数検準2級 データの分析の相関—散布図と相関係数から関係の向きを読み取る｜武蔵野個別指導塾

散布図の右下がりと負の係数を結び、強さと因果を取り違えない相関の読み方を身につけます。

よくあるのは、受験者が相関係数の負の符号を見て、関係が弱いと読んでしまう場面です。例えば -0.9 は、符号が負でも直線に沿った関係が強い値です。符号は向きを、0からの距離は直線に沿う程度を表します。この二つを分けて見ると、右下がりの点の集まりと負の値が結びつきます。

ここでは、対になった小さな自作データを散布図に表し、相関係数を計算して読み取ります。数値は計算の練習のために作ったもので、実際の調査結果を示すものではありません。関係の向きと強さ、そこから言えることの限界まで順に確かめます。

問われる形を見分ける

一つ目は、表の各組を点にし、散布図が右上がりか右下がりかを読む形です。横の値が大きい側で縦の値がどの辺りにあるかを見ます。点を一つずつ結んだ折れ線ではなく、組ごとに独立した点として眺めます。

二つ目は、平均からの差を使って共分散と相関係数を求める形です。正負を先に予想し、計算後に点の並びと照合すると符号の間違いを見つけやすくなります。問題で答えの形が指定されていれば、その形に整えます。

三つ目は、相関のある二つの量について、片方が他方の原因だと言えるか判断する形です。散布図からは同時に変わる傾向を読めますが、それだけでは原因を決められません。数の計算が合っていても、結論を広げすぎないことが必要です。

点の並びと係数の意味

二つの量 x、y が同じ対象について測られているとき、1組の値を座標 (x, y) として打った図が散布図です。対象ごとに組を保ちます。x の値だけを小さい順に並べ替え、y を元の順番のまま置くと、別の対象の値が組み合わされ、違う図になってしまいます。

図1のように、横軸の値が増えるにつれて点が右上へ集まると正の相関、右下へ集まると負の相関があります。いずれも点が一本の直線の近くにまとまるほど、直線的な相関が強いと読みます。横方向に広がっても縦の値が一定とは限らず、明確な直線の傾向が見えない場合もあります。

図1の両方は、点がそれぞれ右上がり、右下がりの直線上にあります。左から右へ追うときの縦の変化で向きを判断してください。軸の目盛りや単位が違う図を比べるときは、見かけの傾きだけで強さを決めず、点が直線の周りにどの程度集まるかも見ます。

相関係数を r とすると、r は -1 以上 1 以下です。1に近いほど正の直線的な相関が強く、-1に近いほど負の直線的な相関が強くなります。0に近ければ直線的な相関は弱いと読みます。例えば -0.8 と 0.3 では、0からの距離が大きい -0.8 の方が直線的な相関は強く、向きは負です。

ただし r が 0 に近いことは、どのような関係もないという証明ではありません。点が曲線に沿って並ぶ場合には、直線的な傾向を表す r が小さくても、曲線の形に関係が見えることがあります。外れた位置の点が係数に大きく影響することもあるので、係数と散布図の両方を確認します。

計算には、各値と平均との差である偏差を使います。x の平均を x̄、y の平均を ȳ とすると、各組の偏差の積 (x − x̄)(y − ȳ) の平均が共分散です。両方の標準偏差をそれぞれ sₓ、sᵧ とすると、相関係数は共分散を sₓ と sᵧ の積で割った値です。標準偏差は偏差の平方の平均の正の平方根です。

両方が平均より大きい組と、両方が平均より小さい組では、偏差の積は正です。一方が平均より大きく、他方が小さい組では負です。これらの積を平均した共分散の符号が、相関の向きを示します。いずれかの量が全組で同じなら、その標準偏差は 0 です。0で割れないため、その場合の相関係数は定義されません。

基本例題：表から負の相関を求める

4個の部品について、ある値 x と別の値 y の組を (1, 8)、(2, 6)、(3, 4)、(4, 2) とします。散布図の向きを答え、相関係数を整数で求めてください。いずれも計算用に設定した値です。

