中2数学 連立方程式の個数と代金—二種類の量を表に分けて答えの意味を確かめる｜武蔵野個別指導塾

花苗の数量表から個数と代金の二条件を式にし、計算結果を元の場面に戻して点検する筋道をたどります。

よくあるのは、2種類の花苗の代金を計算すると合計金額に合うのに、苗の合計個数が問題の条件と違っている場面です。金額が合ったことは大事な確認ですが、個数の条件まで満たした証拠にはなりません。どの苗を何個としたのか、1個の値段と個数をどう結んだのかを表に戻してみます。2つの条件をそれぞれ式にし、求めた数を両方の条件へ戻すところまでたどります。

個数と金額は別々の手がかり

花苗が2種類あるとき、出方にはいくつかの型があります。1つ目は、それぞれの1個の値段と合計個数、合計代金から各種類の個数を求める型です。2つ目は、一方が他方より何個多いかという条件と代金を組み合わせる型です。3つ目は、合計個数と代金が与えられ、条件に合う購入が可能かまで判断する型です。どの型でも、個数を表す式と円を表す式を混ぜずに作ります。

必要なのは、文字で数量を表すことと、2つの等式を同時に満たす組を求めることです。連立方程式の解は、片方の式を満たす数の組ではなく、両方を同時に満たす数の組です。さらに文章題では、解が苗の個数として使えるかも確かめます。苗を分けずに買う設定なら、個数は0以上の整数です。

ここで扱うのは、値段が決まった2種類の花苗の個数と代金です。値段が途中で変わる場合や、代金以外の複雑な条件は考えません。中学校第2学年の連立方程式の学習範囲に沿って、式と場面との対応を確かめます。

数量表の縦と横を読む

花苗Aをx個、花苗Bをy個とします。Aが1個120円、Bが1個200円なら、Aの代金は120x円、Bの代金は200y円です。1個あたりの円に個数を掛けると、その種類の代金になります。たとえばAが3個なら120・3で360円です。120に足す数ではなく、120円のまとまりが3つあると考えます。

図1のように、個数の列は個数どうし、代金の列は代金どうしを合計します。xと120xは同じ文字を含んでも、前者は個、後者は円を表します。単位を意識すれば、個数の合計として120x + 200yを書く誤りに気づけます。

図1では、合計個数をN個、合計代金をT円と置いています。個数の条件はx + y = N、代金の条件は120x + 200y = Tです。NとTは、それぞれの問題で与えられた数字に置き換えます。合計の列に単位を書き、どの行の合計かを指で追えるようにすると、条件の取り違えを防げます。

2つの式を作る理由は、2つの異なる情報を残すためです。個数の式だけなら、同じ合計個数になる組は複数考えられます。代金の式だけでも、異なる個数の組が同じ代金になることがあります。両方を満たす組を探すことで、購入の条件を同時に扱えます。

式を立てる前に、文字が何を表すかを明記しましょう。xをAの個数とした後で、代金の式ではBの個数として使うと、計算が正しくても答えは場面に戻せません。表の行を最後まで固定することが、計算と文章をつなぐ支えになります。

基本例題：合計から2種類を分ける

花苗Aは1個120円、花苗Bは1個200円です。合わせて11個買い、代金の合計は1720円でした。それぞれ何個買いましたか。個数を整数で答え、両方の条件を確認してください。

Aをx個、Bをy個とします。図2のように、個数の合計と代金の合計を別々に横へ読みます。代金の行では、各種類の値段と個数を掛けてから足します。

図2の数量から、次の連立方程式を作ります。

x + y = 11
120x + 200y = 1720

個数の式の両辺を120倍し、Aをすべて120円として数えた代金と比較します。左辺と右辺の両方に同じ数を掛けます。

120x + 120y = 1320
120x + 200y = 1720

下の式から上の式を、左辺どうし、右辺どうしで引きます。

80y = 400
y = 5
x + 5 = 11
x = 6

答えはAが6個、Bが5個です。個数に戻すと6 + 5 = 11個です。代金に戻すと120・6 + 200・5 = 720 + 1000 = 1720円です。両方とも問題の条件に合い、各個数も0以上の整数です。

