中2数学 連立方程式の速さ—出会いと追いつきで時間の基準をそろえて立式する｜武蔵野個別指導塾

模型車の出会いと追いつきで、出発時刻の違いを考えて解く鍵は連立方程式の速さです。

よくあるのは、2台の模型車の出発時刻が違うのに、出会うまでの走行時間を同じにして式を立てる場面です。同じ時刻に出会っても、後から出た車の走行時間は短くなります。時計の時刻と、車が走った時間を分けると、この違いを式に移せます。ここでは2台がそれぞれ一定の速さで、途中に停止せずに走る場合を考えます。

二つの距離条件を探す

出会いの問題では、向かい合って進んだ2台の道のりの和が、出発地点の間隔になります。追いつきの問題では、後ろの車の道のりが、先に進んでいた車の道のりと出発地点の間隔の和になります。いずれも、比べるのは同じ時刻の位置です。

出方には、同時に出る型、片方が遅れて出る型、出会いと追いつきの条件を組み合わせる型があります。2つの未知の速さを決めるには、条件ごとに距離の関係を作り、2本の式を連立します。単位をそろえ、道のりは速さに時間を掛けて表します。距離がm、時間が分なら速さは分速何mかで表します。

扱うのは走行中の距離から速さを定める問題です。停止や折り返しを含む区間のグラフの読み取りには進みません。連立方程式の計算だけでなく、2つの条件を同じ時刻の位置に戻して説明できることを目標にします。

時刻と走行時間を分ける

速さは単位時間あたりに進む道のりです。一定の速さなら、道のりは「速さ・走行時間」で求められます。時刻はいつかを示し、走行時間は出発から何分走ったかを示します。後の車が先の車より2分遅れて出発したなら、先の車の出発から7分後には、後の車は5分間走っています。

図1のように、先の車の出発を時刻0と置くと、後の車の出発は時刻2、比較する時刻は7です。各車の走行時間は終わりの時刻からその車の出発時刻を引いて求めます。時刻7を両車の走行時間にするのではありません。

図1では横の長さが時間を表します。先の車は0から7まで、後の車は2から7までです。どちらも同じ時刻に位置を比べますが、出発点が異なるので横の長さが違います。後の車の出発を時刻0に選んでもかまいません。その場合、比較時刻は5、先の車の出発はその2分前で、走行時間はやはり7分です。

向かい合う出会いでは、それぞれの道のりを端から並べると出発地点の間隔になります。追いつきでは2台が同じ向きに進み、後ろの車が先の車の出発点までの間隔も走ります。したがって「後ろの道のり − 先の道のり = はじめの間隔」です。差を逆にすると、正の間隔と合いません。

基本例題：同時に出て出会う

間隔が540mの一直線のコースの両端から、模型車AとBが同時に向かい合って出発し、3分後に出会いました。別の走行では同じ2台が同じ向きに同時に出発し、BがAの120m後ろから走って6分後に追いつきました。2台はそれぞれ一定の速さで停止せずに走ります。A、Bの速さを分速何mかで求めてください。

Aの速さを分速x m、Bの速さを分速y mとします。図2のように、出会うまでにAは3x m、Bは3y m進み、その和が540mです。追いつくまでにはAが6x m、Bが6y m進み、BはAより120m多く走ります。

図2の上段は出会い、下段は追いつきです。矢印は進む向きを表します。文章の2つの走行を混ぜず、それぞれの出発と比較の時刻を対応させます。

3x + 3y = 540
6y - 6x = 120

1本目を3で、2本目を6で割ると、次のようになります。どちらも0でない数で両辺を割っています。

x + y = 180
-y + x = -20
2x = 160
x = 80
80 + y = 180
y = 100

2本目の符号をそろえて加えるとyが消えます。答えはAが分速80m、Bが分速100mです。出会いでは3分に240mと300m進み、和は540mです。追いつきでは6分に480mと600m進み、差は120mです。どちらの場面にも戻り、速さが正であることも確かめられます。

