中2数学 一次関数の動きのグラフ—停止と折り返しを区間の式と変域で読み分ける｜武蔵野個別指導塾

模型の台車の停止、折り返し、出発時刻の違いを区間ごとに読み解き、距離と時刻を結ぶ動きのグラフをたどります。

よくあるのは、模型の運搬台車のグラフで横線になった部分を見て、そこでも同じ速さで進んでいると説明する場面です。横軸は時間、縦軸は基準点からの距離です。横へ進むことは時刻が進むことであり、台車が進むこととは限りません。距離が変わらない横線は、一直線の道の同じ側で動くという条件の下では停止を表します。斜めの線と横線をつなぐ点にも目を向け、いつからいつまでの話なのかを確かめましょう。

グラフに表れる3つの問い

動きの問題には、グラフから各区間の様子を説明する型、移動の条件から式とその範囲を作る型、指定された距離になる時刻を探す型があります。いずれも横軸と縦軸の意味を読んでから取りかかります。時間の単位が分なのか秒なのか、距離が基準点からの距離なのか、移動した道のりなのかによって、同じ形の線でも説明が変わります。

ここでは台車が基準点を端とする一直線の道を動き、基準点を通り越さないものとします。距離は基準点から台車までの長さです。各移動区間では一定の速さで動きます。折り返した後の距離は小さくなりますが、台車が動いた道のりは増え続けます。この2つを混同しないことが出発点です。

必要なのは一次関数の傾きと切片、一次方程式、距離を速さと時間から求める考え方です。一次関数では x の増加量に対する y の増加量の割合が一定です。ここで使う移動区間の傾きは0ではありません。停止区間は距離が一定なので、傾きが0の横線として別に扱います。学習範囲は中学校の第2学年で扱う一次関数に沿っています。

一つの線分には一つの時間帯がある

図1のように、横軸を出発からの時間 x 分、縦軸を基準点からの距離 y m とします。右上がりなら基準点から遠ざかり、横線なら距離が一定、右下がりなら基準点へ近づきます。折れ目は台車の状態が変わる時刻です。線が折れるからといって時刻が戻るわけではありません。

図1では、0分から4分までに距離が0 mから8 mへ増え、4分から6分まで8 mのままです。その後、6分から10分までに0 mへ戻ります。最初の傾きは距離の増加量8 mを時間の増加量4分で割った2 m/分です。最後の傾きは距離の増加量がマイナス8 mなので、マイナス2 m/分です。速さ自体は負にせず、向きの情報を傾きの符号で表します。

変域は、文字が取り得る値の範囲です。例えば停止中の時間は 4 ≦ x ≦ 6、距離の範囲は y = 8 です。両端を含むのは、停止の開始時刻と終了時刻にも同じ距離が成り立つからです。隣り合う区間が端点を共有しても、その点の距離が一致していれば矛盾はありません。移動の途中だけを問う場合は端点を含むか問題の言葉で確認します。

「切片」は式を x = 0 まで延長したときの y の値です。途中から始まる線分では、その値が実際の開始距離を意味するとは限りません。停止後の移動を表す式でも、全体の時計を x に使うなら切片と区間の始点を区別します。式が正しくても、その式を使える時間を添えなければ、台車が存在しない時間まで動いたことにしてしまいます。

基本例題：止まる時間を式に残す

基準点から出発した台車が、毎分3 mで4分間遠ざかり、2分間停止した後、毎分2 mで基準点へ戻ります。出発から x 分後の距離を y mとします。戻り着くまでの各区間の式と x の変域、出発から戻るまでの時間を求めてください。答えは整数で表します。

図2のように、まず折れ目の時刻と距離を書きます。4分後の距離は 3・4 = 12 m、停止が終わるのは6分後です。戻るのにかかる時間は 12 ÷ 2 = 6 分なので、戻る時刻は出発から12分後です。戻る時間の6分と、出発からの時刻の12分を取り違えないようにします。

最初の区間は出発から x 分間動いたので、式と変域は次のとおりです。

y = 3x
0 ≦ x ≦ 4

停止中は距離が12 mのままです。x が進んでも y が増えないことを式にします。

y = 12
4 ≦ x ≦ 6

戻る区間では、戻り始めてからの時間が x − 6 分です。全体の経過時間 x をそのまま掛けると停止前の時間も戻りの時間に数えてしまいます。

y = 12 - 2(x - 6)
y = 12 - 2x + 12
y = -2x + 24
6 ≦ x ≦ 12

答えはこの3区間の式と変域で、戻るまで12分です。端点を代入すると、x = 4 では最初と停止中の式がともに12、x = 6 では停止中と戻りの式がともに12になります。x = 12 では戻りの式が0です。場面に戻しても、往路12 mと復路12 mをそれぞれ条件の速さで進み、間に2分停止しています。