差の80円は、Bを1個、Aの値段と比べたときの差です。11個すべてをAと考えると1320円になり、実際の1720円との差は400円です。Bを1個使うたびに80円増えるので、400円の差を80円ずつに分けると5個になります。この考え方でも同じ答えに届きますが、合計個数と2種類の値段がわかることが前提です。

計算の途中でy = 5が出たところで止めると、求める2種類のうち片方が残ります。xを求めた後、文字の定義に戻って名前と単位を付けます。数字の組を逆に書けば代金が変わるため、答えの順番も確認の一部です。

標準例題：差の条件を式にする

花苗Cは1個150円、花苗Dは1個230円です。CはDより2個多く、代金の合計は2200円でした。それぞれ何個買いましたか。個数を整数で答えてください。

Cをx個、Dをy個とします。「CはDより2個多い」ので、x = y + 2です。差の条件をx + y = 2とすると、合計が2個という別の意味になってしまいます。代金は150x + 230y = 2200です。

x = y + 2
150x + 230y = 2200
150(y + 2) + 230y = 2200
150y + 300 + 230y = 2200
380y = 1900
y = 5
x = 7

Cは7個、Dは5個です。差は7 − 5 = 2個で、代金は150・7 + 230・5 = 1050 + 1150 = 2200円です。合計個数は12個と求められますが、問題が与えた条件は合計個数ではなく差です。確認でも差に戻ることが欠かせません。

別の見方として、CのうちDと同じ5個分に、余分な2個を加えます。余分なCの代金300円を合計から引いた1900円は、CとDを1個ずつ組にした5組分です。1組380円なので5組と求まります。組にする方法は、どちらが何個多いかを正しく読み、余分な分の値段を取り違えないときに使えます。

発展例題：解が個数になるかを判定する

花苗Eは1個140円、花苗Fは1個220円です。合わせて9個、合計1800円で買うことはできますか。できる場合はそれぞれの個数を整数で答え、できない場合は理由を説明してください。

Eをx個、Fをy個とすると、条件からx + y = 9、140x + 220y = 1800です。個数の式を140倍して代金の式から引きます。

140x + 140y = 1260
140x + 220y = 1800
80y = 540
y = 27/4
x = 9/4

この組は式としては両方を満たします。個数の和は9/4 + 27/4 = 9、代金は140・9/4 + 220・27/4 = 315 + 1485 = 1800円です。しかし、苗を分けずに買う個数は整数なので、27/4個や9/4個という買い方はできません。したがって、指定された条件で買うことはできません。

ここが計算と判断の分かれ目です。式に合うことを確かめた後、文字の範囲に戻して考えます。勝手に7個と2個へ丸めると、個数は9個でも代金は140・2 + 220・7 = 1820円となり、元の条件を満たしません。近い整数に直す操作は、元の問題を解いたことにはなりません。

別に、9個をすべてEとすると1260円です。Fに取り替えるたび80円ずつ増えますが、必要な差540円は80円の整数倍ではありません。この方法も、苗の個数が整数であることを使った判断です。差が整数倍でも、取り替える個数が9個を超えないかまで確認する必要があります。

誤答を表へ戻して直す

基本例題で「Aが1個、Bが8個」とすると、代金は120・1 + 200・8 = 1720円で合います。しかし、図3のように個数は1 + 8 = 9個なので、11個という条件に合いません。金額だけを検算して正答とするのが最初の誤りです。

図3では、同じ組を個数と代金の両方へ戻しています。修正するときは金額が合った事実を捨てるのではなく、個数の式も同時に満たす組を探します。基本例題の6個と5個なら、11個と1720円の両方に戻ります。

