中1数学 分数と小数の一次方程式—分母を払う操作を全項へそろえて解き直す｜武蔵野個別指導塾

分母を払う数を整数項にも掛け、小数の整数化と括弧の分配を進めます。元の方程式への代入で、各項の掛け忘れを探します。

よくあるのは、分数を含む方程式で両辺に数を掛けるとき、分母のない項には掛け忘れる場面です。分数の見た目が消えると計算が進んだ気になりますが、左右の等しさが保たれているとは限りません。たとえば左辺が「分数の項と整数の項の和」なら、その和全体を同じ数で何倍にする必要があります。

ここでは分数や小数の係数を持つ一次方程式を、項ごとの操作と元の式への代入で読み直します。文章から方程式を作る問題には広げず、与えられた式を正しく変形することに集中します。解は元の等式を成り立たせる文字の値です。最後に左右が同じ値になるかを確かめることで、途中の掛け忘れも見つけやすくなります。

最初に見分けたい3つの形

1つ目は、分数と整数が足し引きされている形です。分母を払う数は分数の項から選びますが、掛ける対象は整数項を含む両辺全体です。項を区切って印を付けると、分数のない項も操作の対象だと見えます。

2つ目は、括弧の中に和や差がある形です。分母が括弧全体についている場合、分母を払った後も括弧の中身をまとめて残します。括弧の前に数や負号がある場合は、後で中の各項に分配します。括弧の一部分だけを消すことはできません。

3つ目は、小数と分数が混じる形です。小数を分数に直してから分母の倍数を選ぶ方法と、先に両辺を10倍や100倍して小数を整数に直す方法があります。どちらを選んでも、選んだ数を全項に掛ける点は同じです。小数点を動かすという見た目だけで進めず、何倍したかを記録します。

等式の両辺と項を区別する

等式では、左辺と右辺に同じ数を足したり、同じ数を掛けたりしても等しさが保たれます。逆に、同じ数で割る操作には、その数が0でないという条件が必要です。分母払いで使うのは0でない数なので、掛けた後にその数で両辺を割って元に戻せます。このため、操作前と操作後の解は同じです。

図1のように、左辺の和をまとめて何倍かすると、各項をそれぞれ何倍かした和になります。右辺も同じ数だけ倍にします。足し算だけでなく引き算でも、引く項を含めてそれぞれに掛けます。項は加法や減法で区切られた部分で、符号を含めて捉えると負の項にも掛け忘れません。

図1では3を3つの項に配っています。左辺の最初の項にしか3を掛けなければ、左辺全体を3倍にしたことになりません。たとえば元の左辺が4なら、正しい操作後は12です。和の一部だけを3倍にしても、必ず12になるとは限りません。

分母を払うとは、両辺に分母の公倍数を掛けて、分数の分母を含まない形に直すことです。最小公倍数を選ぶと数が大きくなりにくいですが、0でない公倍数ならもっと大きい数でも構いません。分母が4と6なら12が選べます。24を選んでも正しい操作ですが、その後の計算量が増えます。

小数も正確な分数として扱えます。0.3は3/10、0.04は4/100です。0.3xを10倍すると3xになり、同時に整数の2を10倍すると20になります。小数の桁だけを数えるのでなく、両辺全体を何倍するのかを言葉にしてから書きます。

基本例題：整数の項まで掛ける

次の方程式を解き、答えを整数で表してください。

x/3 + 2 = 5

分母は3です。両辺を3倍すると、左辺の2と右辺の5にも3を掛けます。図2の矢印は、それぞれの項に同じ3を掛ける対応を表します。

3・(x/3 + 2) = 3・5
3・(x/3) + 3・2 = 15
x + 6 = 15
x = 15 - 6
x = 9

図2のように、分数の項から分母が消えた後も、整数項は2のままではなく6です。2を残した式にすると、両辺を同じ数で倍にしたことにはなりません。移項は、両辺から6を引く操作を短く書いたものです。

答えを元の式へ戻すと、左辺は9/3 + 2 = 3 + 2 = 5です。右辺も5なので、x = 9は元の等式を成り立たせます。確認は変形後の式だけでなく最初の式で行います。変形中の誤りを含んだ式に代入しても、その誤りに気づけないことがあるからです。

