中2数学 分数と小数の連立方程式—分母を払う範囲を定めて整数係数に直す｜武蔵野個別指導塾

分数のない項にも倍率を及ぼす操作を、括弧と有限小数を含む連立方程式で追い、各式を別々に整数化する理由を整理します。

よくあるのは、分数のある項だけに分母を掛け、整数の項をそのまま残してしまう場面です。たとえば左辺に分数と整数が並ぶ式では、分母を消せたように見えても、左辺全体と右辺に同じ操作をしていなければ、元の等式とは別の条件になってしまいます。どこからどこまでを何倍するかを先に決めれば、途中式の意味を追いやすくなります。

ここで扱うのは、分数や有限小数を含む2本の一次方程式を、式ごとに整数係数へ直して解く方法です。中2の連立方程式の範囲に照らし、解の種類を分類する話には広げません。

どんな形で現れるか

まず、分母の異なる項が同じ式に並ぶ形があります。各分母の公倍数を選び、その式の両辺を丸ごと何倍かします。もう一方の式の分母は別に調べます。2本の式に同じ数を掛ける必要はありません。

次に、(x − y)/3 のように、分子に和や差がある形があります。分母を消しても分子の x − y は一つのまとまりです。掛けた後にそのまとまりの前に負の数が残るときは、括弧の中の両方に符号が及びます。

さらに、0.2 や 0.05 のような有限小数が混ざる形があります。小数は分数に直して考えることも、10倍や100倍で整数にすることもできます。分数と小数が混ざる場合は、両方を整数にできる倍率を選びます。

準備として、等式の両辺に同じ数を掛ける操作と、公倍数、負の数を含む括弧の計算を確認します。連立方程式の解とは、2本の式を同時に成り立たせる文字の値の組です。どちらか1本だけに合う組では足りません。

分母を払う範囲を決める

図1のように、1本の等式の左辺と右辺を一つの操作の範囲として見ます。x/2 + y/3 = 2 では、2と3の公倍数である6を両辺に掛けると、左辺の各項も右辺の2も6倍になります。結果は 3x + 2y = 12 です。分数の項だけを6倍し、右辺を2のままにすると、元の等式を保てません。

等式は、同じ値を表す左右の釣り合いです。等しいものを同じ数だけ倍すれば、倍にした後も等しいままです。さらに、0でない数を掛けた場合は、その数で両辺を割って元に戻せるため、変形後の式を満たす値も元の式を満たします。このように解を変えず、互いに戻せる変形を同値な変形と考えます。0を掛けると元へ戻せないので、分母を払う倍率には使いません。

6を選ぶ理由は、6が2でも3でも割り切れるからです。たとえば12を使っても正しく整数化できますが、数が大きくなります。最小公倍数なら小さな整数で整理しやすい一方、最小公倍数を使わなければ間違いというわけではありません。式に整数があるときも、その整数の分母を1と考えれば同じ規則に含まれます。

小数の桁数が違うときは、どの項にも倍率を掛けた後の値を調べます。0.3 は10倍すると3ですが、0.04 は10倍では0.4のままです。100倍ならそれぞれ30と4になり、整数の項も100倍します。右辺に小数がある場合も倍率を決める対象に含めます。

2本の式を同時に見て混乱するときは、1本目の横に倍率、2本目の横に別の倍率を書きます。各式に0でない数を掛けた後も、それぞれ元の式と同じ解を持ちます。したがって、両方を満たす組も変わりません。別々に整数化してよい理由は、2本を混ぜる前に各式の条件を保っているからです。

基本例題: 分母の違う2本を整理する

次の連立方程式を解き、xとyを整数または分数で表してください。

x/2 + y/3 = 2    ……①
x/4 - y/2 = -1   ……②

①の分母2と3には6、②の分母4と2には4を選びます。図2のように、①と②で倍率を変えても、各式の両辺をそれぞれ同じ倍率にすれば条件を保てます。

①の左辺全体と右辺を6倍します。分配してから各分母を約分すると、次のようになります。

6(x/2 + y/3) = 6・2
3x + 2y = 12    ……③

②では左辺全体と右辺を4倍します。負の項もその符号を含めて4倍します。

4(x/4 - y/2) = 4・(-1)
x - 2y = -4    ……④

③と④は y の係数が反対なので、辺どうしを加えれば y が消えます。各行は直前の等式から得られます。

(3x + 2y) + (x - 2y) = 12 + (-4)
4x = 8
x = 2

x = 2 を④に入れ、yを求めます。

2 - 2y = -4
-2y = -6
y = 3

答えは x = 2、y = 3 です。元の①では 2/2 + 3/3 = 1 + 1 = 2、②では 2/4 − 3/2 = 1/2 − 3/2 = -1 です。どちらも元の右辺に戻るので、最初の2条件を満たします。③と④に入れるだけでも整数化後の計算は点検できますが、元の式への代入は整数化の段階も含めた確認になります。