標準例題：同じ距離を通る時刻

台車が基準点から毎分4 mで3分間遠ざかり、1分停止した後、毎分3 mで基準点へ戻ります。出発からの時間を x 分、距離を y mとします。距離が6 mになる時刻をすべて、分数または整数で求めてください。

折れ目は、遠ざかる区間の終わりが (3, 12)、停止の終わりが (4, 12)、戻りの終わりが (8, 0) です。戻りには12 ÷ 3 = 4分かかります。区間と式を先に並べると、答えがどの動きに属するかを点検できます。

y = 4x　　0 ≦ x ≦ 3
y = 12　　3 ≦ x ≦ 4
y = 12 - 3(x - 4)　　4 ≦ x ≦ 8

往路で y = 6 とすると、4x = 6 より x = 3/2 です。3/2 は0から3の間なので、この解は往路にあります。停止中の距離は12 mで、6 mではありません。復路では次のように解きます。

6 = 12 - 3(x - 4)
3(x - 4) = 6
x - 4 = 2
x = 6

6は復路の変域に入ります。答えは出発から 3/2 分後と6分後です。往路は 4・(3/2) = 6 m、復路は停止後2分で 12 − 3・2 = 6 mとなり、場面にも戻せます。距離が同じでも時刻が2つあるのは、行きと帰りで同じ場所を通るからです。

別の見方では、復路は12 mから6 mまでの6 mを3 m/分で戻るので、復路の開始から2分後です。出発からの時刻へ直すため、停止終了の4分に2分を足します。この見方も距離が復路の範囲内にあるときに使えます。例えば停止中の12 mなら、3分から4分までのどの時刻も条件を満たし、2つの時刻だけに絞ることはできません。

発展例題：遅れて出る台車との位置

同じ基準点から同じ道の上を2台の台車が動きます。Aは0分に出発し、毎分2 mで5分間遠ざかった後、4分間停止し、その後毎分2 mで戻ります。BはAの出発から3分後に同じ基準点を出て、毎分1 mで遠ざかり続けます。Aが基準点へ戻るまでに2台の距離が等しくなる時刻をすべて求めてください。時刻はAの出発からの分数または整数で表します。

まず全体の時計を x 分とします。Aの折れ目は5分後に10 m、9分後にも10 m、14分後に0 mです。Bの走行時間は x − 3 分なので、出発後は距離が x − 3 mです。Bの出発前は基準点で停止しているものとし、その距離は0 mです。時刻の範囲によって比較する式を切り替えます。

Aが遠ざかる間、Bの出発前の 0 ≦ x ≦ 3 では Aが 2x、Bが0です。等しくなるのは x = 0 です。Bの出発後の 3 ≦ x ≦ 5 では、2x = x − 3 を解くと x = -3 となり、この範囲に入りません。したがってこの区間には出発点以外の一致はありません。

Aの停止中は 5 ≦ x ≦ 9 で、Aの距離は10 m、Bの距離は x − 3 mです。10 = x − 3 から x = 13 ですが、停止の範囲外です。式だけを解いて13分後と答えると、Aがすでに戻り始めていることを無視します。

Aの復路は 9 ≦ x ≦ 14 で、距離は 10 − 2(x − 9) mです。Bと等しい条件を解きます。

10 - 2(x - 9) = x - 3
28 - 2x = x - 3
31 = 3x
x = 31/3

31/3 は9以上14以下です。Aの距離は 10 − 2・(4/3) = 22/3 m、Bの距離は 31/3 − 3 = 22/3 mです。両方の場面へ戻して一致を確かめられます。答えは0分後と 31/3 分後です。基準点から同じ側の一本道という条件があるので、距離が等しければ位置も等しくなります。基準点の反対側も動ける場合は、距離が等しくても別の位置になり得ます。

誤りを距離と時間へ戻す

図3のように、距離が8 mの横線を「一定の速さで遠ざかっている」と読んだとします。時刻は4分から6分へ変わっていますが、距離はどちらも8 mです。距離の増加量が0 mなので、この道の条件では台車は停止しています。横線の長さは停止した時間を示し、進んだ距離を示すものではありません。

