武蔵野個別指導塾の特徴

高校数学B 連続型確率変数—一点の確率と区間の面積を分けて分布を読む｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学B 統計的な推測を掘り下げる

密度の高さを一点の確率と取り違えないために、長方形と三角形の面積から区間の確率を読みます。端点の扱いにも通じる連続の面積です。

よくあるのは、高2の生徒が待ち時間を表す密度のグラフを見て、横軸のある位置で高さが 0.2 だから、その時刻ちょうどに待ち時間が決まる確率も 0.2 だと答える場面です。縦の高さは確率そのものではありません。横に幅を持つ区間を取って、その上の面積を求めると確率になります。どの部分を塗るかを決めてから計算すると、一点と区間の違いを見失わずに済みます。

面積を使う問いの型

よくある問いの1つは、与えられた密度のグラフから区間の確率を求めるものです。区間の両端を横軸に記し、その間でグラフと横軸に挟まれた部分を塗ります。長方形なら横の長さと高さ、三角形なら底辺と高さを使います。区間が図形の途中で終わるときは、全体の高さをそのまま使わず、端での高さを確かめます。

2つ目は、密度の高さに含まれる未知の定数を求める問いです。確率の総和に当たるのはグラフの下の総面積で、それが 1 になります。まず横軸のどこで密度が 0 でないかを確認し、図形全体の面積を 1 と置きます。高さが負になる候補は密度として認められません。

3つ目は、一点の確率や端点の等号を問うものです。連続型では一点の確率は 0 ですから、同じ2点を端とする区間では、端点を含めても含めなくても確率は変わりません。値が起こり得るかという問いと、一点の確率がいくらかという問いは別です。

高さと幅がそろって確率になる

連続型確率変数 X の確率密度を表す関数を f(x) とします。密度は負にならず、グラフと横軸の間の全体の面積は 1 です。a < b のとき、P(a≦X≦b) は a から b までのグラフの下の面積で表されます。ここでは長方形と三角形に分けられる形だけを使い、積分の一般論は扱いません。

図1のように、縦軸は密度、横軸は X の値です。塗った部分は a から b までの面積を示します。線の高さ f(a) は a の位置での密度であり、P(X = a) ではありません。横軸に単位があるとき、密度の単位はその逆になります。たとえば X が分単位の時間なら密度は 1 分あたりの高さで、時間の幅を掛けると単位のない確率になります。

図1の a と b の間の幅が正なら、塗った部分には面積があります。一方、a という一点には横の幅がありません。連続型では P(X = a) = 0 なので、端点にある確率を足したり引いたりする必要はありません。たとえば P(a < X < b)、P(a≦X < b)、P(a≦X≦b) は同じ面積です。

確率 0 ということは、その値が値の範囲から除かれるという意味ではありません。長さを測る位置が連続的に変わるモデルでは、ある一点を含む範囲に正の確率があっても、その一点自体の確率は 0 です。逆に、離散型で個々の値に確率が割り当てられている場合には、この端点の扱いをそのまま適用できません。最初に連続型という条件を見ます。

密度の高さは 1 を超えてもかまいません。確率として 1 以下であるべきなのは面積です。たとえば幅が 1/4、高さが 4 の長方形は面積が 1 です。高さだけを確率と見なすと、正しい密度まで誤って排除してしまいます。

基本例題：一定の高さの区間を読む

ある装置の待ち時間 X 分を連続型確率変数とします。密度は 0≦x≦8 で一定、その他では 0 です。高さを求め、P(2≦X≦5) と P(X = 5) をそれぞれ分数で求めてください。

まず高さを h と置きます。密度が 0 でない部分は幅 8、高さ h の長方形です。全体の面積は 1 なので、次のように求めます。

8・h = 1          全面積を1と置く
h = 1/8           両辺を8で割る

図2のように、2 から 5 までの幅に対応する部分を塗ります。高さは区間内で変わらないため、面積は長方形の幅と高さの積です。

P(2≦X≦5) = (5 - 2)・(1/8)   幅と高さを掛ける
              = 3/8             幅は3分
P(X = 5) = 0                    一点の幅は0

答えは高さ 1/8、区間の確率 3/8、一点の確率 0 です。区間を 0 から 2、2 から 5、5 から 8 に分けると、面積は順に 2/8、3/8、3/8 です。これらを足すと 1 に戻り、元の全範囲と一致します。端点を共有しても、その一点の確率は 0 なので二重に正の確率を数えることはありません。

