数検準2級 場合の数の数え上げ—重なりと漏れを表で確かめて和と積を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

条件の重なりを4区分の表に置き、次の選択肢が変わるカードの問題は枝ごとに数えて、和と積を使い分けます。

よくあるのは、受験者が2つの条件に合うものをそれぞれ数え、その個数をそのまま足す場面です。両方に当てはまるものがあると、それは2回数えられます。計算の前に、何を1通りとするかを書き出し、同じものがどこに入るかを見ましょう。表で位置を決めれば、重なりも数え漏れも見つけやすくなります。

どんな分け方を問われるか

場合の数は、条件を満たす結果が何通りあるかを数えるものです。対象が同じか異なるか、選ぶ順序を区別するかを問題文から決めます。たとえば同じ色の札でも番号が違えば別の札です。一方、2枚を組として選ぶときは、取り出した順を区別するという指定がなければ、逆順は同じ組です。

出方には、条件のどちらかを満たす対象を数える型、続けて行う選択の組を数える型、途中の選択で次の候補が変わる型があります。前者は重なりの有無を調べ、後の2つは各段階の選択肢を調べます。式に足し算か掛け算を置く前に、1つの結果がどの道筋で数えられるかを確かめることが共通の手順です。

ここでは和の法則、積の法則、樹形図を使います。複雑な並べ方の公式を覚えることより、小さい例を書き出して式の意味を説明することに焦点を当てます。数え方に迷うときは、答えを急がず、結果を表す記号を決めるところから始めます。

分けて足す、続けて掛ける

重ならないいくつかのグループに結果を分け、各グループの個数を足すのが和の法則です。たとえば行き先が公園または図書室で、両方に行くことはないなら、行き先ごとに分けられます。それぞれの結果がどちらか一方に入り、入らない結果もないことが必要です。条件を「または」で結んでも、グループが自動的に重ならなくなるわけではありません。

重なりがある2つの条件では、両方に入る部分を一度引きます。最初の足し算では、片方だけを満たすものは1回、両方を満たすものは2回数えます。共通部分を1回引けば、それぞれが1回ずつ残ります。どちらにも入らないものは数えません。「どちらか」は、ここでは両方を満たす場合も含む意味です。

図1のように、2つの条件を満たすかどうかで表を4つに区切れます。条件Aだけ、条件Bだけ、両方、どちらでもない、という4区分は互いに重なりません。条件AまたはBなら、最後の区分以外の3区分を足す方法もあります。共通部分を引く式と同じ結果になるか、表で確かめられます。

積の法則は、先の選択のそれぞれに対して、次の選択肢が同じ個数あるときに使います。たとえば上着を2種類、帽子を3種類から1つずつ選ぶなら、上着の各選択に帽子の3通りが対応するので、2 × 3 = 6通りです。上着と帽子の組を1通りとし、同じ組が別の道筋で数えられないことも確かめます。

樹形図は、選択の順に枝を伸ばす図です。根元から末端までの1本の道筋が1つの結果に対応するように描きます。各枝から出る次の枝の数が同じなら掛け算でまとめられます。枝の数が異なるなら、途中で分けて各グループを数え、最後に足します。候補がなくなる枝はそこで止まり、完成した結果として数えません。

表と樹形図の使い分け

表は、1つの対象に対して複数の条件が成り立つかを調べるときに役立ちます。各行や各列に条件を置き、対象を該当する1つのマスに入れます。記入した後は、マスの個数の合計が元の対象の個数に一致するかを確認します。一致しなければ、どこかで書き忘れたか、同じ対象を複数のマスに置いた可能性があります。合計が一致していても両方の誤りが打ち消し合うことがあるので、番号も照合します。重なりがない配置を確かめることが大切です。

樹形図は、選択を順に進める場面に向いています。途中の枝にはまだ完成していない選択が、末端には完成した結果が対応します。途中で条件を満たせなくなった枝は、その先に完成した結果を作れません。枝の本数を途中と末端で混ぜて足さないようにします。逆に、条件を満たして完成した枝が途中で止まっていないかも点検します。