標準例題：括弧を残してから配る

次の方程式を解き、答えを分数で表してください。

(x - 1)/2 + (x + 2)/3 = 4

分母2と3の最小公倍数は6です。6を各項に掛けると、左の分数は3倍の括弧、次の分数は2倍の括弧になり、右辺は24になります。分母だけを消すのではなく、6をそれぞれの分数に掛けた結果を考えます。

6・((x - 1)/2) + 6・((x + 2)/3) = 6・4
3(x - 1) + 2(x + 2) = 24
3x - 3 + 2x + 4 = 24
5x + 1 = 24
5x = 24 - 1
5x = 23
x = 23/5

括弧を外すとき、3はxと-1の両方に掛かります。もし3x − 1とすれば、括弧全体を3倍したことにはなりません。2(x + 2)も2x + 4です。係数を文字の項にだけ掛ける誤りは、分母払いの掛け忘れと同じく、和全体を倍にする範囲の見落としです。

元の式に23/5を代入すると、左の分数は(23/5 − 1)/2 = (18/5)/2 = 9/5、次の分数は(23/5 + 2)/3 = (33/5)/3 = 11/5です。和は20/5 = 4となり、右辺と一致します。分数のまま確かめれば、丸めによる差を持ち込まずに済みます。

発展例題：小数と分数が同居するとき

次の方程式を解き、答えを整数で表してください。

0.2(x - 1) + x/3 = 3

0.2は1/5です。分母5と3の最小公倍数15を両辺に掛けると、一度で分数を払えます。括弧の中の-1も、括弧を外す際に3倍されることに注意します。

(x - 1)/5 + x/3 = 3
15・((x - 1)/5) + 15・(x/3) = 15・3
3(x - 1) + 5x = 45
3x - 3 + 5x = 45
8x - 3 = 45
8x = 45 + 3
8x = 48
x = 6

別の道として、最初に両辺を10倍して小数を消すこともできます。その場合は2(x − 1) + 10x/3 = 30となり、なお残る分母3を払います。最初に10倍したのに右辺を3のままにすると、途中から別の方程式になるので、各行の操作を明記します。

元の式では、x = 6のとき0.2(6 − 1) = 1、6/3 = 2です。左辺は1 + 2 = 3で右辺と一致します。小数を含む元の式でも、0.2を1/5として計算すれば正確に確かめられます。解を出した後に分母払いの方法を変えて再計算すると、同じ答えになるかを比べられます。

誤答のどこで等しさが崩れるか

基本例題の式に戻り、次の誤った変形を考えます。

x/3 + 2 = 5
x + 2 = 15
x = 13

誤りは最初の変形です。右辺を3倍し、左辺のx/3も3倍していますが、左辺の2を3倍していません。図3では掛け忘れた項を示しています。見た目は分母が消えていても、操作が左右の各項にそろっていません。

図3の修正では、2を6に直してx + 6 = 15とします。誤答の13を元の式に入れると、左辺は13/3 + 2 = 19/3で、右辺の5 = 15/3と等しくありません。答えの代入により誤りが見つかり、最初に等しさを保てなくなった行をたどると原因も特定できます。

ただし、代入で合わなかったときに、すぐ答えの符号だけを直すのは危険です。どの行で何を両辺にしたかを調べます。括弧の分配、移項、最後の割り算にも誤りがあり得ます。答えが偶然合った場合も途中の操作が正しいとは限らないため、各行の対応を確認します。

操作を記録して誤りを探す

同じ式でも、先に括弧を外す方法と先に分母を払う方法を選べることがあります。たとえば標準例題では、6を掛けた後に3(x − 1)と書きました。この3は、6を分母の2で割った数です。分子のxと-1の一方だけに3を掛けたのではなく、分子全体に3を掛けています。括弧を書き残してから配ると、操作の境界を見失いにくくなります。

計算が合わないときは、各行の間に「両辺を6倍」「括弧を外す」「同類項をまとめる」という短いメモを入れます。両辺を6倍した行では、それぞれの項が元の6倍になっているかを調べます。括弧を外した行では、括弧の前の係数が中の各項に掛かっているかを調べます。まとめる行では、文字の項と数の項を混ぜていないかを見ます。操作ごとに点検する場所が違うため、答えだけを何度も計算するより原因を絞れます。

