中2数学 一次関数の式の決定—二点の座標を条件として傾きと切片を求める｜武蔵野個別指導塾

二点の座標の組を保って条件を式にし、傾きと切片を決める計算を、それぞれの点への代入まで追えます。

よくあるのは、2点の座標を使って式を作る途中、片方の点のx座標ともう片方の点のy座標を組にしてしまう場面です。たとえば点Aと点Bはそれぞれ別の場所を示します。横の位置と縦の位置を取り替えると、条件にない点を通る式を作ってしまいます。座標を一組ずつ扱い、最後に両方の点を式へ戻せば、この取り違えに気づけます。

与えられたものは何を決めるか

一次関数の式を求める問題には、傾きと通る点が与えられる型、異なるx座標を持つ2点が与えられる型、グラフから2点を読み取る型があります。どの型でも、まず決めるのは傾きと切片です。傾きがわかれば残る切片を1点から求められます。2点が与えられた場合は、先に2点の変化から傾きを求めます。

必要なのは、負の数の引き算、分数の計算、等式の両辺に同じ操作をする方法です。座標は横がx、縦がyの順です。グラフでは目盛りの間隔を確認し、点が示す2つの値を同時に読み取ります。目盛りが書かれていない場所を見た目だけで整数と決めてはいけません。

ここで扱うのは一つの直線の式を条件から決めることです。2本の直線の交点を計算する話には進みません。中学校の第2学年の学習範囲には一次関数が含まれます。

点の組と傾きと切片

一次関数は、a、bを定数として y = ax + b と表される関数です。一次関数では a は0ではありません。aはxが1増えたときのyの増加量で、直線の傾きです。bはx = 0のときのyの値で、y軸との交点のy座標、つまり切片です。bは0でもかまいません。

点 (x, y) がグラフ上にあるとは、その点のx座標とy座標を同じ式に入れたとき、等式が成り立つことです。図1のように、点Aの横と縦は一組として代入します。点Bも同様です。Aの横とBの縦を混ぜた組は、一般にはAでもBでもありません。

図1の例ではAは (1, 3)、Bは (3, 7) です。Aを使うと 3 = a + b、Bを使うと 7 = 3a + b となります。各点から1本ずつ条件が生まれます。2つの式を引くと切片が消え、4 = 2a です。したがって a = 2、続いて b = 1 と決まります。

同じことを変化で見ると、AからBへxは2増え、yは4増えます。xが1増えるあたりのyの増加量は 4/2 = 2 です。傾きは「yの増加量 ÷ xの増加量」で求められます。引く順番を逆にしても、yの差は -4、xの差は -2 となり、商は同じ2です。上と下で引く順番をそろえることが必要です。

2点のx座標が同じならxの増加量は0で、0では割れません。さらにy座標が異なると、同じxに異なる2つのyが対応するため、両方を通る y = ax + b はありません。2点が完全に同じなら条件は実質1点分で、傾きを決められません。異なるx座標という条件には、計算と式の決定の両方の意味があります。

基本例題：傾きが先にあるとき

傾きが3で、点 (2, 8) を通る一次関数の式を求めます。答えは y = ax + b の形にします。図2のように点の横と縦を一組で使います。

図2では右へ1進むと上へ3進むことを示しています。傾きが3なので、まず y = 3x + b と置きます。点 (2, 8) を通る条件は x = 2のとき y = 8 という意味です。両方を同じ式に入れてbを求めます。

8 = 3・2 + b
8 = 6 + b
8 - 6 = b
b = 2
y = 3x + 2

最後に元の条件へ戻します。x = 2を入れると y = 3・2 + 2 = 8 です。またxが1増えると3xの部分が3増え、定数の2は変わらないので、傾きも3です。点と傾きの両方を確かめました。

切片を点のy座標の8とする誤りには注意します。切片はxが0の場所のy座標です。与えられた点のx座標は2なので、そのy座標をそのまま切片にはできません。点から左へ2戻るとyは6下がり、y軸上の値は2になります。代入の計算と図の読みが同じ結論を示します。