別の誤りは、基本例題で代金の式を120 + 200 + x + y = 1720とすることです。値段と個数をそのまま足しており、各種類を何個買っても1個ずつの値段しか数えていません。Aが6個ならAの代金は120 + 6円ではなく120・6円です。表に「1個の値段」「個数」「代金」の3つを並べ、代金欄を値段と個数の積で埋め直します。

さらに、引き算で80y = 400を得る際、左辺だけ引いて右辺の1720を残す誤りもあります。2つの等式を引く操作では、左辺どうしと右辺どうしを対応させます。元の式に得られた組を戻すと、この種類の計算違いも見つけやすくなります。立式、計算、答えの意味を別の段階として点検するのが有効です。

自分で試す5問

どの問題も花苗は分けずに買うものとし、個数は整数で答えてください。条件を満たせない場合は、その理由を書きます。

1. 花苗Gは1個100円、Hは1個160円です。合わせて13個、代金は1900円です。それぞれ何個ですか。
2. 花苗Jは1個180円、Kは1個250円です。合わせて10個、代金は2080円です。それぞれ何個ですか。
3. 花苗Lは1個130円、Mは1個210円です。LはMより3個多く、代金は2090円です。それぞれ何個ですか。
4. 花苗Pは1個160円、Qは1個240円です。合わせて8個、代金は1500円です。この条件で買えますか。
5. 花苗Rは1個90円、Sは1個150円です。合わせて7個、代金は1050円です。それぞれ何個ですか。

答えと考え方

1. Gをx個、Hをy個とします。x + y = 13、100x + 160y = 1900です。前の式を100倍して後の式から引くと60y = 600、y = 10、x = 3です。Gは3個、Hは10個です。3 + 10 = 13個、100・3 + 160・10 = 1900円と両条件に戻ります。

2. Jをx個、Kをy個とします。x + y = 10、180x + 250y = 2080です。個数の式を180倍して引くと70y = 280、y = 4、x = 6です。Jは6個、Kは4個です。6 + 4 = 10個、180・6 + 250・4 = 2080円です。

3. Lをx個、Mをy個とします。x = y + 3、130x + 210y = 2090です。代入すると340y + 390 = 2090、340y = 1700、y = 5、x = 8です。Lは8個、Mは5個です。8 − 5 = 3個、130・8 + 210・5 = 2090円となります。

4. Pをx個、Qをy個とします。x + y = 8、160x + 240y = 1500です。個数の式を160倍して引くと80y = 220、y = 11/4、x = 21/4です。和は8、代金は160・21/4 + 240・11/4 = 840 + 660 = 1500円ですが、個数が整数でないため買えません。整数に丸めると条件を満たす保証はありません。

5. Rをx個、Sをy個とします。x + y = 7、90x + 150y = 1050です。個数の式を90倍して引くと60y = 420、y = 7、x = 0です。Rは0個、Sは7個です。0 + 7 = 7個、90・0 + 150・7 = 1050円です。問題に両方を1個以上買う条件がないので、0個も認められます。

持ち帰る要点

• 個数と代金を表の別の列に置きます。
• 代金は1個の値段と個数の積です。
• 与えられた2条件を別々の等式にします。
• 解を両方の条件に戻し、個数の範囲も確かめます。

どこで止まったかを見る

お子さまが答えを出せないときは、まず表の代金欄を隠し、1個の値段と個数からその欄を作れるかを見ます。ここで止まるなら、実際に同じ値段を個数分だけ足し、掛け算との対応を確かめます。表は書けるのに式にできない場合は、合計個数と合計代金のどちらを読んでいるか、単位を添えて説明してもらいます。

個別指導で確認する際は、式を解いた後に表を再び指し、各種類の個数、各代金、2つの合計を順番にたどります。金額だけが合う組や整数にならない組を使えば、計算の正しさと購入できるかの判断を分けて確かめられます。2つの条件に戻る習慣が、個数と代金の答えを支えます。