高校地学 地球全体の放射収支—球が受け取る面積と放射する面積を分けて式を作る｜武蔵野個別指導塾

受光円盤と球面の面積比から全球平均の日射を求め、アルベドと絶対温度の4乗を使って放射収支を確かめられます。

よくあるのは、高校生が球面全体に同じ強さの日射が当たるとして、受け取るエネルギーを計算する場面です。太陽の方向に向いた部分と夜側を一緒に考えると、面積の選び方が難しくなります。地球を取り囲む境界を決め、そこを出入りするエネルギーを数えれば、受光面と放射面の役割を区別できます。ここでは地球全体の平均的な収支を扱い、場所ごとの地表面の熱収支は計算しません。

問いの形を見抜く

出方の1つは、太陽光を受け止める面積と、宇宙へ放射する面積を選んで式を作る問題です。見かけの円盤の面積は球の表面積とは異なります。昼側の半球の面積を選んでも、斜めに当たる部分の弱まりを無視すると正しく数えられません。図を描いて、光に垂直な面と球面を区別しましょう。

2つ目は、アルベドが変化したときの吸収量や、定常状態での放射量の比を問う形です。反射率が大きくなるほど、同じ入射量から吸収される割合は小さくなります。ただし、割合そのものと残りの割合を逆にすると、変化の向きまで逆になります。

3つ目は、放射の強さが絶対温度の4乗に比例するモデルで、温度の比を求める形です。放射量が2倍なら温度も2倍と考えるのではなく、温度比の4乗が2になるという関係を使います。条件を変えた後にも定常状態が成立するのか、問題文で確かめることが先決です。

円盤で受け、球面から出す

半径をR、太陽光に垂直な単位面積に単位時間に届くエネルギーをSとします。Sの単位はW/m²、面積を掛けた全体のエネルギーの移動率はWです。光線は互いに平行と近似し、地球の大きさの範囲でSは同じとします。これは計算の条件であり、実際の太陽の数値を与えるものではありません。

図1のように太陽の側から見ると、球の影は半径Rの円盤です。平行な光線のうち球に当たるものを、光に垂直な面で数えます。円盤の面積はπ・R²です。昼側には斜めに当たる場所もありますが、そこでは同じ球面の面積に広がる光の量が小さくなります。その角度の効果を合計した結果が円盤の面積に対応します。

図1の受光円盤は実際に地球に貼り付いた面ではなく、入ってくる光を数えるための投影です。一方、宇宙への放射は昼側にも夜側にもあります。単純化して全球で単位面積当たりの放射が同じとするなら、面積は球の表面積4・π・R²です。球面の各地点の入射がSであるという意味ではありません。

アルベドをaとすると、入射した太陽放射のうち反射される割合がa、吸収される割合が1 − aです。aは0以上1以下の無単位の数で、雲や地表などを含む地球全体としての反射率を表します。入射量はS・π・R²、反射量はa・S・π・R²です。したがって吸収量は差を取った(1 − a)・S・π・R²です。反射された分をもう一度吸収量に加えてはいけません。

境界は大気と地表をともに囲み、宇宙との出入りを数えるものとします。大気と地表の間で放射や熱がやり取りされても、境界の内側の移動なので、この全球収支では双方を合計すると相殺されます。吸収が宇宙への放射を上回れば内部のエネルギーは増え、下回れば減ります。一定期間の平均で内部の蓄積が変わらない定常状態なら、吸収と宇宙への放射が等しくなります。

放射のモデルとして、全球一様な絶対温度Tの黒体が単位面積当たりσ・T⁴を放射するとします。σは比例定数で、数値を代入せず比を求めます。このとき定常収支は次の通りです。

吸収量 = 宇宙への放射量
(1 - a)・S・π・R² = 4・π・R²・σ・T⁴
(1 - a)・S/4 = σ・T⁴

最後の式の左辺は全球の球面積で割った平均吸収量です。S/4という係数は昼夜と入射角を含めた面積の換算から生じます。Tはこの単純な放射モデルの温度であり、実際の地表の平均温度と同一と決めることはできません。大気の吸収や放射、場所による温度差を一様な黒体に置き換えているためです。

基本例題：反射と吸収を分ける

練習用モデルとして、球に届くSを400 W/m²、アルベドを0.20とします。入射光は平行で、宇宙への放射は全球で一様、定常状態です。全球の単位面積当たりの平均入射、平均反射、平均吸収、平均放射をそれぞれ整数で求めてください。単位はW/m²です。