標準例題：遅れて出た車と出会う

2台の模型車C、Dが630m離れた両端から向かい合って走ります。Cが出発してから2分後にDが出発し、Cの出発から5分後に出会いました。別の走行では2台が同時に向かい合って出発し、4分後に560m離れた両端の間で出会いました。どちらも一定の速さで停止しません。C、Dの速さを分速何mかで求めてください。

Cを分速x m、Dを分速y mとします。1回目はCが5分走る間にDは5 − 2 = 3分走るので、5x + 3y = 630です。2回目は両方4分走るので、4x + 4y = 560です。

5x + 3y = 630
4x + 4y = 560
x + y = 140
3x + 3y = 420
2x = 210
x = 105
105 + y = 140
y = 35

Cは分速105m、Dは分速35mです。1回目の道のりは525mと105mで、和は630mです。2回目は420mと140mで、和は560mです。1回目にDも5分走ったとすると、Dが出発する前の2分を余分に数えてしまいます。

別の見方では、1回目の出会いまで5分間、両車が走ったといったん考えます。実際にはDの2分分がないので、5x + 5y − 2y = 630です。整理すると同じ式になります。ただし、この補正はDの出発後に出会うという条件を使っています。出会いがDの出発前なら、Dの走行時間を5 − 2として扱うことはできません。

発展例題：出会いと遅れての追いつき

模型車E、Fはそれぞれ一定の速さで停止せず走ります。1回目は720m離れた両端から同時に向かい合って出発し、4分後に出会いました。2回目は同じ向きで、FがEの100m後ろからEより1分遅れて出発し、Fの出発から5分後にEに追いつきました。E、Fの速さを分速何mかで求めてください。

Eを分速x m、Fを分速y mとします。1回目の条件は4x + 4y = 720です。2回目の比較時刻をFの出発から5分後とすると、Eは1 + 5 = 6分、Fは5分走っています。Fの道のりはEの道のりより100m長いので、5y − 6x = 100です。

4x + 4y = 720
5y - 6x = 100
x + y = 180
y = 180 - x
5(180 - x) - 6x = 100
900 - 11x = 100
11x = 800
x = 800/11
y = 1180/11

Eは分速800/11 m、Fは分速1180/11 mです。分数のまま確かめます。1回目は両車の道のりの和が4・(800/11 + 1180/11) = 720mです。2回目はFが5900/11 m、Eが4800/11 m進み、その差は100mです。Fの速さはEより大きく、後ろから追いつく状況にも合います。

分かれ目は「5分後」がどの出発を基準とするかです。Fの出発から5分後ならEは6分走ります。Eの出発から5分後という別の条件なら、Fの走行時間は4分です。同じ数字でも言葉が違えば式は変わります。速さの差に共通の時間を掛ける方法は、同時に走り始めた区間には使えますが、先に走った1分間の距離を無視してはいけません。

誤答から距離の関係を直す

図3のように、先の車が2分早く出て、先の車の出発から7分後に出会うとします。後の車の走行時間を7分とする誤答では、出発していない2分まで走ったことになります。比較時刻7から出発時刻2を引き、5分に直します。速さを掛ける前に時間を直すと、余分な距離を作らずに済みます。

もう一つの誤解は、追いつきで両車の道のりを足して初めの間隔にすることです。後ろの車は先の車の出発点までの間隔と、その先の先行車の道のりを走ります。たとえば先行車が300m、後続車が450m進んで追いついたなら、初めの間隔は和の750mではなく差の150mです。図3の時間の訂正と同様、どの量を比較しているかを先に言葉で置きます。

出会いでも、和を使えるのは両車が向かい合い、出発地点の間で出会う場合です。同じ向きの2台なら、そのまま和を使えません。式を作る前に矢印を描き、出発点と出会う位置を並べると判断できます。

