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高校地学走時からの震源推定—到着時刻の差から発震時刻と距離を戻す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.13武蔵野個別指導塾の特徴地学を掘り下げる固体地球

P波とS波の到着差から震源距離を逆算し、発震時刻を戻して複数地点の記録との整合を確かめます。

よくあるのは、地震計の時計に表示された到着時刻を、そのまま波が伝わった時間として速度に掛ける場面です。時計の読みには、地震が起きるまでの時間も含まれます。発震時刻が未知なら、まず同じ時計で読んだP波とS波の差を使い、その後で発震時刻を戻します。計算が合っていても、得られた距離が地表上の距離なのか、震源までの距離なのかを取り違えると、震源の位置は違ってしまいます。

要点（結論から）

到着時刻は発震時刻と走時の和です。
P-S時間を逆数の速度差で割ると、モデル内の震源距離が出ます。
距離から両走時を求め、発震時刻と両到着時刻へ戻します。

到着の記録から何を取り出すか

問題の形には、同じ地点のP波とS波の到着差から距離を求める型、距離と到着時刻から発震時刻を求める型、複数地点の記録が一つの地震と速度モデルに整合するかを判定する型があります。どれも、波が出発してから到着するまでの時間と、時計の表示時刻を分けるところから始まります。

ここでは震源を点とし、均質な媒質の中をP波とS波がそれぞれ一定の速さで直線的に進むモデルを使います。両方が同じ発震時刻に出発し、同じ地点まで同じ距離を進むとします。実際の地球では速度が場所によって変わり、経路も屈折しうるので、このモデルで得た値は条件付きの推定です。

P波は縦波、S波は横波です。このモデルではP波がS波より速く、同じ距離ならP波が先に着きます。先に着いた時刻と後に着いた時刻の差を初期微動継続時間、またはP-S時間と呼びます。速さの大小が違えば、同じ道のりでも所要時間に差が生まれることが、距離を戻す根拠です。

時計と走時を分ける

図1のように、発震時刻から各到着時刻までが走時です。P-S時間は2つの到着時刻の差なので、共通の発震時刻が消えます。図は時間の順序を示す模式図で、長さは特定の観測値を表しません。

発震時刻を t₀、P波とS波の到着時刻をそれぞれ tₚ、tₛ、震源距離を r、速さを vₚ、vₛ とします。時刻は同じ基準から秒に換算し、vₚ > vₛ > 0 とします。走時は距離を速さで割ったものなので、次の関係です。

tₚ = t₀ + r/vₚ
tₛ = t₀ + r/vₛ
tₛ - tₚ = r・(1/vₛ - 1/vₚ)
r = (tₛ - tₚ)/(1/vₛ - 1/vₚ)

分母は速さの差そのものではなく、距離あたりの走時の差です。例えば単位をkmとsにそろえれば、1/v はs/km、P-S時間はsなので、割った結果はkmになります。分母が正になるのはP波の方が速いという条件によります。両速度が等しければ到着差は距離によらず0となり、この差から距離を逆算できません。

r を求めたら、t₀ = tₚ − r/vₚ、または t₀ = tₛ − r/vₛ です。両方で同じ時刻に戻ることは計算の点検になります。ただし、同じ差を使って導いた距離では両式が一致するように作られているため、それだけで速度モデルが現実に正しいと証明したことにはなりません。

震源距離は地下の震源から観測点までの距離です。震央は震源の真上の地表の点で、震央距離は震央から観測点までの地表上の距離です。平らな地表と直線距離を仮定した局所的な断面では、深さ h、震央距離 x と震源距離 r は r² = x² + h² の関係です。h が正なら x は r より短くなります。地表の曲率や複雑な経路を無視できない場合、この直角三角形をそのまま使えません。

距離がわかっても、1地点から震源の向きは決まりません。複数地点の距離をそれぞれの観測点を中心とする球面の条件として組み合わせ、地下という条件も含めて候補を絞ります。地表に描いた円は一定の深さを別に仮定した場合の断面であり、震源距離をそのまま円の半径にした図は一般には正しくありません。