図2のように、最初に円盤で受けた量を球面全体で平均します。受光円盤と球面の比は1対4なので、全球平均の入射は400/4です。反射と吸収は、この平均入射にそれぞれの割合を掛けます。

平均入射 = 400/4 = 100 W/m²
平均反射 = 100・0.20 = 20 W/m²
吸収割合 = 1 - 0.20 = 0.80
平均吸収 = 100・0.80 = 80 W/m²
平均放射 = 平均吸収 = 80 W/m²

反射20と吸収80を足すと入射100に戻ります。地球全体の境界では、入射100に対して外へ出る反射20と放射80の合計も100です。図2の矢印もこの2つの集計を示します。放射80を反射20に加えるときは、両者が異なる種類の放射として境界を外向きに通過することに注意します。

別の解き方は、最初に円盤全体の吸収量を作り、最後に球面積で割る方法です。吸収量は0.80・400・π・R² Wです。これを4・π・R²で割れば80 W/m²になり、同じ答えに戻ります。Rを指定しなくても平均量は求まりますが、地球全体の総量をWで求めるなら面積を数値で表すためのRが必要です。

標準例題：反射率を変えた2つの状態

別の練習用モデルで、同じSとRを持つ球A、Bを考えます。Aのアルベドは0.25、Bは0.40です。どちらも定常状態とします。Bの全球平均吸収量はAの何倍ですか。比は小数第2位まで求め、宇宙への放射量の比も答えてください。

Aの吸収割合は1 − 0.25で0.75、Bは1 − 0.40で0.60です。共通の入射量で割って比をとると、面積もSも消えます。

Bの吸収量/Aの吸収量 = 0.60/0.75
= 0.80

したがって吸収量は0.80倍です。両方が定常状態なので、それぞれの吸収量と宇宙への放射量は等しく、放射量も0.80倍です。逆にAの吸収量を0.75単位、Bを0.60単位と置けば、0.75・0.80が0.60に戻ります。入射1単位について反射と吸収もAでは0.25 + 0.75、Bでは0.40 + 0.60で、ともに1です。

もしBが変化の途中で熱を蓄えているなら、吸収量と放射量の比がその瞬間に同じとは限りません。吸収量の比は与えられた反射率から出せても、放射量の比には蓄積の情報が必要です。定常という条件を消しても答えを変えない答案は、この分岐を見落としています。

発展例題：4乗の関係を使う

練習用の黒体モデルで、同じ半径とアルベドを持つ球CとDを考えます。両方が一様な絶対温度で定常状態にあり、DのSはCの16倍です。Dの温度はCの何倍ですか。倍率は整数で答えてください。σは両方に共通です。

吸収量はSに比例するので、Dの放射量もCの16倍です。面積とσが共通のため、温度比をxと置くと次の関係になります。

Dの放射量/Cの放射量 = x⁴
x⁴ = 16
x = 2

絶対温度は正として2倍を選びます。確かめると、温度を2倍にしたとき単位面積当たりの放射は2⁴で16倍になり、16倍の吸収に一致します。16倍の光を受けるから温度も16倍とすると、放射は16⁴倍になり、定常収支に戻りません。摂氏温度の値をそのまま2倍してはいけません。4乗則に用いるのは絶対温度です。

グラフで考える別解もあります。横軸を絶対温度、縦軸を単位面積当たりの放射量とした曲線は、温度が上がるにつれ上向きに急になります。同じ曲線上で横座標を2倍にすると縦座標は16倍です。ただし傾きが一定の直線ではないため、放射量の差と温度差を単純に比例させる読み方は使えません。黒体でなくても同じ放射率が両状態に共通なら比で消えますが、放射率も変化する場合はこの結論をそのまま使えません。

誤答を境界から直す

誤答の例は、基本例題で入射を400 W/m²のまま全球平均とし、吸収を320 W/m²とするものです。原因は、光に垂直な面の強さを球面の各地点に適用したことです。図3のように受光円盤と全球の面積を別に書けば、入射の全球平均は400/4の100 W/m²と直せます。反射20、吸収80となり、定常なら放射も80です。

図3で4を掛ける面積は放射する球面の面積であって、受け取る円盤の面積ではありません。昼側半球の面積を使って400/2とする誤りも、斜めの日射の弱まりを落としています。昼側平均を求める場合と全球平均を求める場合では分母が違い、しかも昼側の各点が同じ強さで照らされるわけではありません。

