高校数学II 上下が入れ替わる面積—複数の交点で分割して領域を数え直す｜武蔵野個別指導塾

三次曲線と直線の3交点で上下を調べ、正負を相殺せず面積を求める鍵は領域分割です。

よくあるのは、三次曲線と直線でできた離れた2つの領域を求めるとき、左の領域の積分値と右の領域の積分値が相殺されてしまう場面です。計算が0になっても、図には広がりが残っています。どこで曲線と直線の上下が変わるかを先に調べ、領域ごとに正の面積として数え直しましょう。

最初に見分けたい2つの問い

三次関数の曲線と直線が3つの異なる点で交わると、通常は隣り合う交点の間に2つの領域ができます。求めるものが「2つの面積の和」なのか、「左右の面積が等しくなる条件」なのかを確認します。前者なら各領域を足します。後者なら各面積を別々の式で表してから等式を作ります。最初から1つの定積分にまとめると、必要な情報が消えてしまいます。

問題に端の位置が指定される場合は、その位置も分割の候補です。交点が区間の外にあれば、区間の中の上下を変える境界には使いません。逆に、交点が区間の内部にあってそこで上下が入れ替われば、そこで分ける必要があります。交点の x 座標を小さい順に並べることが、積分区間を決める準備です。

差の符号を高さに変える

曲線を y = f(x)、直線を y = g(x) とし、両方が考える閉区間で連続だとします。三次の多項式と直線はこの条件を満たします。同じ x における縦の距離は、上側の値から下側の値を引いたものです。f(x) − g(x) が正なら f が上、負なら g が上です。等しい点では縦の距離は0です。

図1のように、交点の x 座標を a、b、c とし、a < b < c とします。a と b の間で f が上、b と c の間で g が上なら、それぞれの面積 A、B と全体 S は次のようになります。

A = ∫[a→b] {f(x) - g(x)} dx
B = ∫[b→c] {g(x) - f(x)} dx
S = A + B

図1の左では f − g、右では g − f が正の高さです。積分する式はどちらの領域でも上から下を引き、積分区間は左端から右端に進めます。ここでの定積分は連続な関数について、原始関数の上端の値から下端の値を引いて求めます。

差をひとまとめに ∫[a→c] {f(x) − g(x)} dx と計算すること自体はできます。ただしその値は A − B であり、一般には面積の和ではありません。負の部分も含む定積分は向きを持った量です。面積の和に直す操作は、領域の高さを非負にしてから積分することです。計算の最後に積分値全体の絶対値を取っても、途中で相殺された分は戻りません。

上下関係は、図の見た目に頼らず差を因数分解して確かめます。異なる交点の間では差が0にならず、連続なので符号は変わりません。その区間の適当な1点を代入すれば判定できます。交点が重なった場合は符号が変わらないこともあるため、交点の個数だけで上下を決めないようにします。

基本例題：相殺される2つの領域

曲線 y = x³ − 3x² + 4 と直線 y = x + 1 で囲まれる2つの領域について、それぞれの面積とその和を分数または整数で求めます。

まず差を作り、交点の x 座標を求めます。

f(x) - g(x) = x³ - 3x² - x + 3
              = (x + 1)(x - 1)(x - 3)
f(x) - g(x) = 0 より x = -1, 1, 3

図2のように、交点は左から -1、1、3 です。x = 0 では差が3なので左の領域は曲線が上です。x = 2 では差が -3 なので右の領域は直線が上です。3つの零点以外で差は0にならないため、この判定が各区間全体に及びます。

図2の左の面積を A、右を B とします。差の原始関数の1つを F(x) と置き、端の値を別々に計算します。

F(x) = x⁴/4 - x³ - x²/2 + 3x
F(-1) = 1/4 + 1 - 1/2 - 3
       = -9/4
F(1) = 1/4 - 1 - 1/2 + 3
      = 7/4
F(3) = 81/4 - 27 - 9/2 + 9
      = -9/4

左は差そのもの、右は差の符号を反転したものを積分します。

A = ∫[-1→1] {f(x) - g(x)} dx
  = F(1) - F(-1)
  = 7/4 - (-9/4)
  = 4
B = ∫[1→3] {g(x) - f(x)} dx
  = -{F(3) - F(1)}
  = -{-9/4 - 7/4}
  = 4
S = 4 + 4
  = 8

それぞれ4、和は8です。交点で曲線と直線の値が一致し、各区間の内部では差の符号が上の判定と一致します。したがって2つの正の領域を1回ずつ数えています。全区間で差を積分すると F(3) − F(-1) = 0 ですが、これは左の4と右の -4 の和です。面積が0という意味にはなりません。

