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中2数学多角形の内角と外角—分割の仕方と回る向きから角の和を説明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学数学中2 単元を掘り下げる

三角形への分割と頂点で曲がる向きから、角の和を考える多角形の外角です。

よくあるのは、一つの頂点で反対向きの外角を選び、残りの頂点の外角と足してしまう場面です。隣り合う内角との和はどちらも180°になるため、向きの違いが見過ごされがちです。多角形の周りを一方向にたどり、各頂点で進行方向がどれだけ変わるかを見れば、足す角をそろえられます。

ここで扱うのは凸多角形です。どの内角も180°より小さく、辺や対角線で囲まれた形を考えます。折れ込んだ形や星形には、以下の説明をそのまま当てはめません。

何を数え、何を足すか

出方には、頂点の数から内角の和を求める型、内角の和から頂点の数を逆算する型、内角や外角の条件から未知の角を求める型があります。いずれも最初に、辺の数と頂点の数が同じであることを確認します。正多角形では辺の長さも内角もそれぞれ等しいですが、普通の凸多角形では角が等しいとは限りません。

準備として、三角形の内角の和が180°であること、一直線上の隣り合う角の和が180°であることを使います。式だけを覚える前に、三角形が何個できるか、外角をどちら向きに選んだかを図に残します。数え間違いと角の取り違えは別の間違いなので、確かめる場所も分けます。

内角を分け、外角で曲がる

多角形の隣り合わない2頂点を結ぶ線分を対角線といいます。凸多角形の1つの頂点から、隣り合わない頂点へ対角線を引くと、内部が重ならない三角形に分かれます。図1の五角形では、頂点Aから2本の対角線を引くと3個の三角形になります。

図1の各三角形の角を全部足すと、五角形の各頂点の内角を過不足なく合わせたものです。Aでは分かれた3つの角を合わせて元の内角になり、対角線の先でも分かれた角を合わせると元の内角になります。したがって内角の和は180°を3回足した540°です。

一般にn角形で選んだ頂点から結べないのは、その頂点自身と両隣の2頂点です。対角線はn − 3本で、三角形はn − 2個できます。よって内角の和は180° × (n − 2)です。たとえば四角形なら対角線1本で2個の三角形になり、180° × 2 = 360°です。nは3以上の整数であり、図を分割できる凸多角形について考えています。

外角は、1辺を頂点の先へ延長した半直線と、その頂点から出る隣の辺がつくる角です。隣の内角と合わせると一直線の180°になります。多角形の周りを同じ向きに歩くと、各頂点の外角は進む向きを変える角です。一周して元の向きに戻るまで、凸多角形では同じ向きに合計1回転するので、その和は360°です。

この一周の説明は、内角の和からも確かめられます。各頂点で内角と選んだ外角を足すと180°なので、n組の和は180° × nです。そこから内角の和180° × (n − 2)を引くと360°が残ります。各頂点で外角を1個ずつ、周回の向きにそろえることが条件です。辺を延長する側を途中で変えると、曲がる向きの説明がつながりません。

なお、1つの頂点では左右どちらの辺を延長しても、できる2つの小さい外角は対頂角で等しいです。そのため数値の和だけなら取り違えが見えないことがあります。しかし、実際にどちら向きに曲がった角なのかを説明するときは、周回の向きをそろえる必要があります。

基本例題：七角形の内角の和

凸七角形の内角の和を度で求めます。また、1つの頂点から対角線を引いてできる三角形の個数を答えます。

図2のように、Aから隣でない4頂点へ対角線を引きます。Aの両隣へはもともと辺があるので、対角線として数えません。

図2では三角形が5個あります。式でも次のように数えられます。

対角線の本数 = 7 - 3
対角線の本数 = 4
三角形の個数 = 4 + 1
三角形の個数 = 5
内角の和 = 180° × 5
内角の和 = 900°

答えは三角形が5個、内角の和が900°です。確かめとして、七角形の7個の頂点で内角と外角を組にすると合計は1260°です。900°に外角の和360°を足しても1260°になるので、頂点ごとの関係に戻して一致します。

