中2数学 平行線と角—錯角と同位角の位置を示して平行の条件まで使う｜武蔵野個別指導塾

錯角と同位角の位置を整理し、平行線の性質を使う計算と、角の等しさから平行を導く判断の違いを確かめられます。

よくあるのは、見た目が平行な線から錯角が等しいとする場面です。図に2本の線が並んでいると、つい同じ傾きだと受け取ってしまいます。しかし、問題の条件に平行という情報がなければ、わずかな傾きの違いを図から読み取ることはできません。どの角を比べ、何を根拠に等しいといえるかを一つずつ追ってみましょう。

平行線と角は、図形の論証につながる中2の学習範囲です。ここでは対頂角、同位角、錯角を使い、平行線の性質とその逆を区別します。角度を出すことと、線が平行だと判断することでは、出発点が入れ替わります。

角度を求める問題と平行を判断する問題

出方の1つは、平行な2直線を横切る直線があるとき、与えられた角から別の角を求める問題です。もう1つは、2つの角が等しいという条件から、2直線が平行かどうかを判断する問題です。さらに、折れ曲がった線に補助平行線を引き、複数の角をつなぐ問題もあります。

どの場合も、まず使う直線を選びます。2本を横切る直線がどれかを押さえ、注目する角の頂点がどこにあるかを見ます。交点が同じか別かで使う言葉が変わるためです。また、一直線上に隣り合う角の和が180°であることも使います。

計算が合ったとしても、平行の条件が与えられていなければ、その線に平行線の性質を使う道筋は完成しません。反対に、角が等しいという情報があっても、その角が同位角か錯角でなければ、直ちに平行とはいえません。条件と結論を短い矢印で整理すると、方向を取り違えにくくなります。

交点と角の位置を読む

2直線が交わるとき、向かい合う角を対頂角といいます。対頂角は等しくなります。隣り合う2つの角は合わせて180°なので、向かい合う2つの角はそれぞれ同じ角を180°から引いたものになるからです。この性質には2直線が平行であるという条件は要りません。

2本の直線に別の1直線が交わる場合、2つの交点それぞれに4つの角ができます。横切る直線を基準に、2つの交点で同じ側にあり、2本の直線についても同じ側にある角の組を同位角といいます。2本の直線の間にあり、横切る直線の反対側にある角の組を錯角といいます。

図1のように、上の交点の右上の角をアとします。下の交点の右上の角イはアと同位角です。上の交点の右下の角ウと、下の交点の左上の角エは錯角です。アとエは同じ交点ではないので、対頂角ではありません。名前は角の大きさではなく位置で決まります。

2直線が平行なら、同位角は等しく、錯角も等しくなります。錯角の関係は、同位角の関係と対頂角の等しさをつなげても説明できます。たとえば図1では、ウの対頂角とエが同位角なので、平行ならウとエも等しくなります。

逆に、1本の直線が2直線と交わり、その同位角が等しければ、2直線は平行です。錯角が等しい場合も平行です。これは平行線の性質を逆向きにした判断であり、平行を最初から仮定しているわけではありません。平行かどうか不明な図でも、指定された角の位置と等しさが確認できれば使えます。

見た目で等しそうな角や、別々の直線を横切ってできた角を、同位角や錯角と呼ぶことはできません。2本の直線と、それを共通に横切る1本の直線を指でたどり、各角の辺がその3本のどれに乗るかを確かめます。角度が書いてあっても、この位置の確認は省けません。

基本例題：平行という条件から角を移す

直線 l と m は平行で、直線 t が両方と交わっています。上の交点の右上の角が68°です。下の交点の右下の角を x とします。x を度数で求め、根拠を述べてください。

図2のように、まず下の交点の右上の角を y とおきます。68°の角と y は同位角です。l と m は平行なので、同位角が等しいことから次のようになります。

y = 68°
x + y = 180°
x = 180° - 68°
x = 112°

2行目は、x と y が一直線上に隣り合う角だからです。答えは112°です。元の図に戻すと、下の右上が68°、右下が112°で和は180°です。上と下の右上もともに68°なので、与えられた平行の条件とも矛盾しません。

