数検準2級 順列—並べる対象と制約を整理して数える順番を決める｜武蔵野個別指導塾

隣り合う2人を箱にまとめ、箱の配置と内側の順序を別々に数えます。隣り合わない本の並べ方は、全体から引く方法でも確かめられます。

よくあるのは、受験者が隣り合う2人をひとまとまりにして並べた後、その2人の中の順番を数え忘れるという場面です。まとまりの位置が決まっても、左に立つ人と右に立つ人を入れ替えると別の並びになります。計算の最後にその違いを戻せるかが、答えを左右します。

順列は、異なるものを順番を区別して並べる数え方です。ここでは一列に並べる場合と、隣り合う条件に注目します。円形に並べる場合には踏み込みません。式の記号を覚える前に、1つの答えが実際にどんな並びを表すかを確かめましょう。

どんな順番で数えるか

出方の型の1つは、異なるものからいくつかを選び、決められた場所に順に置く問題です。たとえば異なる札から3枚を選んで左から並べるとき、最初の場所に置いた札は次の場所には使えません。場所が埋まるにつれ、選択肢は1つずつ減ります。

もう1つは、指定された2つが隣り合う一列の問題です。2つを1つのまとまりと見て外側を並べ、次にまとまりの内側を並べます。外側の数だけで終えると、内側を逆にした並びが抜けます。逆に、外側で既に区別した順序をもう一度掛けると重複します。

さらに、隣り合わない条件は、制約のない並びから隣り合う並びを除いて数えられます。この方法では全体と除くものが同じ対象を同じ規則で並べていることが必要です。並べる場所が一列か、同じものを区別するか、対象を全部使うかを最初に読み取ります。

順列の意味と、まとまりの見方

異なるn個からr個を選んで一列に並べる方法の数を nPr と書きます。ここでnとrは整数で、1以上のrがn以下の場合を考えます。左から順に置くなら、最初はn通り、次は残りのn − 1通りです。これをrか所まで続けて掛けます。異なる選択の組が異なる並びを作り、どの並びも左からたどれば1通りの選択に戻るため、掛け算で漏れも重複もなく数えられます。

たとえば異なる4色の札から2枚を選ぶなら、左は4通り、右は残り3通りなので4 × 3 = 12通りです。赤を左、青を右に置いた並びと、青を左、赤を右に置いた並びは区別します。2枚を選ぶという条件だけで順序を問わないときとは、何を1通りとするかが違います。

異なるn個を全部並べる場合には、n × (n − 1) × … × 2 × 1 と掛けます。この積をnの階乗と呼び、n!と表します。たとえば4!は4 × 3 × 2 × 1です。記号は短く書くためのものですから、最初は各因子が何の選択肢を表すかを添えると、条件に合わない公式を使いにくくなります。

図1のように、AとBが隣り合うときは、2人を一続きの箱に入れて考えます。箱の位置が同じでも、箱の中にはABとBAの2通りがあります。箱を1個と数える操作は、2人を同一人物とみなす操作ではありません。箱の外側と内側を別々に決めるための整理です。

図1の箱を開くと、それぞれ異なる元の並びが現れます。逆に条件を満たす元の並びからAとBを囲めば、箱を含む外側の並びと内側の順序が一意に決まります。この往復ができることが、箱を使った数え方の根拠です。3人以上をまとめる場合も、指定された人が連続するという条件なら同じ考え方で、内側の並べ方を別に数えます。

数える前に、小さい列を書いて方法を試すことも有効です。A、B、Cの3人なら、Aを左端に固定してABCとACB、Bを左端に固定してBACとBCA、Cを左端に固定してCABとCBAと書けます。左端ごとに分けたので、異なるグループに同じ列は現れません。各グループには残る2人の並べ方が2通りずつあり、全部で3 × 2 = 6通りです。

この6通りのうちAとBが隣り合う列はABC、BAC、CAB、CBAです。箱とCの並びが2通り、箱の内側が2通りという数え方でも4通りになります。列挙と箱の数え方を照らし合わせると、箱の位置だけで終えた場合に何が抜けるか見えます。対象が増えて列挙が長くなっても、この対応を保ったまま積で数えられます。