基本例題：差から距離を戻す

次の数値は計算のための自作の仮定です。均質な媒質で、P波の速さを 6 km/s、S波の速さを 3 km/s とします。同じ時計で、P波は 10時00分24秒、S波は 10時00分30秒に到着しました。震源距離を整数のkmで、発震時刻を時・分・秒で求め、両到着時刻を再現してください。

図2は到着時刻の差と、求めた後の走時の関係です。横軸は10時00分00秒からの経過秒であり、時計表示そのものを走時として扱いません。

まず同じ基準から秒を数えると、P波は24秒、S波は30秒です。差は 30 − 24 = 6 s です。発震時刻を t₀ 秒、距離を r km として、到着の式を引き算します。

24 = t₀ + r/6
30 = t₀ + r/3
6 = r/3 - r/6
6 = r/6
r = 36

震源距離は 36 km です。P波の走時は 36/6 = 6 s、S波の走時は 36/3 = 12 s です。P波の到着から6秒戻ると、発震時刻は10時00分18秒です。S波の到着から12秒戻しても同じ時刻です。

元の場面に戻すと、18秒に6秒を足して24秒、18秒に12秒を足して30秒になります。距離と時刻の両方を使って、問題に与えられた2つの到着時刻が再現されました。到着差の6秒だけが再現できても、発震時刻を誤っていれば両方の時計表示には戻りません。

地点を増やして条件を照合する

標準例題です。P波の速さを 8 km/s、S波の速さを 4 km/s とする均質モデルを考えます。自作記録では、地点AのP波到着は基準時刻から15秒後、S波到着は20秒後です。地点BはP波到着が20秒後、S波到着が30秒後です。各地点の震源距離を整数のkmで求め、同じ発震時刻と整合するか判定してください。

Aの差は5 sです。1 kmあたりの走時差は 1/4 − 1/8 = 1/8 s/km なので、距離は 5/(1/8) = 40 km です。P波の走時は5 s、S波の走時は10 sで、発震は基準時刻から10秒後と出ます。Bの差は10 s、距離は80 kmです。P波の走時は10 s、S波の走時は20 sで、やはり発震は10秒後です。

検算では、発震10秒後にAの走時5秒と10秒を加えて15秒と20秒、Bの走時10秒と20秒を加えて20秒と30秒になります。時刻は共通です。ただし、実際に一つの震源が存在するには、地点の配置と2つの距離が幾何学的にも両立する必要があります。時刻が合うことは必要な照合ですが、それだけで位置の存在や一意性までは決まりません。

別解では、各地点でS波の走時がP波の走時の2倍になることを使えます。Aは差5秒がP波走時に等しく、Bは差10秒がP波走時に等しいので、P波速度を掛けて距離を求めます。この近道は速度比が2の場合に限ります。一般の速度に対して常に差をP波走時とみなしてはいけません。

発展例題です。平らな地表の地点Cから震源までの直線距離が 25 km、震源の深さが 15 km と仮定します。震央距離を整数のkmで求め、距離に戻して確かめてください。直角三角形より x² = 25² − 15² = 400 です。距離は負にならないので x = 20 km です。20² + 15² = 25² となり、直線距離25 kmに戻ります。深さが未知なら、震源距離25 kmだけから震央距離20 kmとは決められません。

誤答を時刻の線に戻す

図3のように、基本例題のP波到着24秒に速さ6 km/sを掛けて144 kmとする答案を考えます。24秒は基準時刻から到着までの時間で、地震が起きる前の18秒も含みます。距離に掛けるべき時間は発震から到着までの6秒です。

修正するときは、まずP波とS波の差を取り、両速度から距離を計算します。その距離を速度で割って走時を出し、到着時刻から引いて発震時刻を求めます。144 kmとするとP波走時は24秒で発震は基準時刻、S波走時は48秒で到着は48秒後です。与えられた30秒後には戻らないため、誤りが見えます。

もう一つの誤りは、P-S時間に速度差を掛けることです。速度差は同じ時刻に進む距離の差に関する量ですが、観測したP-S時間は同じ距離を進む所要時間の差です。比較の条件が異なります。距離を共通にして各走時を引く式を書けば、逆数の差が必要だとわかります。