標準例題：和から辺の数へ戻る

ある凸多角形の内角の和は1440°です。何角形か、辺の数を整数で求めます。

内角の和を三角形の個数で割り戻します。1個につき180°なので、1440°に含まれる180°の個数が分割後の個数です。

三角形の個数 = 1440 ÷ 180
三角形の個数 = 8
辺の数 = 8 + 2
辺の数 = 10

答えは十角形です。元に戻すと、1頂点から分けた三角形は10 − 2 = 8個で、内角の和は180° × 8 = 1440°です。8は辺の数ではなく三角形の個数なので、最後に2を足す意味を図と結びつけます。

逆算した三角形の個数が整数にならない場合は、与えられた和を持つ凸多角形はありません。たとえば内角の和が1000°という条件では、1000 ÷ 180は整数ではなく、三角形を整数個に分ける条件に合いません。途中の計算値を無理に丸めて辺の数にしないことが分かれ目です。

発展例題：等しい角と残りの角

凸六角形のうち5つの内角がそれぞれ125°です。残り1つの内角と、その頂点で周回の向きに取った外角をそれぞれ度で求めます。

六角形を1頂点から分けると三角形は4個です。まず内角の和を求め、わかっている5つの和を引きます。

内角の和 = 180° × (6 - 2)
内角の和 = 720°
5つの内角の和 = 125° × 5
5つの内角の和 = 625°
残りの内角 = 720° - 625°
残りの内角 = 95°
外角 = 180° - 95°
外角 = 85°

答えは内角95°、外角85°です。元の条件に戻すと、125°が5つと95°で720°になり、六角形の内角の和に一致します。また、125°に隣り合う外角はそれぞれ55°なので、55° × 5 + 85° = 360°です。求めた外角を含めて一周分に戻せました。

別の道筋では、先に5つの外角55°を出し、360°からその和275°を引いて85°を求めます。さらに180°から85°を引けば内角95°です。どちらの道筋でも、角を5つと残り1つに分ける点は同じです。六角形だから各内角が等しいと決めることはできず、この問題で等しいのは条件で指定された5つです。

計算結果が条件に合うかも確かめます。凸多角形の内角は0°より大きく180°より小さい必要があります。残りの角が180°以上になる条件なら、公式の計算自体はできても、指定された凸多角形は存在しません。数値を出した後に形の条件へ戻ることが欠かせません。

条件を変えたときの見通し

内角の和が大きくなる理由は、辺を1つ増やすと分割後の三角形も1つ増えることにあります。凸五角形の3個と凸六角形の4個を比べれば、和は180°増えます。辺を2つ増やせば三角形が2個増え、内角の和も360°増えます。ただし、これは内角の合計の変化であり、特定の頂点の内角が180°増えるという意味ではありません。個々の角は形によって変わります。

外角の和は辺を増やしても360°のままです。頂点が増えると曲がる回数は増えますが、各回の曲がりを合計した一周分は変わりません。正多角形なら曲がる角が等しいので、頂点の数が増えるにつれて1回の外角は小さくなります。正多角形という条件がない場合は、ある外角が小さくなっても別の外角がどう変わるかは、和だけでは決められません。

式から辺の数を探すときは、答えが3以上の整数になることを確かめます。さらに、角が個別に与えられた問題では、それぞれが凸多角形の内角の範囲に入るかも点検します。和が合うことは必要な確認ですが、与えられた角をその順に並べた図形の存在まで、和の計算だけで必ず示せるわけではありません。計算で必要な条件を確認し、図形があると問題で与えられている場合に角を求めます。

間違いを図に戻す

図3のように、三角形の周りをAからB、C、Aの順にたどります。BではABをBの先まで延ばし、進む向きからBCの向きへ曲がる角を取ります。図3の点線は延長した辺、弧はその曲がる角を示しています。

