中2数学 一次関数と連立方程式—交点の意味を読み軸で囲む三角形の面積へつなぐ｜武蔵野個別指導塾

二直線の交点を両方の式で検算し、軸上の底辺と垂直な高さから求めるのは交点と面積です。

よくあるのは、座標平面に描いた三角形を見て、斜めの辺の長さを見た目で高さにしている場面です。底辺を横に選んだとき、高さは反対側の頂点から底辺を含む直線に垂直に測ります。交点を計算できても、この向きが違うと面積は合いません。点がどの直線に属するかを式で確かめ、図に底辺と高さを書き込むところまで進めましょう。

交点から面積までの道筋

出方には、2つの式から交点を求める型、交点と2つの軸上の点でできる三角形の面積を求める型、傾きが同じ場合に交点の有無を判断する型があります。面積を問う問題でも、まずどの点が境界になるのかを決めます。図だけで座標を読み取るのではなく、式で点の位置を確かめます。

必要な道具は、一次関数の式への座標の代入、連立方程式、三角形の面積です。座標軸の1目盛りを1 cmとするとき、横や縦の差はそのまま長さを表します。面積の単位は cm² です。ここでは直線と座標軸を使った交点と三角形を扱います。中2の関数の学習範囲にある一次関数を使います。

共通する点と垂直な長さ

座標が (x, y) の点が直線 y = ax + b 上にあるとは、その座標を式に入れると等式が成り立つことです。2直線の交点は両方の直線にあるので、同じ x と同じ y が2つの式を同時に満たします。逆に、2つの式を同時に満たす座標は両方の直線上にあります。したがって、交点を求めることと、2式を連立方程式として解くことが結びつきます。

図1のように、交点Pからx軸に垂線を下ろします。x軸上の2点を結ぶ辺を底辺とすると、Pのy座標の0からの距離が高さです。Pがx軸より下ならy座標は負ですが、長さは正なので符号を除いた値を使います。垂線の足が底辺の延長上にある場合も、高さは同じように底辺を含む直線までの垂直な距離です。

図1では横の辺が底辺で、縦の線分が高さです。斜めの線分は底辺に垂直ではないので、その長さを高さとすることはできません。y軸上に底辺を選ぶ場合は向きが入れ替わり、交点のx座標の0からの距離が高さです。底辺を決めてから、直角になる方向を探します。

軸上の点も式から求めます。x軸上ならy座標が0なので y = 0 を代入し、y軸上なら x = 0 を代入します。2点が軸上にあるとき、底辺は座標の大きい方から小さい方を引いた長さです。たとえばx座標が -2 と 3 なら距離は 3 − (-2) = 5 です。符号を含む座標の差と、負にならない長さを区別します。

軸と直線が交わる点を探すときは、交点が原点になる場合もあります。そのときも軸の条件を代入する手順は同じです。ただし、2本の直線が同じ軸上の点で交われば、底辺の両端が重なり、三角形として囲まれる部分はありません。先に3点の位置を確かめると、面積の式に形だけ数字を入れる間違いを避けられます。交点が軸の上か下か、あるいは左右のどちらにあるかは、座標の符号から判断できます。図が小さくて点の位置を読み取りにくいときも、計算した座標を数直線上の順序に従って置き直せば、底辺と高さの対応を整理できます。

基本例題：x軸を底辺に選ぶ

1目盛りを1 cmとします。直線 y = x + 2 と y = -x + 6 の交点をP、それぞれの直線とx軸の交点をA、Bとします。Pの座標と三角形PABの面積を、座標は整数、面積は整数のcm²で求めてください。

図2のように、2直線はPで交わり、AとBはx軸上にあります。Pでは2つのyが等しいので、右辺どうしを等しくします。

x + 2 = -x + 6
2x = 4
x = 2
y = 2 + 2
y = 4

よって P(2, 4) です。最初の式には 4 = 2 + 2、もう一方には 4 = -2 + 6 と戻るので、Pは両方の直線上にあります。一方にしか合わない点は交点ではありません。

Aでは y = 0 ですから、0 = x + 2 より x = -2、つまり A(-2, 0) です。Bでは 0 = -x + 6 より x = 6、つまり B(6, 0) です。軸上の左右の距離は 6 − (-2) = 8 cm、Pからx軸への高さは 4 cm です。