2点から決める標準例題

点 (-2, 5) と点 (4, -7) を通る一次関数の式を y = ax + b の形で求めます。2点のx座標は異なるので、xの差を分母にして傾きを求められます。後の点から前の点を引く順にそろえます。

xの増加量 = 4 - (-2)
xの増加量 = 6
yの増加量 = -7 - 5
yの増加量 = -12
a = -12/6
a = -2

xが6増える間にyが12減るため、右に進むと下がる直線です。傾きが負という結果はこの向きと合います。次に y = -2x + b に、例えば (-2, 5) を代入します。

5 = -2・(-2) + b
5 = 4 + b
b = 1
y = -2x + 1

もう一方の点も条件に戻します。x = 4なら y = -2・4 + 1 = -7、x = -2なら y = -2・(-2) + 1 = 5 です。2点の座標の組がともに成立します。傾きだけ合っていても切片が違えば、平行な別の直線になるため、両点の代入まで行います。

別の方法では、最初に y = ax + b と置き、2点を代入して 5 = -2a + b、-7 = 4a + b を得ます。後の式から前の式を引くと -12 = 6a なので a = -2 です。差を取る方法はこの連立方程式からbを消す操作と同じです。どちらを使っても、2点の差を対応させる必要があります。

発展例題：分数と条件の分かれ目

点 (1, -2) と点 (5, 1) を通る一次関数の式を、係数を正確な分数で表して求めます。後の点から前の点を引くと、xは4増え、yは3増えます。傾きは 3/4 です。小数に丸める必要はありません。

a = (1 - (-2))/(5 - 1)
a = 3/4
y = (3/4)x + b
-2 = (3/4)・1 + b
-2 - 3/4 = b
b = -11/4
y = (3/4)x - 11/4

元の点へ戻すと、x = 1では 3/4 − 11/4 = -8/4 = -2、x = 5では 15/4 − 11/4 = 4/4 = 1 です。分数を正確に扱うと、丸めによるずれを持ち込まずに両条件を確かめられます。

ここで、2点のy座標が等しく、x座標が異なる場合も考えます。yの増加量は0なので傾きは0です。その2点を通るグラフは横向きの直線ですが、aが0でない一次関数という条件には合いません。一方、x座標が同じでy座標が異なる場合は、傾きの計算で0を分母にすることになり、式を作れません。傾きが0である場合と、傾きをこの方法で定められない場合は別です。

グラフから2点を読む問題でも、最初に目盛りを調べて座標を組で書いてから計算します。斜めの線の見た目だけで傾きを判断すると、横軸と縦軸の目盛りが異なる図では誤ります。切片を図から直接読める場合もありますが、正確な値が示されていなければ、確実に読める2点の座標を使う方が条件を追いやすくなります。

同じ条件を別の点から使う

発展例題では最初の点から切片を求めましたが、後の点 (5, 1) を使っても同じ切片になります。傾きが 3/4 と決まっていれば、次のように計算できます。

1 = (3/4)・5 + b
1 = 15/4 + b
b = 4/4 - 15/4
b = -11/4

2つの点から異なる切片が出たときは、どちらかの代入、または傾きの計算に誤りがあります。例えば傾きを求める際にyの差を逆向きにしてしまうと、片方の点を通る式は作れても、もう片方の点の条件を満たしません。別の点で切片を求め直す方法は、計算経路を変えて確かめたいときに役立ちます。

ただし、同じ点を2回使っても新しい条件は増えません。傾きが与えられていない場合は、異なるx座標の2点から変化を求める必要があります。点を選ぶ段階で、横の値に違いがあるか先に見ておきます。

誤答を条件へ戻して直す

図3のように、点A (1, 3) と点B (3, 7) の条件から、横1と縦7を組み合わせて (1, 7) を作ってしまう誤答を考えます。これは与えられたどちらの点でもありません。AとBを別々に囲み、各点のxとyを同じ組のまま書いてから式に入れます。正しい2点を使えば傾きは2、切片は1です。

図3の誤った組は、数字が元の条件に含まれていても、新しい点の条件を勝手に作っています。出来上がった式にAとBをそれぞれ代入して、両方を通るか確かめると、混ぜたことによる食い違いを発見できます。片方の点しか確かめなければ、もう片方を通らない式を見逃すことがあります。