もう1つの誤答は、アルベド0.20を吸収割合として20 W/m²を放射量にするものです。反射と吸収を足して入射に戻す検査で、言葉と数の対応を確かめます。温度の問題で4乗を外すときも、得られた温度を4乗して元の放射量の比に戻せば誤りが見えます。検算は数字をもう一度操作するだけでなく、境界を通る量を入出別に再集計します。

測定とモデルの距離

全球平均の推定を設計するときは、入射、反射、外向きの赤外放射を同じ地球全体の境界で比較し、時間と対象領域をそろえます。ある地点の昼の測定値を全球の平均とすることはできません。緯度、昼夜、季節で分布が変わるので、観測範囲と期間の違いが偏りを生みます。

測定器の校正誤差や雲などによる観測の偏りは、入射と出射の小さな差を読む際に影響します。複数の時刻と領域の資料を同じ方法で集計し、面積の重みを考えて平均する必要があります。日射には直達日射と散乱日射があり、地表で測る下向き赤外放射も別の量です。地表の一地点で測った値を、宇宙へ出る全球平均の放射にそのまま代入しないようにします。

計算モデルでは平行光線、一様な温度、一定のアルベドを仮定しました。実際の分布を単一の温度で置き換えると、放射が温度の4乗に依存するため、平均温度から計算した値と個々の放射を平均した値は一般に一致しません。測定誤差とモデルの近似は別の原因として検討します。

練習問題

次の数値はすべて練習用の条件です。球に当たる光は平行とします。数値の答えには指定された単位と桁を付けてください。

1. Sが600 W/m²、アルベドが0.30の球で、全球平均の入射、反射、吸収を整数のW/m²で求めてください。
2. 同じSと半径の球E、Fのアルベドがそれぞれ0.10、0.55です。Fの吸収量はEの何倍ですか。小数第2位まで答えてください。
3. 全球平均入射が120 W/m²、平均反射が48 W/m²です。アルベドと平均吸収を求め、吸収は整数のW/m²で答えてください。
4. 定常の一様な黒体で、同じ半径の2状態を比べます。吸収量が81倍になったとき、絶対温度は何倍ですか。整数で答えてください。
5. 全球平均入射が200 W/m²、反射が50 W/m²、宇宙への赤外放射が140 W/m²です。内部エネルギーの変化を、全球平均で整数のW/m²と増減の向きで答えてください。

練習の答えと確かめ

1. 全球平均入射は600/4で150 W/m²です。反射は150・0.30で45 W/m²、吸収は150・(1 − 0.30)で105 W/m²です。45 + 105は150に戻り、元の600 W/m²に対する球面平均は150・4で確かめられます。

2. Eの吸収割合は0.90、Fは0.45です。共通の入射量を消して0.45/0.90を計算すると0.50倍です。Eの吸収0.90に0.50を掛けるとFの0.45に戻り、それぞれ反射割合と加えると1です。

3. アルベドは48/120で0.40です。平均吸収は120 − 48で72 W/m²です。120・0.40は48、120・0.60は72なので、反射と吸収を足すと元の入射に戻ります。

4. 温度比をyとすると、y⁴ = 81です。正の絶対温度を用いるのでyは3、答えは3倍です。3⁴は81で、元の吸収量の比と一致します。半径が同じで放射面積が変わらないことも必要です。

5. 吸収は200 − 50で150 W/m²です。吸収150から赤外放射140を引くと10 W/m²なので、内部エネルギーは増加します。境界全体で見ると、入射200に対し外向きは反射50と赤外放射140で合計190 W/m²です。差の10 W/m²が内部の増加に対応し、定常ではありません。

要点

受光面積はπ・R²、全球の面積は4・π・R²です。 吸収割合は1 − アルベドです。 定常では全球の吸収と宇宙への放射が等しくなります。 黒体の放射は絶対温度の4乗に比例します。

答案のどこを見るか

個別指導で確認するときは、まず式の左辺が何を通る量で、右辺が何を通る量かを口に出して説明できるかを見ます。図に境界を描き、円盤にSを掛けた後で球面積によって割れていれば、面積の意味を使えています。反射率を使った行には反射と吸収のどちらを書いたかを添えると、引き算の向きも点検できます。

定常を示す語がないまま入出を等号で結んだ答案では、蓄積がある場合を問い返します。温度比の答案では絶対温度という条件と4乗して元の比に戻る計算を確認します。球の見かけの面と表面を使い分けると、地球全体の放射収支を一つの式で追えます。