標準例題：傾いた辺の途中までを取る

ある部品の厚さに関する連続型確率変数 Y の密度は、0≦y≦6 では原点から点 (6, h) までを結ぶ直線、その他では 0 です。h と P(2≦Y≦4) を分数で求めてください。横軸の厚さは一定の単位で測るものとします。

全体は底辺 6、高さ h の三角形です。面積を 1 と置くと、高さが定まります。

6・h/2 = 1       三角形の面積を1と置く
3h = 1           左辺を整理する
h = 1/3          両辺を3で割る

直線は原点を通るので、y の位置の高さは全体の高さに y/6 を掛けたものです。したがって y = 2 と y = 4 の高さをそれぞれ求めます。

高さ = (1/3)・(y/6) = y/18   直線の高さは横の長さに比例する
 y = 2 の高さ = 1/9          2を代入する
 y = 4 の高さ = 2/9          4を代入する

求める部分は、平行な2辺の長さが 1/9 と 2/9、その間の幅が 2 の台形です。台形を長方形と三角形に分けても同じ値になります。

P(2≦Y≦4) = (1/9 + 2/9)・(4 - 2)/2   台形の面積
              = (1/3)・2/2              平行な辺を足す
              = 1/3                     整理する

答えは h = 1/3、確率は 1/3 です。別の確かめ方として、0 から 4 までの三角形の面積 4・(2/9)/2 = 4/9 から、0 から 2 までの面積 2・(1/9)/2 = 1/9 を引くと、同じ 1/3 に戻ります。0 から 6 までで試すと 6・(1/3)/2 = 1 となり、全体の条件も満たします。

発展例題：面積から境界を逆に決める

ある作業の所要時間 T 分の密度は、0≦t≦4 では点 (0, 1/2) から点 (4, 0) までを結ぶ直線、その他では 0 です。0≦c≦4 として P(T≧c) = 1/4 となる c を求めてください。答えは分単位の整数で表します。

与えられた形は底辺 4、高さ 1/2 の三角形で、全面積は 4・(1/2)/2 = 1 です。高さも範囲内で負にならず、密度の条件を満たします。右側に残る部分も三角形なので、c における高さから面積を立てます。

c における高さ = (1/2)・(4 - c)/4   右端までの幅に高さが比例する
                   = (4 - c)/8       整理する
P(T≧c) = (4 - c)・((4 - c)/8)/2    右側の三角形の面積
          = (4 - c)²/16              積をまとめる

この面積が 1/4 になる条件を使います。0≦c≦4 より 4 − c は負でないことに注意します。

(4 - c)²/16 = 1/4   求める面積を代入する
(4 - c)² = 4        両辺に16を掛ける
4 - c = 2           4 - c≧0 を使う
c = 2               移項する

答えは 2 分です。もう一方の数 4 − c = -2 は c = 6 となり、指定された範囲から外れるので採用できません。答えを場面に戻すと、2 分から 4 分までの底辺は 2、高さは 1/4 です。その面積は 2・(1/4)/2 = 1/4 で、元の条件を満たします。左側の面積も 3/4 となり、左右を合わせると 1 です。

誤答を図で直す

基本例題で「5 分の位置の高さが 1/8 だから P(X = 5) = 1/8」と答えたとします。この答えの原因は、縦の長さをそのまま面積として読んだことです。図3のように、一点の位置を示す線と、その周りに幅を持つ範囲を区別します。線には幅がなく、線の高さが正でも面積は 0 です。

修正すると P(X = 5) = 0 です。たとえば基本例題の密度で 4≦X≦6 を取れば、その範囲の幅は 2 なので面積は 2・(1/8) = 1/4 です。この正の確率は 5 という一点の確率ではなく、4 から 6 までの幅全体に対応します。図3でも幅を持つ部分に色を付け、5 の位置は線で示しています。

もう1つの誤答は、標準例題で 2 から 4 までの面積を 2・(1/3) とすることです。1/3 は右端 6 での高さであり、2 から 4 の間は高さが変わっています。両端の高さ 1/9 と 2/9 を出して台形にするか、大きな三角形から小さな三角形を引くと直せます。答えが 0 から 1 の間に入るだけでは、式が正しいとは限りません。