別の誤りは、傾きの分子と分母で差の順序を逆にすることです。AからBへのyの差を 7 − 3 としたのに、xの差を 1 − 3 とすると -2 となり、傾きを -2 と誤ります。正しくは (7 − 3)/(3 − 1) = 2 です。両方ともAからBにそろえるか、両方ともBからAにそろえます。増減の向きも見れば、右上がりなのに負の傾きになった間違いを点検できます。

さらに、傾きだけを求めて y = 2x と答えると、切片が未確認です。原点を通ると問題に書かれていない限り、切片が0とは限りません。点を代入してbを決め、最後の式が与えられた条件に戻るか調べます。計算の途中で符号を間違えた場合も、どちらの点で等式が崩れるかを見れば、傾きと切片のどちらを先に調べ直すか判断できます。

練習：条件から式を作る

次の5問はそれぞれ独立しています。式はすべて y = ax + b の形で答え、分数は約分して表してください。一次関数にならないときはその理由を答えます。

1. 傾きが -4 で、点 (2, -5) を通る一次関数の式を求めます。
2. 点 (0, 6) と点 (3, 0) を通る一次関数の式を求めます。
3. 点 (-3, -1) と点 (1, 7) を通る一次関数の式を求めます。
4. 点 (2, 4) と点 (8, 5) を通る一次関数の式を求めます。
5. 点 (4, 2) と点 (4, -3) の両方を通る一次関数があるか答えます。

練習の答えと確かめ

1. 傾きと一点

傾きから y = -4x + b と置きます。点 (2, -5) を代入します。

-5 = -4・2 + b
-5 = -8 + b
b = 3
y = -4x + 3

x = 2なら -8 + 3 = -5 となり、指定された点を通ります。xを1増やすとyは4減るので、傾きも -4 です。点のy座標をそのまま切片にするのではなく、傾きによる分を引いてbを取り出しています。

2. y軸上の点を使う

(0, 6) があるため切片は6です。もう1点との差から傾きを求めます。

a = (0 - 6)/(3 - 0)
a = -2
y = -2x + 6

x = 0ではy = 6、x = 3ではy = -6 + 6 = 0 です。2点の両方に戻ります。切片が直接読めるのは、その点のx座標が0だからです。

3. 負の座標を含む2点

a = (7 - (-1))/(1 - (-3))
a = 8/4
a = 2
7 = 2・1 + b
b = 5
y = 2x + 5

x = -3では -6 + 5 = -1、x = 1では 2 + 5 = 7 です。引き算の括弧を残して書くと、負の数を引く際の符号を追いやすくなります。計算後は2組の座標をそれぞれ式に戻します。

4. 傾きが分数の2点

a = (5 - 4)/(8 - 2)
a = 1/6
4 = (1/6)・2 + b
4 = 1/3 + b
b = 11/3
y = (1/6)x + 11/3

x = 2では 1/3 + 11/3 = 4、x = 8では 4/3 + 11/3 = 5 です。どちらも元の座標に戻ります。切片を求めるときは4を 12/3 として引き、分数のまま計算できます。

5. 同じxに異なるyがある場合

両方を通る一次関数はありません。x = 4のとき、式 y = 4a + b の値は一つに決まるからです。その値が2と -3の両方になることはありません。差を使おうとしてもxの差が0なので割れず、計算できない理由と関数の条件が一致します。

手元に残す要点

• 座標は同じ点のxとyを一組にして代入します。
• 異なるx座標の2点では、差を同じ順に取り、yの差をxの差で割ります。
• 傾きを求めたら1点を使って切片を決めます。
• 求めた式に与えられた点をそれぞれ戻し、傾きも確認します。
• xの差が0の場合や傾きが0の場合は、一次関数の条件を調べます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが答えを違えたときは、まず2点の座標を読み取った行を見ます。そこで組が混ざっていれば、図の各点から横軸と縦軸へたどり、同じ点の値を囲んで書き直します。座標は正しいのに傾きの符号が違うなら、2つの差の引く順と、グラフの増減の向きを照らします。

個別指導で確かめる箇所は、式を作る前の座標の組、傾きの分子と分母、点を代入した1行、最後に両点を戻した等式です。答えだけを直すのではなく、どの条件をどの行に使ったかを説明してもらうと、次の問題でも自分で点検できます。条件の一つひとつが式の傾きと切片に結びつきます。