標準例題：幅も面積も異なる場合

曲線 y = x³ + x² − x + 2 と直線 y = x + 2 で囲まれる2つの領域の面積とその和を分数で求めます。

差の式を解き、領域の端を決めます。

f(x) - g(x) = x³ + x² - 2x
              = x(x + 2)(x - 1)
f(x) - g(x) = 0 より x = -2, 0, 1

-2 < x < 0 では、3つの因子の符号は順に負、正、負ですから差は正です。0 < x < 1 では、正、正、負なので差は負です。零点で高さは0となり、その間で上下が入れ替わります。左の幅は2、右の幅は1ですが、面積は幅だけでなく各位置の高さも積み重ねて決まります。

F(x) = x⁴/4 + x³/3 - x²
F(-2) = 16/4 - 8/3 - 4
       = -8/3
F(0) = 0
F(1) = 1/4 + 1/3 - 1
      = -5/12
A = F(0) - F(-2)
  = 8/3
B = -{F(1) - F(0)}
  = 5/12
S = 8/3 + 5/12
  = 37/12

左の面積は 8/3、右は 5/12、和は 37/12 です。元の2式に x = -2、0、1 を代入すると、各点で値が一致します。各区間の差の符号と積分の向きも確認できたので、和に負の面積は混ざっていません。差を全区間でそのまま積分した 9/4 は、面積の差であって求める和ではありません。

発展例題：左右の面積が等しい交点の位置

実数 t > 0 とします。曲線 y = x + 2 + x(x + 2)(x − t) と直線 y = x + 2 が囲む2つの領域の面積が等しいとき、t を求めます。答えは整数で表します。

差は x(x + 2)(x − t) です。t > 0 により交点の x 座標は -2、0、t の順で、3点は異なります。-2 < x < 0 では差は正、0 < x < t では負です。よって左の面積は差をそのまま積分し、右の面積は差の符号を変えて積分します。

x(x + 2)(x - t) = x³ + (2 - t)x² - 2tx
F(x) = x⁴/4 + (2 - t)x³/3 - tx²
F(-2) = 4 - 8(2 - t)/3 - 4t
       = -4(1 + t)/3
F(0) = 0
F(t) = t⁴/4 + (2 - t)t³/3 - t³
     = -t⁴/12 - t³/3

したがって左の面積 A、右の面積 B は次の通りです。

A = F(0) - F(-2)
  = 4(1 + t)/3
B = -{F(t) - F(0)}
  = t³(t + 4)/12

面積が等しいという条件を使います。

4(1 + t)/3 = t³(t + 4)/12
16(1 + t) = t⁴ + 4t³
t⁴ + 4t³ - 16t - 16 = 0
(t - 2)(t + 2)³ = 0

t > 0 なので t + 2 は正です。よって t = 2 です。候補を元の条件に戻すと、交点は -2、0、2 で互いに異なり、A = 4、B = 4 となります。面積が等しいことも確かめられました。因数 t + 2 = 0 から得る t = -2 は、指定された範囲の外です。t = 0 も領域の端が重なり、最初の t > 0 に含まれません。

文字を含む問題では、式を解いた後の範囲確認が欠かせません。交点の順序を決めた条件が変わると、積分する区間や符号も変わるからです。この問題では正の t に限ることで、計算の最初から最後まで同じ順序を使えます。

誤答を直す：全体の絶対値では戻せない

基本例題で、次のように計算して面積を0とする誤答を考えます。

∫[-1→3] {f(x) - g(x)} dx = 0
面積 = |0| = 0

定積分の計算は正しくても、面積への読み替えが誤りです。図3のように、左の積分値 4 と右の積分値 -4 は和を取ると消えます。図に残る2つの領域は、それぞれ正の広がりを持っています。

図3の修正では、右の符号付きの値を面積 4 に直し、左の面積と足します。必要なのは各区間の値の絶対値の和であり、全区間の積分値の絶対値ではありません。標準例題でも、|8/3 − 5/12| = 9/4 と 8/3 + 5/12 = 37/12 は一致しません。

もう1つの誤りは、3交点を求めた後に真ん中の交点を分割点から落とすことです。交点を答えの候補として列挙するだけでは、上下が変わるという情報が積分に反映されません。各区間の試しの値を1つずつ差に入れ、正なら f − g、負なら g − f と式の横に書き添えると修正できます。端が接点になり符号が変わらないときも、符号を実際に調べれば不要な反転を避けられます。