別の道筋として、上の交点の右下を先に求めてもかまいません。68°と一直線上に隣り合うため112°であり、それと x は同位角です。どちらの方法でも、平行線の性質を使った場所と、一直線の角を使った場所を区別して書けます。

一方、l と m が平行だという条件を削ると、上の68°だけから下の角は決まりません。下の直線の傾きを変えると x も変えられるからです。図が似ていても条件が欠けると計算を先へ進められない、という違いがあります。

標準例題：等しい角から平行を導く

直線 p と q に直線 r が交わります。上の交点では右上の角が124°、下の交点では左上の角が56°です。p と q は平行ですか。判断と理由を述べてください。

上の交点の右下の角を a とすると、右上の角と一直線を作るので、

a + 124° = 180°
a = 180° - 124°
a = 56°

上の右下の角 a と下の左上の角は錯角です。両方が56°なので、錯角が等しいことから p と q は平行です。上の右上の角と下の左上の角をそのまま錯角と呼ばない点に注意します。最初の2角は和が180°ですが、平行を導く際には角を一度求め、錯角の等しさに直しました。

検算として、上の右上は124°、上の右下は56°で和が180°です。下の左上は条件どおり56°ですから、比較した錯角の値も一致します。逆を使う前に平行と決めていないか、説明の順も見直します。

もし下の左上が55°という条件に変われば、錯角は56°と55°で等しくありません。この組について、平行なら錯角が等しいはずなので、p と q は平行ではありません。平行を示せないというだけでなく、条件から平行でないと判断できます。対照的に、角の大きさが下側で与えられない場合は、平行かどうかを決める情報が足りません。

発展例題：折れ点に補助平行線を引く

上下に平行な直線 l、m があり、その間に点 P があります。l 上の点 A から P へ、P から m 上の点 B へ線分を引きます。A、B はともに P より左にあり、A は P より上、B は P より下にあります。A で、左向きの l の半直線と AP のなす角は145°です。B で、左向きの m の半直線と BP のなす角は150°です。左側に開く角 APB を度数で求めてください。

点 P を通り、l に平行な直線 n を引きます。l と m は平行なので、n も m に平行です。n の左向きの半直線と PA の角を u、同じ半直線と PB の角を v とします。補助線は P を通ると指定し、どの線に平行かを明記して初めて使えます。

A において、右向きの l の半直線と AP の角は、一直線の角から次のように求まります。

180° - 145° = 35°
u = 35°

l と n は平行で、AP を横切る直線として見れば、この35°と u は錯角です。B でも、右向きの m の半直線と BP の角は30°です。m と n は平行なので、その角と v は錯角です。

180° - 150° = 30°
v = 30°
角APB = u + v
角APB = 35° + 30°
角APB = 65°

答えは65°です。確認すると、A では145°と35°、B では150°と30°がそれぞれ一直線の180°に戻ります。P の左向きの半直線は PA と PB の間にあるので、P の角は35°と30°の和です。位置の条件が変われば、同じ和をそのまま使えるとは限りません。

補助線を引かず、A と B の角を足して直接答えにする方法は使えません。145°と150°はそれぞれ外側に取った角で、P の角を分けていないからです。補助線を挟むと、平行線の錯角として角を移し、その後に P の内部で足せます。線を引く目的は、離れた角を同じ頂点に集めることです。

誤答を手がかりに線と角をたどる

図3のように、2本の線が平行だと書かれていない図で、上の右上が70°だから下の右上も70°だとするのは誤りです。2つは同位角ですが、同位角という名前だけでは等しさは決まりません。図の下の右上は60°で、平行でない例になっています。上の線と横切る線を固定したまま下の線を回せば、その角の大きさは変わります。

原因は、同位角という位置の名前と、平行線なら同位角が等しいという性質を混同することです。修正するときは「どの2直線が平行か」と条件を探します。条件がなければ、同位角だと述べるところで止め、角度は決まらないと答えます。もし同位角が等しいという追加条件が与えられたら、今度は逆を使って2直線が平行といえます。

別の誤りは、同じ交点の対頂角が等しいことから、離れた2直線も平行とすることです。対頂角は交わる2直線に常に現れるため、その等しさだけでは別の直線の向きは制限されません。たとえば交点が1つしか示されていない状況で、そこから離れた直線を少し回しても、元の対頂角は等しいままです。