もう一つの誤りは、基本例題の戻りを y = 12 − 2x とすることです。6分後を入れると y = 0 となり、戻り始めた時点で基準点に着いたことになります。原因は x を戻り始めてからの時間と取り違えたことです。出発からの時刻を使うなら、戻りの経過時間を x − 6 として y = 12 − 2(x − 6) に直します。

区間を無視する間違いもあります。標準例題の復路の式を停止中へ延長して計算すると、実際には動いていない時刻について架空の距離を出します。まず求めた時刻が式の変域に入るかを見ること、その後に元の動きをたどることが修正の順序です。グラフの線分を延ばした点は、必ずしも実際の動きの点ではありません。

自分で確かめる5問

各問の台車は基準点を端とする一本道の同じ側にあり、移動中の速さは一定です。特記のない台車は基準点から出発します。時刻は指定がない限り出発からの経過時間です。答えは整数または分数で表してください。

1. 台車が毎分5 mで2分遠ざかり、3分停止します。停止開始と終了の時刻、停止中の距離を求めてください。
2. 基準点から毎分2 mで7分遠ざかった台車が、毎分7 mで戻ります。戻る区間の距離 y mを出発から x 分を用いて表し、x の変域も示してください。
3. 台車が毎分6 mで3分遠ざかり、2分停止した後、毎分3 mで戻ります。距離が9 mになる時刻をすべて求めてください。
4. 台車が出発から4分後に12 mの位置に達し、7分後まで停止します。その後一定の速さで10分後に基準点に戻ります。各区間の傾きと、停止中の距離の変域を求めてください。
5. Aは基準点から毎分3 mで4分遠ざかった後、毎分2 mで戻ります。BはAの出発から2分後に基準点を出て、毎分1 mで遠ざかります。Bは出発前は基準点で停止しています。Aが戻るまでに2台の距離が等しくなる時刻をすべて求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 停止開始は2分後、終了は5分後、距離は10 mです。5・2 = 10 mで、2 + 3 = 5分です。2分後と5分後は同じ位置なので、その間の線は横線です。

2. 7分後の距離は 2・7 = 14 mです。戻りには 14 ÷ 7 = 2分かかるため、終了は9分後です。式は y = 14 − 7(x − 7)、変域は 7 ≦ x ≦ 9 です。x = 7 で14、x = 9 で0となり、復路の両端と一致します。

3. 往路では 6x = 9 より x = 3/2 です。3分後の距離は18 m、停止終了は5分後です。復路で9 mに達するには9 m戻るので3分かかり、出発から8分後です。答えは 3/2 分後と8分後です。往路は 6・(3/2) = 9 m、復路は 18 − 3・3 = 9 mで、停止中の18 mとは異なります。

4. それぞれの距離の増加量を時間の増加量で割ります。最初は 12 ÷ 4 = 3、停止中は 0 ÷ 3 = 0、戻りは (0 − 12) ÷ (10 − 7) = -4 です。傾きは順に3、0、-4、停止中の距離の変域は y = 12 です。戻りの3分間に毎分4 mずつ12 m減るので、10分後に0 mへ戻ります。

5. Aの復路は4分後から10分後で、距離は 12 − 2(x − 4) です。Bの出発前に等しいのは0分後です。Bの出発後、Aの往路では 3x = x − 2 の解が範囲外です。復路では 12 − 2(x − 4) = x − 2 より 22 = 3x、x = 22/3 です。これは4以上10以下です。Aは 12 − 2・(10/3) = 16/3 m、Bは 22/3 − 2 = 16/3 mとなります。答えは0分後と 22/3 分後です。

要点を手元に

横線は距離が一定の時間帯です。 右下がりは基準点への接近を表します。 区間の式には、その式が使える x の変域を添えます。 遅れて始まる動きは、全体の時刻から開始時刻を引きます。 求めた時刻を範囲と元の距離の両方で確かめます。

説明が止まる場所を見つける

お子さまが横線を「動いている」と読んだら、線の両端の時刻と距離をそれぞれ声に出して比べます。時刻の差と距離の差を別々に書くと、時間は進むのに位置は変わらないことが見えます。右下がりを負の速さと呼んだ場合は、距離の増加量に負号が付き、移動する速さの大きさは正で表すことを確かめます。

個別指導で式を見直すときは、折れ目の座標、各区間の開始時刻、式に入れる経過時間の3か所を順に確認できます。答えだけでなく、端点を代入した値が隣の区間とつながるか、得た時刻がその区間内かを本人の言葉で説明してもらうと、読み違えの位置が明らかになります。線の傾きとその線が使える時間を結びつければ、台車の動きを距離の変化として追えます。