図2のように組ごとに点を打つと、横軸で1進むたびに縦軸で2下がります。4点は右下がりの直線上にあります。計算前の予想は、強い負の相関です。

平均から順に計算します。偏差と積は、元の順番を保って並べます。

x̄ = (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

ȳ = (8 + 6 + 4 + 2) / 4 = 5

x の偏差は順に -1.5、-0.5、0.5、1.5 です。

y の偏差は順に 3、1、-1、-3 です。

偏差の積は順に -4.5、-0.5、-0.5、-4.5 です。

共分散 = (-4.5 − 0.5 − 0.5 − 4.5) / 4 = -2.5

x の分散 = (2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25) / 4 = 1.25

y の分散 = (9 + 1 + 1 + 9) / 4 = 5

sₓ = √1.25、sᵧ = √5

sₓ × sᵧ = √(1.25 × 5) = 2.5

r = -2.5 / 2.5 = -1

答えは右下がり、相関係数は -1 です。元の4組に戻ると、どの組も y = 10 − 2x を満たします。直線上に並び、x が増えると y が減るので、求めた -1 の向きと強さに合います。

この確認は、単に計算式をもう一度追う作業ではありません。組の写し違いがあると、式の計算を正しく繰り返しても元の表と違う答えになり得ます。例えば最初の点は (1, 8) であり、(8, 1) ではありません。軸と組の順序を表まで戻って確かめます。

少し難しい例題：傾向と原因を分ける

4日分の架空の記録で、屋外にいた時間 x と室内で読書した時間 y の組を (1, 5)、(2, 4)、(3, 4)、(4, 3) とします。各時間は同じ単位で測りました。相関係数を根号を含む分数で表し、屋外にいた時間の増加を読書時間の減少の原因と断定できるかも答えてください。

まず平均は x̄ = 2.5、ȳ = 4 です。x の偏差は -1.5、-0.5、0.5、1.5、y の偏差は 1、0、0、-1 です。

偏差の積の和 = -1.5 + 0 + 0 − 1.5 = -3

共分散 = -3 / 4

x の分散 = (2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25) / 4 = 5 / 4

y の分散 = (1 + 0 + 0 + 1) / 4 = 1 / 2

標準偏差の積 = √(5 / 4) × √(1 / 2) = √10 / 4

r = (-3 / 4) / (√10 / 4) = -3√10 / 10

したがって係数は -3√10 / 10 で、負の直線的な相関が強いと読めます。4組を表に戻すと、x が1から4へ増える間に y は5から3へ下がり、途中の2組では同じ4です。点は完全な直線上ではないものの、全体として右下がりという計算結果に合います。

原因とは断定できません。例えば、その日の予定や天候が両方の時間に関わった可能性があります。この例に実際の天候の記録があるわけではなく、別の要因の可能性を示しています。原因を判断するには、時間の前後関係や他の条件についても情報を集める必要があります。

符号が負だから必ず因果関係が逆向きになる、というわけでもありません。負の符号が表すのは、観察した組で一方が大きいと他方が小さい傾向です。その量を変えたらもう一方がどう変わるかは、別に調べる問いです。

誤答から戻る場所を探す

「r = -0.9 だから相関は弱い」という答えは誤りです。原因は、負の数を小さいと見て、0からの距離まで小さいと取り違えたことにあります。図3のように、-0.9 は -1 に近く、0 からは遠い位置です。負の向きに強い直線的な相関がある、と直します。

別の誤りは、相関係数が負なのに、散布図の右上がりを選ぶことです。表の組が正しく打たれているか、軸の担当が逆になっていないかを先に見ます。正しい点が右下がりなら、平均からの偏差の積を計算した行へ戻り、異符号の積が負になっているか確かめます。

さらに、共分散をそのまま係数とする誤りもあります。共分散には元の量の単位の影響が残ります。係数にするには、両方の標準偏差の積で割ります。その積が 0 の場合は計算を続けず、係数が定義されないと判断します。0でないのに範囲が -1 から 1 の外へ出た場合は、平均、偏差の積、平方の平均を順に点検します。

点が曲線状に並ぶのに、r が小さいから無関係だと結論するのも行き過ぎです。散布図に戻って曲線状のまとまりや特に離れた点を探します。少ない組から得た傾向を、記録されていない範囲にもそのまま当てはめることはできません。