この誤りの修正では、平行にしたい2直線と、それらを横切る共通の直線を指定します。次に、異なる交点にある同位角または錯角を選び、その等しさが条件や計算から得られるかを確かめます。角が等しいという事実だけを集めるのではなく、結論に必要な位置関係まで確かめることが必要です。

また、平行を証明する途中で「平行だから錯角が等しい」と書くと、示すべき結論を先に使ってしまいます。既に与えられた別の平行線があるなら、それを明示して使うことはできます。仮定の線と、これから平行と示す線を記号で区別すると、説明の循環を防げます。

練習：条件と結論を分けて書く

各問の角度は度数で答え、判断には理由を添えてください。上下や左右は、交点の周りの位置を表します。

1. 平行な2直線を1直線が横切ります。上の交点の左上が47°です。下の交点の左上の角と右下の角を求めてください。
2. 2直線を1直線が横切り、上の交点の左下が83°、下の交点の右上が83°です。2直線は平行ですか。
3. 2直線を1直線が横切り、上の交点の右上が116°、下の交点の左上が63°です。2直線は平行ですか。
4. 上下の平行な2直線の間に点 Q があり、上の線上の C と下の線上の D は Q より左にあります。C は Q より上、D は Q より下です。C で左向きの上の直線と CQ のなす角が138°、D で左向きの下の直線と DQ のなす角が157°です。左側に開く角 CQD を求めてください。
5. 2直線を1直線が横切ります。上の交点の右上が72°という条件だけがあります。下の交点の右上の角は決まりますか。決まるかどうかと理由を述べてください。

練習の答えと確かめ

1. 下の左上は47°、右下も47°です。平行線の同位角より下の左上は上の左上と等しく、下の右下はその対頂角です。下の残る隣の角は133°で、47°との和は180°です。上と下の同位角も47°で一致します。

2. 平行です。上の左下と下の右上は錯角で、83°ずつと等しいため、錯角が等しければ2直線は平行という条件を使えます。両交点でこれらに隣り合う角は97°となり、同位角も対応して等しくなります。角の等しさから平行を導いた順序です。

3. 平行ではありません。上の右下は180° − 116° = 64°です。これは下の左上63°と錯角ですが、等しくありません。平行なら錯角は等しいはずなので、平行ではありません。64°と116°の和は180°で、計算を上の条件に戻して確認できます。

4. 65°です。Q を通って上下の直線に平行な線を引くと、左向きの半直線が角 CQD を2つに分けます。錯角を使うと上側は180° − 138° = 42°、下側は180° − 157° = 23°です。42° + 23° = 65°となります。42°と138°、23°と157°はそれぞれ和が180°となり、元の条件に戻ります。

5. 決まりません。同位角という位置にはありますが、2直線が平行とは与えられていません。下の直線の向きを変えれば下の右上の角は変わり、上の72°はそのままです。たとえば下の右上を72°にする場合と、それより小さい角にする場合の両方が条件に合います。下の角も72°と指定された場合には、同位角が等しいので平行と判断できます。

手元に残す要点

対頂角は同じ交点で向かい合い、常に等しくなります。
同位角と錯角は2つの交点での位置を表します。
平行なら同位角と錯角はそれぞれ等しくなります。
同位角または錯角が等しければ、2直線は平行です。
補助平行線を引いたら、その線と角の位置を明記します。

説明が止まる場所を見つける

お子さまが答えを出せたときも、角を移した箇所を指して、どの2直線が平行で、横切る直線がどれかを尋ねてみてください。線を指定できなければ、同位角や錯角という名前を覚えていても、その場で適用できる条件があいまいかもしれません。位置を言えるのに平行の条件を言えない場合は、条件がない図を描き比べると違いが見えます。

個別指導で確かめるなら、まず角の印を付けてもらい、次に「平行だから等しい」か「等しいから平行」かを声に出してもらいます。補助線の問題では、何に平行な線をどこに引いたか、その線が角をどう分けたかも確認します。誤った答えを消す前に、どの行で条件を使ったつもりだったかを見れば、位置の読み違いと論理の逆向きを分けて直せます。角の名前と平行の根拠がつながると、図から説明への道筋が見えてきます。