面積 = 8 ・ 4 / 2
     = 16

答えは 16 cm² です。底辺の両端を元の式に戻すと、0 = -2 + 2、0 = -6 + 6 がそれぞれ成立します。底辺8 cmと高さ4 cmを掛けて半分にしたことまで、図と式で照合します。

図2の縦の破線は辺の長さを測るための補助線です。交点のx座標2は垂線の足の位置を表し、高さではありません。高さに使った4は、交点のy座標とx軸のy座標0との差です。

標準例題：y軸を底辺にする

1目盛りを1 cmとします。直線 y = 2x + 1 と y = -x + 7 の交点をQ、それぞれとy軸の交点をC、Dとします。Qの座標と三角形QCDの面積を、座標は整数、面積は整数のcm²で求めてください。

2x + 1 = -x + 7
3x = 6
x = 2
y = 2 ・ 2 + 1
y = 5

Q(2, 5) は 5 = 2 ・ 2 + 1 と 5 = -2 + 7 の両方を満たします。y軸上では x = 0 なので C(0, 1)、D(0, 7) です。底辺CDは 7 − 1 = 6 cm、Qからy軸への高さは 2 cm です。したがって面積は 6 ・ 2 / 2 = 3 ・ 2 = 6 cm² です。

Cに x = 0 を入れると最初の式は y = 1、Dでは次の式が y = 7 となります。Qからy軸までを横に測るので、Qのy座標5を高さに使いません。軸上の底辺が原点を含まなくても、両端の座標の差を取れば長さが出ます。

発展例題：垂線の足が底辺の外にあるとき

1目盛りを1 cmとします。直線 y = x + 4 と y = 2x + 6 の交点をR、それぞれとx軸の交点をE、Fとします。Rの座標と三角形REFの面積を、座標は整数、面積は整数のcm²で求めてください。

x + 4 = 2x + 6
-x = 2
x = -2
y = -2 + 4
y = 2

R(-2, 2) です。2式に戻すと 2 = -2 + 4、2 = 2 ・ (-2) + 6 となります。Eは 0 = x + 4 より (-4, 0)、Fは 0 = 2x + 6 より (-3, 0) です。それぞれの元の式でもyが0になることを確かめられます。

底辺EFは -3 − (-4) = 1 cm、高さは2 cmなので、面積は 1 ・ 2 / 2 = 1 cm² です。Rから下ろした垂線の足は (-2, 0) で、線分EFの外にあります。それでも底辺を含むx軸への垂直な距離は2 cmです。垂線が三角形の内部に入るかどうかで高さの定義は変わりません。

別の確かめ方として、Rからx軸へ下ろした足をHとすると、三角形REHから三角形RFHを引けます。EHは2 cm、FHは1 cmで、どちらも高さは2 cmです。面積の差は 2 ・ 2 / 2 − 1 ・ 2 / 2 = 1 cm² となり、直接求めた値に一致します。この差の方法ではHがEとFの外側にある位置関係を確かめてから、大小の三角形を選びます。

2直線の傾きが同じで切片が異なる場合は、平行で交点がありません。たとえば y = 2x + 1 と y = 2x + 5 を等しくすると 2x + 1 = 2x + 5、つまり 1 = 5 となり、どのxでも成立しません。交点がないので、その交点を頂点とする三角形の面積も求められません。傾きも切片も同じ場合は同じ直線で、交点が1点に定まる場合とは区別します。

誤りを図と式で直す

図3のように、x軸を底辺にした三角形で斜めの辺を高さとしてしまう誤りがあります。原因は、頂点と底辺の端を結ぶ線ならどれでも高さだと考えることです。高さには底辺を含む直線との直角が必要です。頂点から軸へ垂線を引き、座標の差を長さとして書き直します。

図3の斜めの辺は三角形の境界ですが、横の底辺に垂直ではありません。縦の破線が高さを示します。頂点が軸より下にある図でも、下向きの距離を正の長さとして数えます。

もう一つの誤りは、交点のx座標を求めたところで、その数をy座標としても書くことです。2つの座標はそれぞれ役割があり、たまたま等しい場合を除けば別の値です。求めたxを一方の式に戻してyを計算し、得た組をもう一方の式にも代入します。2式の片方にだけ合う点や、xとyを取り違えた点は、共通の点として使えません。

軸上の底辺についても、両端の座標が負なら絶対値どうしを無条件に足すと長さを間違えます。たとえば -5 と -2 の間は 3 であり、7ではありません。数直線で順番を確認し、右または上の座標から左または下の座標を引きます。片方が負、もう片方が正のときに差を計算すると、結果として原点までの距離の和になります。

