)² + (y − 2)² = 5です。中心(3, 2)は2 = 3 − 1を満たし、Qまでの距離の二乗も(5 − 3)² + (3 − 2)² = 5です。r²が正なので円として成立します。

距離の二乗を等しくする操作は、二つの距離がともに0以上だから元の等距離条件と同値です。等距離の式だけでは中心は一般に1点に決まりません。今回は中心の直線条件を加えた連立式が1組に決まったため、円も1つに定まります。連立式が矛盾する場合や同じ条件に重なる場合には、解の個数を別に調べる必要があります。

発展例題：軸に接して2点を通る

x軸に接し、異なる2点P(0, 1)、Q(4, 1)を通る円の方程式を、中心と半径の二乗が読み取れる形で求めてください。条件を満たす円をすべて求めます。

中心をC(a, b)、半径をr > 0とします。x軸に接するのでr² = b²かつb ≠ 0です。PとQが円上にある条件を書き、まず共通のr²を消します。

(0 - a)² + (1 - b)² = r²
(4 - a)² + (1 - b)² = r²
a² = (4 - a)²
a² = a² - 8a + 16
8a = 16
a = 2

Pの条件にa = 2とr² = b²を戻します。

4 + (1 - b)² = b²
4 + 1 - 2b + b² = b²
5 - 2b = 0
b = 5/2
r = |5/2|
  = 5/2
r² = 25/4

よって方程式は(x − 2)² + (y − 5/2)² = 25/4です。中心からx軸までの距離は5/2で、半径と等しく正です。接点は(2, 0)で、円の式に入れると0 + 25/4 = 25/4となります。PとQでは横の差の二乗がともに4、縦の差の二乗が9/4なので、合計は25/4です。

上の計算は、条件を満たす円ならa = 2、b = 5/2でなければならないことを示します。逆に、その中心と半径で作った円が接触と2点の条件をすべて満たすことも確認したので、ほかに見落としはありません。最初に中心をx軸の上に限定しなくても、条件からbが正と決まっています。

誤答を図に戻して直す

直径の端をD(0, 0)、E(6, 0)とする問題で、中心(3, 0)を出した後、半径を6として「(x − 3)² + y² = 36」とする誤答を考えます。D、Eが別の点であることと中点の計算は正しいものの、6は端から端までの長さです。図3のように、中心から端までの長さは3です。

誤った式にDを代入すると左辺は9で、右辺36と一致しません。図3では薄い外側の円が誤った半径6の円、内側の円が半径3の円です。DとEは内側の円には乗りますが、外側の円には乗りません。

直すには、DE = 6を求めたあとr = 6/2 = 3と置き、r² = 9として(x − 3)² + y² = 9とします。DとEの代入はいずれも9です。中心も2点の中点なので、両点は直径の両端です。半径を計算せずDE² = 36からr² = 36/4 = 9と進む方法でも、割る数は4になります。

半径0の扱いも、式が書けることと円が存在することを区別します。例えば直径の両端が同じ点なら中点は求まりますが、その点から端までの距離は0です。右辺0の式が表すのは1点であり、ここで求める半径が正の円ではありません。

練習：条件を円の式へ移す

次の5問はそれぞれ独立しています。円が存在する場合は、中心と半径の二乗が読み取れる形の方程式を、複数ある場合はすべて答えてください。存在しない場合はその理由を示してください。

A(1, -2)、B(7, 2)を直径の両端とする円を求めてください。
中心が直線x + y = 1上にあり、P(-1, 0)、Q(3, 2)を通る円を求めてください。
中心がx軸上にあり、P(1, 2)を通り、半径が√5である円を求めてください。
x軸に接し、中心の横座標が2で、P(2, 4)を通る円を求めてください。
x軸に接し、異なる2点P(0, 0)、Q(4, 0)を通る円を求めてください。

練習の解答と確かめ

1. 中点と直径の二乗

2点は異なります。中心Cと半径の二乗を順に求めます。

C = ((1 + 7)/2, (-2 + 2)/2)
  = (4, 0)
AB² = (7 - 1)² + (2 - (-2))²
    = 36 + 16
    = 52
r² = 52/4
   = 13

答えは(x − 4)² + y² = 13です。A、Bを代入した左辺はそれぞれ9 + 4 = 13で、中心は両点の中点です。r² > 0であり、直径の条件を満たす円です。

2. 等距離と直線条件

中心を(a, b)とします。P、Qは異なるので、両点までの距離を比べます。

(a + 1)² + b² = (a - 3)² + (b - 2)²
a² + 2a + 1 + b² = a² - 6a + 9 + b² - 4b + 4
8a + 4b = 12
2a + b = 3
a + b = 1
a = 2
b = -1

半径の二乗は、Pまでの距離の二乗から求めます。

r² = (2 - (-1))² + (-1 - 0)²
   = 9 + 1
   = 10

答えは(x − 2)² + (y + 1)² = 10です。中心は2 + (-1) = 1を満たし、Qまでの距離の二乗も(3 − 2)² + (2 − (-1))² = 10です。正の半径があり、連立条件から中心は1組に定まります。

3. 中心が2か所に分かれる

中心を(a, 0)と置きます。半径√5は正で、その二乗は5です。

(1 - a)² + (2 - 0)² = 5
(1 - a)² = 1
1 - a = 1 または 1 - a = -1
a = 0 または a = 2

答えはx² + y² = 5、(x − 2)² + y² = 5の2つです。どちらの中心もx軸上にあります。Pからそれぞれの中心までの距離の二乗は1 + 4 = 5なので、指定の点と半径を満たします。二乗を外す際に正負の両方を調べることが、1つを落とさないための要点です。

4. 接点の位置を使う

中心を(2, b)、半径をr > 0とします。x軸との接点は(2, 0)、r = |b|です。Pが円上にある条件に代入します。

(2 - 2)² + (4 - b)² = r²
(4 - b)² = b²
16 - 8b + b² = b²
8b = 16
b = 2
r = |2|
  = 2

答えは(x − 2)² + (y − 2)² = 4です。中心からx軸までの距離は2で半径に等しく、接点(2, 0)とP(2, 4)はいずれも円上です。連立条件からbが1つに定まるので、ほかの円はありません。

5. 接する軸に2点がある場合

答えは存在しません。x軸に接する円は、定義によりx軸との共有点をちょうど1つ持ちます。ところがPとQは異なり、どちらもx軸上にあるので、両方を通る円はx軸と少なくとも2点を共有します。これは接するという条件に反します。

式でも確かめられます。中心を(a, b)、半径をr > 0とすると、接触からr² = b²です。Pを代入するとa² + b² = b²なのでa = 0、Qを代入すると(4 − a)² + b² = b²なのでa = 4です。両方を満たすaはなく、条件は両立しません。接する軸上の点が1つしか指定されていない場合とは区別しましょう。