練習問題

いずれも各変数は連続型です。指定のない場所の密度は 0 とし、求める確率は分数で答えてください。問題は5問を先に並べています。

時間 X の密度が 1≦x≦7 で一定です。密度の高さと P(3 < X≦6)、P(X = 3) を求めてください。
長さ Y の密度は 0≦y≦10 で原点から点 (10, h) までの直線です。h と P(0≦Y≦5) を求めてください。
重さ Z の密度は 0≦z≦5 で点 (0, h) から点 (5, 0) までの直線です。h と P(3≦Z≦5) を求めてください。
位置 U の密度は 0≦u≦2 で一定の高さ 2/5、2 < u≦4 で一定の高さ k です。k と P(1≦U≦3) を求めてください。
時間 V の密度は 0≦v≦12 で一定です。P(V≧d) = 1/3 を満たす 0≦d≦12 の d を求め、元の条件に代入して確かめてください。d は整数で答えてください。

練習問題の答えと解き方

1. 一定の密度と端点

密度がある区間の幅は 7 − 1 = 6 です。高さを h と置いて総面積を 1 にします。

6h = 1                         長方形の全面積
h = 1/6                        両辺を6で割る
P(3 < X≦6) = (6 - 3)・(1/6)  幅と高さの積
                 = 1/2         約分する
P(X = 3) = 0                   連続型の一点

高さは 1/6、確率は順に 1/2、0 です。1 から 3 まで、3 から 6 まで、6 から 7 までの面積はそれぞれ 1/3、1/2、1/6 です。和は 1 で、指定された全範囲に戻ります。

2. 上り坂の三角形

10h/2 = 1                  全体の三角形の面積
h = 1/5                    高さを求める
5 の位置の高さ = (1/5)・(5/10) = 1/10   相似を使う
P(0≦Y≦5) = 5・(1/10)/2  左側の三角形の面積
               = 1/4       整理する

高さは 1/5、確率は 1/4 です。残りの台形は (1/10 + 1/5)・5/2 = 3/4 で、左側と合わせて 1 です。高さが半分になると、左側の幅も半分なので、左の面積は全体の 1/2 ではなく 1/4 になります。

3. 下り坂の右側

5h/2 = 1                   全体の三角形の面積
h = 2/5                    高さを求める
3 の位置の高さ = (2/5)・(2/5) = 4/25   右端までの幅は2
P(3≦Z≦5) = 2・(4/25)/2  右側の三角形の面積
               = 4/25      整理する

高さは 2/5、確率は 4/25 です。左側の台形の面積は (2/5 + 4/25)・3/2 = 21/25 です。右側と足すと 1 に戻り、全体の面積と一致します。

4. 高さが途中で変わる密度

0 から 2 までの面積は 2・(2/5) = 4/5 です。残りの幅も 2 なので、その部分の高さ k を次のように決めます。

4/5 + 2k = 1                    左右の面積の和
2k = 1/5                        4/5を引く
k = 1/10                        両辺を2で割る
P(1≦U≦3) = 1・(2/5) + 1・(1/10)   2で区間を分ける
               = 1/2            面積を足す

答えは k = 1/10、確率は 1/2 です。2・(2/5) + 2・(1/10) = 1 なので密度の総面積は正しい値に戻ります。区間の途中で高さが変わるため、幅 2 に片方の高さをそのまま掛けることはできません。境目の一点の高さをどちらで定めても、確率は変わりません。

5. 右側の面積から境界を求める

密度の高さは全面積から 1/12 です。d から 12 までの長方形の面積を使います。

(12 - d)・(1/12) = 1/3   右側の面積を条件に合わせる
12 - d = 4               両辺に12を掛ける
d = 8                    移項する

答えは 8 です。元の分布に戻すと、8 から 12 の幅は 4 で、面積は 4・(1/12) = 1/3 です。d は指定の範囲内にあり、左側の面積 8/12 = 2/3 と合わせて 1 になります。

覚えておくこと

密度は負でなく、全体の面積は 1 です。
区間の確率は、その区間のグラフの下の面積です。
連続型では一点の確率は 0 で、区間の端の等号では確率が変わりません。
斜めの辺では、区間の端での高さを求めてから面積を出します。

どこでつまずいたかを見分ける

高さを答えにしたときは、まず横軸の区間を指してもらい、その幅を書けるかを確かめます。幅がない一点と、幅のある範囲を同じ式にしていれば、図に塗る場所からやり直します。端点の等号に迷う場合は、連続型という条件と P(X = a) = 0 を声に出して結びつけると、どの部分を足す必要があるかを判断できます。

三角形で誤ったときは、全体の底辺と、求める部分の底辺を区別できているかを見ます。個別指導では、途中の高さを相似で表す式と、分けた面積の和が 1 に戻る式をそれぞれ書いて確認します。面積を元の範囲へ戻して照らすことで、数値だけが偶然合った解答も見分けられます。