たとえば箱とリボンをそれぞれ1つ選ぶ場面では、箱を先に決めてもリボンを先に決めても、完成した組は同じです。両方の順序で図を描いた場合、その2つの図の末端を合わせて数えると、同じ組を二重に数えます。数えるための手順と、結果として区別する順序は別のものです。何を変えると別の結果になるかを、図の前に決めましょう。

また、条件が「どちらでもない」なら、全体から「少なくとも一方」を引く方法があります。そのとき引く側にも重なりがあるため、先に重複を直しておきます。全体を決めないまま引き算をすると、どの対象から除いたのかが曖昧になります。元の対象の範囲と、除く対象の範囲を言葉で書いてから式に移します。

基本例題：札の条件を表に置く

1から12までの整数が1つずつ書かれた12枚の札があります。偶数、または3の倍数が書かれた札を1枚選びます。何通りあるか、整数で答えなさい。

まず札は番号で区別され、1枚の番号が1通りです。偶数と3の倍数の両方である札も、条件に合うので数えます。偶数の札と3の倍数の札をそのまま足すと、両方に入る札を2回数えてしまいます。

図2のように、各札を条件に応じた区画に1回ずつ置きます。偶数だけは2、4、8、10、両方は6、12、3の倍数だけは3、9です。残る1、5、7、11はどちらの条件も満たしません。4区画の個数を足すと12枚に戻るので、札の置き忘れがないことを確認できます。

偶数の札は2、4、6、8、10、12です。

3の倍数の札は3、6、9、12です。

両方に入る札は6、12です。

したがって、求める個数を次のように計算します。

偶数の個数 = 6

3の倍数の個数 = 4

両方の個数 = 2

6 + 4 − 2 = 8

答えは8通りです。実際に条件を満たす番号を小さい順に並べると、2、3、4、6、8、9、10、12の8個です。表の3区画から数えると4 + 2 + 2 = 8となり、同じ結果に戻ります。

もし「偶数かつ3の倍数」なら、両方の区画だけを数えるので2通りです。「または」と「かつ」を読み違えると、同じ表から違う区画を選んでしまいます。式を立てた後にも、求められた条件に対応する区画を指でたどって確認しましょう。

少し難しい例題：次の候補が変わる

赤、青、緑、黄の4種類のカードから、1枚目と2枚目を順に1枚ずつ選びます。同じカードは2度選べず、赤と青は隣り合う2枚として同時には選べません。順序を区別するとき、何通りあるか整数で答えなさい。

まず1枚目が赤のとき、2枚目に赤は残らず、青も条件で使えません。緑か黄の2通りです。1枚目が青のときも、赤と青を除いた2通りです。したがって、この2つの場合は2 + 2 = 4通りです。

一方、1枚目が緑なら、2枚目は赤、青、黄の3通りです。1枚目が黄なら、赤、青、緑の3通りです。この2つの場合は3 + 3 = 6通りです。1枚目の色は4種類のどれか1つに決まり、各場合は重ならないので、4 + 6 = 10通りとなります。

同じことを樹形図で考えると、最初の4本の枝の先に、それぞれ2、2、3、3本の枝が伸びます。末端の数は2 + 2 + 3 + 3 = 10です。全ての枝の先が同じ数ではないので、4 × 3のままでは禁止された組を含みます。

別の確認として、制限がないときは1枚目が4通り、2枚目が残り3通りで12通りです。このうち赤の次に青、青の次に赤の2通りが条件に反します。12 − 2 = 10通りです。順序を区別するので、この2つは別の結果として除きます。残る組を1枚目ごとに数えた2、2、3、3と照らし合わせると、条件に戻して確認できます。

誤答から戻る場所

基本例題で「偶数が6枚、3の倍数が4枚だから6 + 4 = 10通り」と答える誤りを考えます。個々の条件の数は正しくても、足し合わせる時点で6と12を2回ずつ数えています。図3のように、重なる札が二重に入ることを追うと、どこを直すべきか見えます。