条件が複数ある場合は、1つを処理した後で残る対象や場所がどう変わるかを書き出します。例えば隣り合う2人が端に並ぶ条件なら、箱の置き場所は両端の2通りです。残る人の並びと箱の内側もそれぞれ決めます。ただし箱の左右端とは、2人をまとめて占める連続した2席が列の端にあるという意味です。箱を1席として扱った後も、元の席との対応を失わないようにします。

基本例題：隣り合う2人を含む列

異なる4人A、B、C、Dが横一列に並びます。AとBが隣り合う並びは何通りですか。答えは整数で求めます。左右を入れ替えた列は別の並びとします。

まずAとBをひとまとまりの箱とみなします。すると外側に並べる対象は、箱、C、Dの3個です。箱の中身をまだ決めていない点に注意して、外側から順に数えます。

外側の左端には3個のうち1個を置けます。次には残りの2個、最後には残りの1個を置きます。

3 × 2 × 1 = 6

したがって箱とCとDの外側の並びは6通りです。次に箱の内側に戻ります。Aが左でBが右のABと、Bが左でAが右のBAの2通りです。外側のどの並びにも、この2通りを対応させられます。

6 × 2 = 12

答えは12通りです。図2のように、外側の1つを選んでも箱の内側で2つの列が生まれます。たとえば箱、C、Dという外側の並びからはABCDとBACDができます。どちらもAとBが隣り合い、左右の順序が違うので別々に数えます。

図2の例以外にも、C、箱、DならCABDとCBADです。外側の6通りのどれからも内側の2通りが作れます。別の外側の並びから同じ4人の列はできません。元の列でAとBを囲めば、箱の位置とC、Dの位置が決まるからです。

場面に戻して確かめるには、できた列が4人を各1回ずつ含むこと、AとBの間に他の人がいないことを見ます。また逆向きの列も、左右を区別する問題なので原則として別に数えます。条件を読み違えて、隣り合う順番までABに固定してしまわないようにします。

少し難しい例題：隣り合わない条件

異なる5冊の本P、Q、R、S、Tを棚に横一列に並べます。PとQが隣り合わない並びは何通りですか。答えは整数で求めます。本の左右を区別し、5冊を各1回使います。

直接数える方法もありますが、ここでは制約のない全体から、条件に反する並びを引きます。隣り合うか隣り合わないかは、5冊を一列に置いた各並びについて必ずどちらか一方に決まります。両方に入る並びはありません。

全体は、左から置く本が5通り、4通り、3通り、2通り、1通りと減るので、

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

次にPとQが隣り合う並びを数えます。PとQの箱と、R、S、Tの合計4個を並べます。外側は4 × 3 × 2 × 1 = 24通りです。箱の中はPQとQPの2通りなので、隣り合う並びは24 × 2 = 48通りです。

よって、求める数は120 − 48 = 72通りです。引く数に内側の2通りを含めなければ、隣り合う並びが全体から取り切れません。反対に箱の向きを既に区別した外側の数を使うなら、もう一度2を掛けることはできません。

別の見方でも場面に戻して確かめられます。まずR、S、Tを並べると6通りです。その前、間2か所、後ろの合計4か所のすき間のうち、異なる2か所にPとQを置けば隣り合いません。Pの場所は4通り、Qの場所は残り3通りなので、6 × 4 × 3 = 72通りです。同じすき間に両方を置くと隣り合うため、ここでは選びません。各完成列からR、S、Tの並びとP、Qのすき間を読み戻せるので、重なりもありません。

誤答から戻る場所

基本例題で、箱とCとDを3 × 2 × 1 = 6通りに並べ、そのまま6通りと答える誤りを考えます。原因は、箱の並べ方を決めた時点で、箱の中のAとBの位置まで決まったと思うことです。図3のように、同じ箱の位置にABとBAの両方を入れられます。

図3の2つの列を比べると、CとDの位置は同じですが、AとBは入れ替わっています。問題が4人を区別し、左右も区別する以上、この2つは別の結果です。修正は外側6通りのそれぞれに内側2通りを掛け、12通りとすることです。