加減法で文字を消すための倍率と、分母を払うための倍率は役割が違います。前者は2本の係数をそろえるため、後者は1本の式の係数を整数にするためです。番号を付けてから次の操作に移ると、どの式を何倍したのか見失いにくくなります。

標準例題: 分子の括弧と小数を読む

次の連立方程式を解き、xとyを整数または分数で表してください。

(x - y)/3 + y/2 = 5/3   ……①
0.2x + 0.5y = 1.8        ……②

①には分母3と2の公倍数6を掛けます。分子 x − y を一つのまとまりとして残してから括弧を外します。②は小数第1位までなので10倍します。

6((x - y)/3 + y/2) = 6・(5/3)
2(x - y) + 3y = 10
2x - 2y + 3y = 10
2x + y = 10              ……③
10(0.2x + 0.5y) = 10・1.8
2x + 5y = 18             ……④

④から③を引けば、xの項が消えます。引く式全体を括弧で囲むと、引き忘れを防げます。

(2x + 5y) - (2x + y) = 18 - 10
4y = 8
y = 2
2x + 2 = 10
2x = 8
x = 4

答えは x = 4、y = 2 です。元の①に戻すと (4 − 2)/3 + 2/2 = 2/3 + 1 = 5/3 です。②は小数を正確な分数として計算し、(1/5)・4 + (1/2)・2 = 4/5 + 1 = 9/5 = 1.8 です。

ここでの分かれ目は、6を掛けた後の 2(x − y) を正しく読むことです。2x − y としてしまうと、分子の後半に倍率が届きません。また、②で0.2と0.5だけを10倍し、右辺を1.8のままにしても別の式になります。括弧の内側まで分配することと、等式の両辺を倍にすることは、別々に点検できます。

別の進め方として、①を最初に x/3 − y/3 + y/2 = 5/3 と書き直してから6倍する方法もあります。分子の差を各項に分けられる場合には同じ結果です。ただし分ける途中で負の符号を落としやすいため、括弧を残す方法と見比べるとよいでしょう。どちらの道でも③が得られるかを確かめます。

発展例題: 一つの式に分数のまとまりが二つある

次の連立方程式を解き、xとyを整数または分数で表してください。

(2x - y)/4 + (x + y)/6 = 23/12  ……①
0.3(x - y) - 0.2y = 0.4         ……②

①では分母4、6、12の最小公倍数12を選びます。②では小数を消すために10倍します。括弧が複数あるので、整数化した直後の行を省かず、係数と各括弧の対応を残します。

12((2x - y)/4 + (x + y)/6) = 12・(23/12)
3(2x - y) + 2(x + y) = 23
6x - 3y + 2x + 2y = 23
8x - y = 23                     ……③
10(0.3(x - y) - 0.2y) = 10・0.4
3(x - y) - 2y = 4
3x - 3y - 2y = 4
3x - 5y = 4                     ……④

③を5倍すると、④と y の係数がそろいます。③の両辺全体を5倍してから、そこから④を引きます。

40x - 5y = 115                  ……⑤
(40x - 5y) - (3x - 5y) = 115 - 4
37x = 111
x = 3
8・3 - y = 23
24 - y = 23
y = 1

答えは x = 3、y = 1 です。元の①では (2・3 − 1)/4 + (3 + 1)/6 = 5/4 + 4/6 = 15/12 + 8/12 = 23/12 です。②では (3/10)・(3 − 1) − (2/10)・1 = 6/10 − 2/10 = 4/10 = 0.4 となり、両条件に合います。

③から y = 8x − 23 と表して④へ代入する方法もあります。その場合も 3x − 5(8x − 23) = 4 と、差全体を括弧に入れます。加減法と代入法のどちらを使っても、整数化した式を元に戻せる点が先に必要です。数字を小さく保つ方法を選んでも、各式にかける倍率の確認は省略できません。

誤答から操作の抜けを探す

図3は、左辺の分数だけを6倍し、整数の項と右辺をそのままにした例です。元の式 x/2 + 1 = 4 を6倍するとき、誤って 3x + 1 = 4 とすると、x = 1 になります。しかし元の左辺に入れると 1/2 + 1 = 3/2 で、右辺の4とは一致しません。

原因は「分母を消す」という目的だけに注目し、等式の両辺を同じ数倍するという操作を見失ったことです。正しくは 6(x/2 + 1) = 6・4、つまり 3x + 6 = 24 です。これを解くと x = 6 で、元の式でも 6/2 + 1 = 4 になります。誤答が偶然ほかの式に合っても、変形の根拠にはなりません。