誤答の例は、半直線BAと半直線BCのなす内角を、Bで進む向きを変える外角として選ぶことです。BAをAの先まで延ばしても頂点はBのままで、進行方向を表すにはABをBの先へ延ばす必要があります。延長する辺の先と、角の頂点を確認し、Bから出る進行方向とBCで角を作り直します。もう一方の辺を延長してBにできる外角は大きさが等しくても、今回の進行方向からの曲がりを表す位置ではありません。

もう1つの誤答は、七角形の内角の和を180° × 7 = 1260°とすることです。7組の内角と外角を合わせた和を、内角だけの和と混同しています。各頂点の組から外角を取り除くと、1260° − 360° = 900°です。あるいは図2の三角形5個を数え直せば、180° × 5に戻れます。

正多角形については、外角が等しいときに360°を頂点の数で割れます。普通の凸多角形で、形が整って見えるからといって各外角を等しいと決めるのは誤りです。和が360°であることと、各角が同じ大きさであることは異なる条件です。

練習：角の条件を読み取る

次の図形はすべて凸多角形です。角は度、辺の数と個数は整数で答えてください。正多角形では各内角が等しいことを使います。

凸八角形を1頂点から三角形に分けます。三角形の個数と内角の和を求めてください。
内角の和が1980°の凸多角形は何角形ですか。
正九角形の1つの外角と1つの内角を求めてください。
凸五角形の4つの内角は順に100°、110°、120°、130°です。残りの内角と、その隣の外角を求めてください。
ある凸多角形の内角の和が1700°であるという条件は成り立ちますか。理由も答えてください。

練習の答えと確かめ

三角形は8 − 2 = 6個、内角の和は180° × 6 = 1080°です。8組の内角と外角の合計1440°から外角の和360°を引いても1080°となり、各頂点の関係に戻ります。
1980 ÷ 180 = 11なので、三角形は11個です。辺の数は11 + 2 = 13で、十三角形です。13 − 2 = 11個に分ければ180° × 11 = 1980°となり、与えられた和に戻ります。
外角の和360°を9等分して、1つの外角は40°です。内角は180° − 40° = 140°です。40° × 9 = 360°、140° × 9 = 1260°であり、内角の和180° × (9 − 2)にも一致します。
五角形の内角の和は180° × 3 = 540°です。与えられた4つの和は100° + 110° + 120° + 130° = 460°なので、残りは80°です。その外角は180° − 80° = 100°です。5つの内角は合計540°、外角は順に80°、70°、60°、50°、100°で、合計360°に戻ります。
成り立ちません。1700 ÷ 180は整数ではなく、内角の和を180°の三角形の整数個分に分けられないからです。辺の数を整数で仮定しても、三角形の個数は辺の数から2を引いた整数となり、1700°には戻りません。

手元に残す要点

凸n角形は1頂点からn − 2個の三角形に分かれます。
内角の和は180° × (n − 2)です。
同じ向きに取る外角の和は360°です。
各頂点の内角と隣の外角の和は180°です。
各角が等しいかどうかは、図の印や問題の条件で判断します。

どこで止まったかを見る

お子さまが式を覚えていても、七角形で三角形を7個と数えるなら、対角線を1本ずつ引き、できた領域に番号を付けて確かめます。式のn − 2が領域の個数を表すと説明できれば、辺の数と混同しにくくなります。

一方、内角の和は出せるのに外角で迷う場合は、頂点に鉛筆を置き、辺の延長と次に進む辺を指でたどります。個別指導では、選んだ角の頂点、隣の内角との180°、一周の向きを順番に言葉にできるかを確かめます。角の大きさだけでなく、どの角を足したかが答えの根拠になります。解いた後には、内角と外角を頂点ごとに組にして、どの組も180°になっているか確認します。組がそろえば、和の式が図のどこを数えているかも説明できます。