反対に、内側の2通りを2回掛けてしまうこともあります。式の各因子の横に「箱、C、Dの並び」「箱の中」と意味を書き、同じ選択を2度数えていないか調べます。もしAがBの左にいるという条件もあれば、隣り合う箱の中はABの1通りです。条件が変われば内側の数も変わります。

隣り合わない問題で箱を作るときは、箱が表すのは求める並びではなく、除く並びです。全体から引く式にする前に、箱を開いた具体例が問題の条件に合うか、反するかを言葉で確かめます。引き算の向きが曖昧なまま計算を進めると、正しい48を出しても答えを取り違えます。

列を作って確かめるときは、同じ文字が2回現れていないかも見ます。元の問題が各人を1回ずつ並べる条件なら、AABCのような列は候補に入りません。また、AとBが離れたACBDを箱に入れて数えることもできません。箱の中に他の人が入らないことが隣り合う条件だからです。

計算が合わないときは、いきなり公式を選び直す前に、実際の列を1つ作ります。その列が数えた集合に含まれるか、逆に数えたものが条件を満たすかを両方向から確かめると、余分な列と不足した列を区別できます。

練習問題

各問とも対象は互いに異なり、左右の順序を区別します。答えは整数で求めます。先に3問を解き、数えた1通りが何を表すかも書いてみましょう。

1. 異なる6枚の絵札から3枚を選び、左から一列に並べます。何通りありますか。
2. 異なる5人E、F、G、H、Iが横一列に並びます。EとFが隣り合う並びは何通りありますか。
3. 異なる4個の積み木J、K、L、Mを横一列に並べます。JとKが隣り合わない並びは何通りありますか。

練習の答えと解き方

1. 答えは120通りです。左の札は6通り、中央は残り5通り、右は残り4通りなので、6 × 5 × 4 = 120です。選ばれなかった3枚の順番は結果に含まれません。完成した3枚の列を左から読めば、最初、次、最後の選択が1通りに決まるため、同じ列を重ねて数えていません。各列には異なる札が3枚あり、問題の場面に戻しても条件を満たします。

2. 答えは48通りです。EとFを箱にすると、箱、G、H、Iの4個を並べる方法が4 × 3 × 2 × 1 = 24通りあります。箱の中はEFとFEの2通りなので、24 × 2 = 48です。完成した列では5人が1回ずつ登場し、箱の中の2人は連続しています。逆に条件を満たす列のEとFを囲めば、外側と内側がそれぞれ決まるので、48には漏れも重複もありません。

3. 答えは12通りです。全体は4 × 3 × 2 × 1 = 24通りです。JとKを一つにまとめると、並べる対象は箱、L、Mの3個です。その並べ方3 × 2 × 1通りに箱の内側の2通りを掛け、隣り合う列は12通りとなります。したがって24 − 12 = 12通りです。直接確かめると、LとMの並びが2通りあり、その前、間、後ろの3つのすき間から、Jの場所を3通り、Kの場所を残り2通りに選べます。2 × 3 × 2 = 12で、異なるすき間に置くためJとKは隣り合いません。

覚えておくこと

• 順列では、何を1通りとするかと、使った対象を再び使えるかを先に決めます。
• 隣り合う対象は箱にまとめ、外側の並びと箱の内側の並びを別々に数えます。
• 隣り合わない場合は、全体から隣り合う場合を引く方法があります。
• 完成した並びから数えた手順を逆にたどり、漏れと重複を確かめます。

つまずきの見分け方

答えが正しい数の半分なら、箱を並べた行の次に、箱の中の順序を書いているかを見ます。ABだけを書いていたらBAも作り、左右を区別する条件に戻ります。答えが大きすぎるときは、使い終えた対象を次の場所でも選んでいないか、または同じ内側の順序を2回掛けていないかを調べます。

個別指導で確かめるときは、まず具体的な1列を作り、その列が式のどの選択に対応するかを説明してもらいます。隣り合わない問題なら、引く対象を実際に並べて条件に反することまで確認します。式の各因子に意味が付けば、条件が変わっても数え方を組み直せます。順列は、完成した列へ戻って確かめられます。