別の誤りは、括弧の前の負の数を先頭の項にしか掛けないことです。たとえば -(x − y) を -x − y とすると、yの符号が違います。-1を括弧の各項に掛けるので、正しくは -x + y です。x = 2、y = 1 なら元の -(2 − 1) は -1、誤った -2 − 1 は -3 となり一致しません。この数値は誤りを見つける反例であり、一般の正しさは各項への分配から説明します。

小数の桁をそろえるときも、似た抜けが起きます。0.06x + 0.4y = 1.2 を10倍しても 0.6x + 4y = 12 で、まだ小数が残ります。100倍なら 6x + 40y = 120 です。倍率自体は10でも同値ですが、「整数に直す」という目的を満たしていない点を区別します。間違いを見つけたら、答えだけを書き換えず、倍率を書いた行へ戻って左右の各項を順に追います。

練習: 倍率を選んでから解く

次の5問は、いずれもxとyを整数または分数で求めてください。先に5問を解き、後の解答で整数化と元の式への代入を比べます。

1. x/3 + y/4 = 11/4、x/2 − y/3 = 2。
2. 0.4x + 0.3y = 2.1、0.2x − 0.5y = -0.9。
3. (x + y)/2 − y/3 = 5/2、(x − y)/4 + x/2 = 9/4。
4. x/2 − y/3 = -1/2、0.25x + 0.2y = 0.85。
5. (x − y)/5 = 1/6、x/2 + y/3 = 5/36。

練習の答えと道筋

1. 1本目を12倍、2本目を6倍します。

4x + 3y = 33
3x - 2y = 12
8x + 6y = 66
9x - 6y = 36
17x = 102
x = 6
y = 3

元の式に戻すと、6/3 + 3/4 = 2 + 3/4 = 11/4、6/2 − 3/3 = 3 − 1 = 2 です。両方の右辺に一致します。

2. それぞれ10倍します。

4x + 3y = 21
2x - 5y = -9
4x - 10y = -18
13y = 39
y = 3
2x - 15 = -9
x = 3

元の小数を分数に直して確かめると、(4/10)・3 + (3/10)・3 = 21/10 = 2.1、(2/10)・3 − (5/10)・3 = -9/10 = -0.9 です。負の右辺にも同じ倍率が掛かっています。

3. 1本目を6倍、2本目を4倍します。

3(x + y) - 2y = 15
3x + y = 15
(x - y) + 2x = 9
3x - y = 9
6x = 24
x = 4
y = 3

元の左辺は (4 + 3)/2 − 3/3 = 7/2 − 1 = 5/2、(4 − 3)/4 + 4/2 = 1/4 + 2 = 9/4 です。分母を払った後の括弧の中身も確認できます。

4. 1本目を6倍、2本目を100倍します。

3x - 2y = -3
25x + 20y = 85
30x - 20y = -30
55x = 55
x = 1
3 - 2y = -3
y = 3

元の式では 1/2 − 3/3 = -1/2、(25/100)・1 + (2/10)・3 = 25/100 + 60/100 = 85/100 = 0.85 です。小数の右辺まで100倍できています。

5. 1本目を30倍、2本目を36倍します。

6(x - y) = 5
6x - 6y = 5
18x + 12y = 5
12x - 12y = 10
30x = 15
x = 1/2
3 - 6y = 5
y = -1/3

元の式では (1/2 − (-1/3))/5 = (5/6)/5 = 1/6、(1/2)/2 + (-1/3)/3 = 1/4 − 1/9 = 5/36 です。整数係数に直しても、解が整数になるとは限りません。分数の答えも近似せず、そのまま元の条件に戻します。

覚えておくこと

• 倍率は2本の式それぞれで決め、0でない数を使います。
• 選んだ倍率は、分数のない項と右辺にも掛けます。
• 分子や引く式のまとまりは括弧で保ち、各項へ分配します。
• 求めた組を元の2本の式に代入して確かめます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまの途中式を見るときは、まず答えの正誤より、整数化した直後の1行に注目します。分母のある項は合うのに定数項が変わっていなければ、操作の範囲を等式の両端まで指でたどります。括弧を外した後だけ符号が違うなら、括弧の前の数を各項に掛けた行を補います。

個別指導で確かめる際には、式ごとに選んだ倍率を言葉にしてもらい、整数化前後の対応を1項ずつ示せるかを見ます。その後、答えの組を元の2式に戻して、どちらの条件にも合うか説明します。倍率を選ぶ理由と戻せる理由がつながれば、初めて見る分数と小数の組合せにも、操作の範囲を定めて取り組めます。