練習：交点から面積まで

次の5問はそれぞれ独立です。いずれも2曲線で囲まれる2つの領域の面積を別々に求め、最後にその和を分数または整数で答えてください。

1. 曲線 y = x + 3 + x(x − 1)(x − 3) と直線 y = x + 3。
2. 曲線 y = 2x − 1 + (x + 3)(x + 1)(x − 2) と直線 y = 2x − 1。
3. 曲線 y = -x + 4 + 2(x + 2)(x − 1)(x − 2) と直線 y = -x + 4。
4. 曲線 y = 3x + 2 + x(x + 1)(x − 2) と直線 y = 3x + 2。
5. 曲線 y = -2x + 1 + x(x − 2)(x − 3) と直線 y = -2x + 1。

練習の答えと道筋

1. 差は x(x − 1)(x − 3) なので交点の x 座標は 0、1、3 です。左で差は正、右で負です。原始関数を F として計算します。

f(x) - g(x) = x³ - 4x² + 3x
F(x) = x⁴/4 - 4x³/3 + 3x²/2
F(0) = 0
F(1) = 5/12
F(3) = -9/4
A = F(1) - F(0) = 5/12
B = -{F(3) - F(1)} = 8/3
S = 5/12 + 8/3 = 37/12

因数から3点で元の2式が等しく、各区間内の符号が積分の向きと合います。

2. 差の零点は -3、-1、2 です。-3 と -1 の間で差は正、-1 と 2 の間で負です。

f(x) - g(x) = x³ + 2x² - 5x - 6
F(x) = x⁴/4 + 2x³/3 - 5x²/2 - 6x
F(-3) = -9/4
F(-1) = 37/12
F(2) = -38/3
A = F(-1) - F(-3) = 16/3
B = -{F(2) - F(-1)} = 63/4
S = 16/3 + 63/4 = 253/12

3つの座標で差が0になり、それぞれの内側で高さが正となる向きで積分しています。両領域を足した答えも正です。

3. 零点は -2、1、2 です。係数2は正なので、差の符号は左の領域で正、右で負です。

f(x) - g(x) = 2x³ - 2x² - 8x + 8
F(x) = x⁴/2 - 2x³/3 - 4x² + 8x
F(-2) = -56/3
F(1) = 23/6
F(2) = 8/3
A = F(1) - F(-2) = 45/2
B = -{F(2) - F(1)} = 7/6
S = 45/2 + 7/6 = 71/3

元の式の差は3つの端で0です。係数2を展開にも原始関数にも反映したことを、各行で確かめます。

4. 零点は -1、0、2 です。左で差は正、右で負です。

f(x) - g(x) = x³ - x² - 2x
F(x) = x⁴/4 - x³/3 - x²
F(-1) = -5/12
F(0) = 0
F(2) = -8/3
A = F(0) - F(-1) = 5/12
B = -{F(2) - F(0)} = 8/3
S = 5/12 + 8/3 = 37/12

3つの端で2式が一致し、差の符号を反転するのは右側だけです。

5. 零点は 0、2、3 です。左で差は正、右で負です。

f(x) - g(x) = x³ - 5x² + 6x
F(x) = x⁴/4 - 5x³/3 + 3x²
F(0) = 0
F(2) = 8/3
F(3) = 9/4
A = F(2) - F(0) = 8/3
B = -{F(3) - F(2)} = 5/12
S = 8/3 + 5/12 = 37/12

元の2式は 0、2、3 で交わり、2つの面積はいずれも正です。同じ和が別の問題に現れても、交点と各領域の面積が同じとは限りません。

手元に残す要点

交点を小さい順に並べ、差の符号を区間ごとに調べます。 上側から下側を引いた高さを、左端から右端まで積分します。 求める領域ごとの正の面積を足し、相殺と区別します。 文字がある場合は交点の順序を保証する条件に答えを戻します。

つまずきを見つけるための問い

答えが0や負になったときは、まず積分計算のやり直しに入る前に、求めた数が何を表すかを確認します。「この区間ではどちらの曲線が上ですか」「その差は途中の点で正ですか」と声に出して説明できれば、式と図のずれを見つけやすくなります。面積の和を求めるのに差の積分を一度しか書いていなければ、真ん中の交点を境に2つの高さを書き直しましょう。

個別指導で確認するときは、交点の順序、各区間で代入した値、上から下を引いた式を順番に示してみてください。符号の判定は合っているのに答えが違う場合は、原始関数の下端への代入を括弧で残して点検します。図の領域と積分の区間を1対1で対応させれば、離れた部分を数え落とさずに済みます。