練習：5つの走行を読み分ける

各問の模型車はそれぞれ一定の速さで走り、途中で停止しません。速さは分速何mか、分数になれば約分した分数で答えてください。別の走行でも同じ名前の車は同じ速さです。

1. G、Hは660m離れた両端から同時に向かい合って出発し、3分後に出会いました。別の走行では同じ向きに同時に出発し、HがGの80m後ろから4分後に追いつきました。両車の速さを求めてください。
2. J、Kは700m離れた両端から向かい合って走ります。Jが出て1分後にKが出発し、Jの出発から4分後に出会いました。別の走行では同時に向かい合って出発し、3分後に570m離れた両端の間で出会いました。両車の速さを求めてください。
3. L、Mは同時に向かい合って出発し、5分後に850m離れた両端の間で出会いました。別の走行でMはLの60m後ろからLより2分遅れて同じ向きに出発し、Mの出発から4分後に追いつきました。両車の速さを求めてください。
4. N、Pは同時に向かい合って出発し、2分後に360m離れた両端の間で出会いました。別の走行でPはNの90m後ろから同時に同じ向きに出発し、3分後に追いつきました。両車の速さを求めてください。
5. Q、Rは480m離れた両端から向かい合って走ります。Qが出て2分後にRが出発し、Qの出発から4分後に出会いました。別の走行では同時に向かい合って出発し、5分後に800m離れた両端の間で出会いました。両車の速さを求めてください。

練習の答えと戻し方

1. Gをx、Hをyとすると、3x + 3y = 660、4y − 4x = 80です。x + y = 220、y − x = 20からx = 100、y = 120です。Gは分速100m、Hは分速120mです。出会いの道のりは300mと360mで和が660m、追いつきでは400mと480mで差が80mです。

2. Jをx、Kをyとすると、Kの1回目の走行時間は3分です。4x + 3y = 700、3x + 3y = 570を引いてx = 130、これを後の式に入れてy = 60です。Jは分速130m、Kは分速60mです。1回目の520mと180mの和は700m、2回目の390mと180mの和は570mです。

3. Lをx、Mをyとすると、5x + 5y = 850です。追いつきではLが6分、Mが4分走るので、4y − 6x = 60です。x + y = 170を使い、4(170 − x) − 6x = 60、10x = 620、x = 62、y = 108となります。Lは分速62m、Mは分速108mです。出会いでは310mと540mの和が850m、追いつきでは432mと372mの差が60mです。

4. Nをx、Pをyとすると、2x + 2y = 360、3y − 3x = 90です。x + y = 180、y − x = 30からx = 75、y = 105です。Nは分速75m、Pは分速105mです。出会いでは150mと210mの和が360m、追いつきでは315mと225mの差が90mです。

5. Qをx、Rをyとすると、1回目のRの走行時間は2分です。4x + 2y = 480、5x + 5y = 800より、2x + y = 240、x + y = 160です。差を取ってx = 80、y = 80です。両車とも分速80mです。1回目は320mと160mで和が480m、2回目は400mずつで和が800mです。向かい合う出会いでは、同じ速さでも出会えます。

覚えておくこと

• 時刻の基準を決め、各車の出発からの時間を出します。
• 出会いでは、向かい合う2台の道のりの和を使います。
• 追いつきでは、後続と先行の道のりの差を使います。
• 解いた速さを両方の走行へ戻します。

どこで迷ったかを見分ける

式を見て時間の係数が違っていたら、まず計算を直す前に「いつからいつまで走ったか」を尋ねます。時刻の線に出発と比較の印を付けられるなら、引き算と各車の対応を確かめます。時間が合っていて距離の式が違う場合は、進む向きと出発地点を描き、和か差かを説明してもらいます。

個別指導で確認するときは、2本の式をそれぞれ別の走行に戻し、各項がどの車の何分間の道のりかを指せるかを見ます。計算結果が正しくても、一方の条件にしか戻していなければ、もう一方の道のりも計算します。お子さまが迷った場所を時間、距離の関係、計算のどこかに分けると、次に確かめる一行が見えてきます。時間の基準をそろえることが、2台の速さを結ぶ式の出発点です。