練習：点と長さを自分で決める

各問で1目盛りを1 cmとし、座標は整数または正確な分数、面積は整数または正確な分数のcm²で答えてください。2直線と指定の軸で囲まれる三角形を考えます。

1. y = x + 3 と y = -x + 5 の交点の座標と、2直線とx軸で囲まれる三角形の面積を求めてください。
2. y = 3x − 2 と y = -x + 6 の交点の座標と、2直線とy軸で囲まれる三角形の面積を求めてください。
3. y = x − 2 と y = -2x − 5 の交点の座標と、2直線とx軸で囲まれる三角形の面積を求めてください。
4. y = 2x + 3 と y = -x + 4 の交点の座標と、2直線とy軸で囲まれる三角形の面積を求めてください。
5. y = -3x + 2 と y = -3x − 4 の交点の有無を調べ、その交点とy軸で囲まれる三角形の面積が求められるか答えてください。

練習の答えと戻し方

1. x + 3 = -x + 5 より 2x = 2、x = 1、y = 4 です。交点は (1, 4) で、4 = 1 + 3、4 = -1 + 5 と両式に戻ります。x軸との交点は (-3, 0) と (5, 0) なので底辺は8 cm、高さは4 cmです。面積は 8 ・ 4 / 2 = 16 cm² です。両端のx座標を各式に戻すと、どちらもyは0です。

2. 3x − 2 = -x + 6 より 4x = 8、x = 2、y = 4 です。交点 (2, 4) は 4 = 3 ・ 2 − 2、4 = -2 + 6 を満たします。y軸との交点は (0, -2) と (0, 6) で、底辺は 6 − (-2) = 8 cm、高さは2 cmです。面積は 8 ・ 2 / 2 = 8 cm² です。x = 0 を各式に入れ、底辺の端のy座標も確かめます。

3. x − 2 = -2x − 5 より 3x = -3、x = -1、y = -3 です。交点 (-1, -3) は -3 = -1 − 2、-3 = -2 ・ (-1) − 5 と両方に合います。x軸との交点は (2, 0) と (-5/2, 0) なので底辺は 2 − (-5/2) = 9/2 cm、高さは3 cmです。面積は (9/2) ・ 3 / 2 = 27/4 cm² です。両端を各式に入れるとyは0になり、負のy座標を高さとしては正の3に直しています。

4. 2x + 3 = -x + 4 より 3x = 1、x = 1/3、y = 11/3 です。交点 (1/3, 11/3) を戻すと 11/3 = 2 ・ (1/3) + 3、11/3 = -1/3 + 4 です。y軸との交点は (0, 3) と (0, 4)、底辺は1 cm、高さは 1/3 cmです。面積は 1 ・ (1/3) / 2 = 1/6 cm² です。x = 0 で各切片を確かめ、分数を途中で丸めずに計算します。

5. -3x + 2 = -3x − 4 とすると 2 = -4 となり、これを満たすxはありません。2直線は傾きが同じで切片が異なる平行な直線です。交点がないため指定の三角形はできず、面積は求められません。たとえばxにどの値を入れても、2つのyの差は6のままです。計算結果が矛盾したときに、勝手な座標を選んで次の面積計算へ進まないようにします。

手元に残す要点

• 交点の座標は2つの式を同時に満たします。
• 軸上の点は、x軸なら y = 0、y軸なら x = 0 で求めます。
• 軸上の底辺は両端の座標の差、高さは反対側の頂点から軸への垂直な距離です。
• 平行で異なる2直線には交点がありません。

どこで迷ったかを見つける

答えが違ったときは、まず交点の組を2つの式に入れます。両方に合わなければ連立方程式や代入の行を見直し、合うなら軸上の2点へ進みます。点が正しくても面積が違う場合は、底辺の両端と垂線の足を図に記し、どの座標の差がどの長さかを説明してみます。

お子さまが「高さは4」と言えたときも、なぜ横ではなく縦に測るのかを図に直角を書いて尋ねると、選び方を確かめられます。個別指導では、垂線の足が底辺の外に出る例や、交点が軸の下にある例を使い、式と図が同じ長さを示すかを確認できます。交点の条件と垂直な距離をつなげば、図の傾きに惑わされず面積を求められます。