修正は、重なりの2枚を足し算の結果から1回分引くことです。6 + 4 − 2 = 8となります。重なりを2回引くと今度はその札が残らないので、最初に何回数えたかを確かめてから引きます。共通部分が空なら引く数は0で、単純な足し算のままです。

積の法則でも似た確認が必要です。選択を続ける問題で、それぞれの段階の候補数を何でも掛けてよいわけではありません。先の選択によって後の候補数が変わるなら、同じ候補数になる場合ごとに分けます。また、同じ結果に複数の道筋が対応する場合は、そのまま道筋を数えると結果を重複して数えます。結果の表し方と道筋の対応を先に決めてください。

反対に、互いに重ならない場合を分けた後、全体に共通する候補数を無理に探して掛ける必要はありません。枝ごとに数えて足せばよく、0通りの枝があっても問題ありません。式が合わないときは、計算だけでなく、分けたグループが条件を満たす結果を過不足なく含むかを見直します。

練習問題

次の各問は、条件を満たす結果の個数を整数で答えなさい。先に自分で表や枝を描き、答えを見る前に、1通りが何を表すかを言葉にしてみましょう。

1. 1から15までの整数が1つずつ書かれた札から1枚選びます。5の倍数または奇数が書かれた札は何通りありますか。両方に当てはまる札も含めます。
2. 飲み物3種類とパン4種類から、それぞれ1種類ずつ選びます。選んだ飲み物とパンの組は何通りありますか。
3. A、B、C、D、Eの異なる5枚の札から、異なる2枚を順に取り出します。1枚目がAなら2枚目はBに限り、それ以外の1枚目なら2枚目に制限はありません。順序を区別すると何通りありますか。
4. 1から8までの整数が1つずつ書かれた札から1枚選びます。偶数でも3の倍数でもない札は何通りありますか。

練習問題の答えと解き方

1. 奇数は1、3、5、7、9、11、13、15の8枚、5の倍数は5、10、15の3枚です。共通する5、15の2枚を1回引き、8 + 3 − 2 = 9となります。したがって答えは9通りです。条件に合う札は1、3、5、7、9、10、11、13、15で、9枚に戻ります。

2. 12通りです。飲み物のどれを選んでもパンは4種類から選べます。飲み物を固定する3つの場合は互いに重ならないので、4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12です。飲み物ごとに4組を並べれば、各組が1回ずつ現れます。

3. 17通りです。1枚目がAなら、完成する結果はAの次にBを取る1通りです。1枚目がB、C、D、Eの場合は、それぞれ残る4枚から2枚目を選べます。よって1 + 4 × 4 = 17です。1枚目ごとの枝の末端は1、4、4、4、4個で、その和も17です。同じ札を2回取る道筋はありません。

4. 3通りです。偶数は2、4、6、8の4枚、3の倍数は3、6の2枚で、両方に入る6が1枚あります。少なくとも一方に入る札は4 + 2 − 1 = 5枚です。8 − 5 = 3枚がどちらにも入らず、実際に1、5、7の3枚です。引く前の5枚は2、3、4、6、8であり、残りと合わせて元の8枚になります。

覚えておくこと

• 和は、重ならず漏れのない場合に分けて使います。
• 2条件のどちらかを数えるときは、共通部分の二重計数を直します。
• 積は、各段階の候補数と結果への対応を確かめて使います。
• 候補数が変わるときは枝ごとに分け、完成した道筋を数えます。

つまずきの見分け方

答えが合わないときは、まず最初に書いた式の各数が何を数えているかを確認します。足し算の行に同じ札が2回現れるなら、2条件の表に戻り、共通部分を塗り分けます。掛け算の行で後の候補数を固定しているなら、先の選択を1つずつ変えて枝の本数を比べます。

個別指導では、完成した結果を1つ選び、その結果へ至る道筋が何本あるかを口に出して確かめます。0本なら漏れ、2本なら重複です。順序を区別するかも問題文に戻って確定します。1つの結果に1本の道筋を対応させることが、数え上げの土台です。