分母を払う数を変えたときも、確認のしかたは同じです。標準例題で12を使えば、左辺は6(x − 1) + 4(x + 2)、右辺は48になります。6を使った結果の各項をさらに2倍した式なので、両辺を2で割ると先ほどの式に戻ります。数が大きくても各項に同じ操作を行えば、解は変わりません。反対に、片方の分数の分母だけを基準に掛け忘れると、別の分母が消えないだけでなく等式の意味も変わります。

答えが元の式で合わなかった場合、代入そのものを間違えていないかも見直します。負の値なら括弧に入れて代入し、分数なら通分して左右を比較します。それでも一致しなければ、最初の式から次の行へ順に戻り、初めて操作がそろわなくなった場所を直します。途中の1か所を直したら、その後の行も新しい値で計算し直します。

まとめて挑戦する5問

次の方程式を解き、指定された形で答えてください。5問目は変形の理由も述べてください。

1. x/4 − 1 = 2。答えは整数で表します。
2. (x + 3)/5 = 2。答えは整数で表します。
3. x/2 − x/6 = 1。答えは整数で表します。
4. 0.4x + 1 = 3。答えは整数で表します。
5. (x − 2)/3 + 1/2 = 2。答えは分数で表し、両辺に6を掛けたとき各項がどう変わるかも説明します。

解答と確かめ方

1. 両辺を4倍します。引く1も4倍することが分かれ目です。

x - 4 = 8
x = 8 + 4
x = 12

元の左辺は12/4 − 1 = 3 − 1 = 2で、右辺と一致します。-1をそのまま残すと、左辺全体を4倍したことになりません。

2. 両辺を5倍すると、分子の括弧全体が残ります。

x + 3 = 10
x = 10 - 3
x = 7

元の左辺は(7 + 3)/5 = 10/5 = 2です。括弧内の3を落とさず戻して確認します。

3. 両辺を6倍します。引く項の符号も保ちます。

3x - x = 6
2x = 6
x = 3

元の左辺は3/2 − 3/6 = 9/6 − 3/6 = 6/6 = 1です。分母が違っても、共通の分母に直せば正確に比較できます。

4. 両辺を10倍します。整数の項も10倍します。

4x + 10 = 30
4x = 30 - 10
4x = 20
x = 5

元の左辺は0.4・5 + 1 = 2 + 1 = 3です。0.4を4/10として計算しても同じ値です。

5. 6を掛けると、左の第1項は2(x − 2)、第2項は3、右辺は12になります。これはそれぞれの項を6倍した結果です。

2(x - 2) + 3 = 12
2x - 4 + 3 = 12
2x - 1 = 12
2x = 12 + 1
2x = 13
x = 13/2

元の左辺の第1項は(13/2 − 2)/3 = (9/2)/3 = 3/2です。そこに1/2を足すと4/2 = 2となり、右辺と一致します。分母を払った後も括弧内の両方の項に2を掛けたことを確認してください。

解が分数のままでも確かめられる

5問目の13/2は整数に直せないため、そのまま元の式に戻しました。分数の形が残ったこと自体は失敗ではありません。求める形に従い、約分できるときは約分して表します。小数に直して丸めてしまうと、左右に小さな差があるのか、丸めたために差が生じたのかを区別しにくくなります。

また、両辺に掛ける数が大きすぎると暗算で項を落としやすくなります。分母の公倍数を選んだら、まず各項の前に掛ける数を書き、それから約分します。整数項にも同じ印を付ければ、分数のない場所にも操作が及ぶことを確かめられます。

仕上げの見直し

• 分母や小数の桁から、両辺に掛ける0でない数を選びます。
• 分母のない項も含め、各項に同じ数を掛けます。
• 括弧を外すときは、中の各項に係数を配ります。
• 求めた値を元の式に代入し、左右を正確に比べます。

お子さまが途中で止まったときは、まず各項に掛けた数を指で示してもらうと、操作の範囲が見えます。すべての項を示せるのに答えが合わない場合は、括弧を外す行や符号の計算を別に点検します。個別指導では、正しい行と誤った行を並べ、どの項が何倍になったかを本人の言葉で説明できるか確かめます。

元の式へ戻して左右を比べる習慣が、分母を払う一行の意味を支えます。