S波がP波より先に記録された場合も、負の距離をそのまま答えにしません。波の読み違い、時計のずれ、別の波を拾った可能性やモデルの条件を調べます。片方の到着が読み取れない場合は差が作れず、この方法だけでは距離を決められません。数値を補って計算するより、何が不足しているかを明示します。

自作の記録で練習する

以下はすべて一定速度・均質媒質の自作データです。時計は同期し、P波とS波は同時に出発し、同じ直線距離を進むものとします。距離は整数km、時刻は秒で答え、割り切れる値は整数で表してください。

P波が 10 km/s、S波が 5 km/s です。基準時刻からP波が17秒後、S波が24秒後に到着しました。震源距離と発震時刻を求め、到着の両時刻を再現してください。
P波が 9 km/s、S波が 3 km/s、震源距離が 54 km、発震が基準時刻から4秒後です。両波の到着時刻とP-S時間を求めてください。
ある地点でP波が基準時刻から12秒後、S波が18秒後です。速さはP波 4 km/s、S波 2 km/s です。発震時刻と距離を求め、両到着時刻を再現してください。
平らな地表を仮定し、震源距離 13 km、深さ 5 km のときの震央距離を求め、震源距離に戻してください。
P波 8 km/s、S波 4 km/s のモデルで、地点DのP波・S波はそれぞれ基準時刻から13秒後・16秒後、地点Eでは18秒後・25秒後に到着しました。同じ発震時刻と整合するか、各地点での距離と発震時刻を根拠に判定してください。

解答と点検

差は7 s、逆数の差は 1/5 − 1/10 = 1/10 s/km です。距離は70 km、P波走時は7 s、S波走時は14 sです。発震は10秒後で、10 + 7 = 17、10 + 14 = 24 と両記録に戻ります。
P波走時は 54/9 = 6 s、S波走時は 54/3 = 18 s です。到着はそれぞれ10秒後、22秒後、差は12 sです。発震4秒後に走時を足すと両時刻になり、各走時に速さを掛けると54 kmに戻ります。
差は6 s、逆数の差は 1/2 − 1/4 = 1/4 s/km です。距離は24 km、走時はP波6 s、S波12 sです。発震は6秒後で、6 + 6 = 12、6 + 12 = 18 と戻ります。
震央距離を x km とすると x² = 13² − 5² = 144 です。x は距離なので12 kmです。12² + 5² = 13² が成り立ち、震源距離に戻ります。
Dの差は3 s、距離は24 km、走時は3 sと6 sなので発震は10秒後です。Eの差は7 s、距離は56 km、走時は7 sと14 sなので発震は11秒後です。発震時刻が一致しないため、示された条件のまま同じ地震とは整合しません。Dでは10 + 3 = 13、10 + 6 = 16、Eでは11 + 7 = 18、11 + 14 = 25 と各記録には戻ります。読み取り誤差などを別に与えれば評価は変わりえますが、この問題では許容誤差を与えていません。

記録の設計と読み取りの限界

観測点を複数置くなら、一方向に偏らず震源候補を囲む配置を考えます。時刻を共通の基準にそろえ、各波の到着の読み取りにどの程度の幅があるかも記録します。P波とS波の差が小さいとき、到着の読み取りのわずかなずれが距離の割合として大きく響きます。同じ地点の時計に共通する一定のずれは差では消えますが、推定した発震時刻には残ります。地点ごとの時計のずれは、複数地点の発震時刻の比較を乱します。

横軸を震源距離、縦軸を発震からの走時としたグラフでは、一定速度の直線の傾きが 1/v です。遅いS波の直線の方が急で、同じ横座標での縦の差がP-S時間です。縦軸が時計表示なら切片は発震時刻で、走時を描いた場合の原点とは異なります。到着時刻を縦軸にした資料では、軸の基準と単位を見てから傾きや切片を読みます。

観測値が式に合わないときは、最初から異常な震源を断定せず、読み取りや時計、波の種類、速度の一定という仮定を順に点検します。層構造で経路が曲がれば、直線距離を一定速度で割る式は一般に成り立ちません。観測の不一致は条件を見直す手掛かりであり、その原因を単独で確定する証拠ではありません。