散布図を描く前に、表の見出しも確認します。対象が部品なら、同じ部品の二つの測定値を1組として扱います。欠けた値を勝手に 0 と補うと、元の記録とは異なる点が加わり、平均や係数も変わります。欠けた組をどう扱うかが指定されていない問題では、手元の情報から計算できる範囲を明らかにします。

また、点が1個だけ離れているとき、その点を見落として残りの形だけで判断するのは危険です。まず記録や転記の誤りがないかを調べ、正しい記録であれば勝手に消さずにその影響を考えます。図から受けた印象と係数が食い違うときは、軸の目盛り、組の対応、離れた点の順に点検すると原因を探せます。

練習問題

次の問題は、いずれも計算のために作ったデータです。先に4問を解き、答えを後で確かめてください。

1. 3個の箱の組 (x, y) が (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) です。相関係数を整数で求め、向きを答えてください。
2. 4組の測定値が (1, 4)、(2, 2)、(3, 4)、(4, 2) です。相関係数を根号を含む分数で求めてください。
3. 3つの容器の組が (2, 1)、(2, 3)、(2, 5) です。相関係数を求められるか、理由とともに答えてください。
4. ある記録で飲み物の販売数と日なたの気温に正の相関がありました。気温を上げたことが販売数を増やした原因だと、この情報だけで断定できるか、理由を答えてください。

練習問題の答えと解き方

1. 答えは 1、正の相関です。x の平均は 2、y の平均は 4 です。偏差はそれぞれ (-1, 0, 1)、(-2, 0, 2) なので、共分散は 4 / 3、分散はそれぞれ 2 / 3、8 / 3 です。標準偏差の積は 4 / 3 となり、係数は 1 です。元の3組はどれも y = 2x を満たし、右上がりの直線上にあります。

2. 答えは -√5 / 5 です。平均は x が 2.5、y が 3 です。偏差の積は順に -1.5、0.5、0.5、-1.5 なので、共分散は -1 / 2 です。x の分散は 5 / 4、y の分散は 1、標準偏差の積は √5 / 2 です。よって r = (-1 / 2) / (√5 / 2) = -√5 / 5 です。元の4組をxの小さい2組と大きい2組に分けても、yの平均はどちらも3です。負の相関は、各組の偏差の積の和が -2 となり、共分散が -1/2 になることから確かめられます。

3. 求められません。x の平均は 2 で、3組の x の偏差はすべて 0 です。x の標準偏差が 0 となり、標準偏差の積で割れないからです。元の3組でも x は一定で、横方向に変化する値に対する直線的な相関を係数で表せません。係数を 0 と答えるのとは区別します。

4. 断定できません。二つの量が同じ方向に変わる傾向は読めても、販売数に影響する他の条件や、記録の取り方は示されていません。例えば時期や人の集まり方が両方に関わる可能性もあります。ここで挙げた事情は可能性であり、その記録について確認された事実ではありません。

問題2で符号が正になった人は、対応する組の偏差を掛けているか見直します。問題3で 0 とした人は、分子だけでなく分母が何になるかまで計算してください。問題4で原因を断定した人は、表から直接読める傾向と、追加の情報が必要な説明を別々の文にします。

覚えておくこと

• 正負は点の並びの向き、0からの距離は直線的な相関の強さを表します。
• 相関係数は共分散を二つの標準偏差の積で割ります。
• 標準偏差が 0 の量があれば、相関係数は定義されません。
• 相関だけでは原因と結果を断定できません。
• 係数と散布図を合わせて見ます。

つまずいた行から確かめる

個別指導で答案を見るときは、まず元の表の組と打った点が対応しているかを確かめます。点が違えば組の読み取りへ、点は合うのに符号が違えば偏差の積へ戻ります。係数の符号が合っていて強弱を逆にした場合は、数直線上で 0 からの距離を比べます。

最後に、答案が原因まで述べていれば、その根拠がデータに含まれるかを問い直します。計算結果を元の組に照らし、言える範囲を定めることが、相関を読む確かな手順です。