中1数学 一次方程式と等式の性質—左右に同じ操作を行う理由から移項を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

片辺だけを割る誤りを数値でたどり、移項の符号を左右の操作から考える等式の性質です。

よくあるのは、方程式の左辺にある文字の係数を消そうとして、左辺だけを割り、そのまま等号でつなぐ場面です。例えば左右がともに12だったとして、左側の12だけを3で割れば4と12になり、等しさは崩れます。式の見た目が簡単になっても、元の条件を満たす数を探せなくなります。

方程式を解くときは、文字を含む式を整えると同時に、等号の両側の関係を保つ必要があります。移項は突然符号を変える約束ではありません。両辺に同じ数や式を加えたり引いたりする操作を短く書いたものです。途中で等しさが崩れていないか、具体的な値を入れて追いかけましょう。

どこで左右を見比べるか

出方の1つは、文字を含む項と数の項が別々の辺にある式です。文字に足されている数を取り除き、最後に文字に掛かっている数を外します。足す操作と割る操作を同時に行わず、1行ごとに左右に何をしたか確かめます。

もう1つは、両辺に文字を含む項がある式です。一方の文字の項を両辺から引くと、文字の項を片方にまとめられます。どちらの辺にまとめても構いませんが、負の係数になったときも最後まで符号を保ちます。

さらに、ある変形が正しいかを説明する問題もあります。答えが偶然合うかだけでなく、元の式の解と変形後の式の解が同じかを見ます。両辺に同じ操作をしたか、割る数が0でないかという条件が判断の手掛かりです。

等号と解が伝えること

等式は、等号の左側の式を左辺、右側の式を右辺と呼び、その値が等しいことを表します。文字を含む等式のうち、文字に当てはめる値によって成り立つかどうかが変わるものを方程式といいます。その等式を成り立たせる文字の値が解です。解くとは、解を求めることです。

例えば x + 2 = 7 は、x = 5 を入れると左右がともに7になります。一方、x = 4 では左辺が6、右辺が7なので成り立ちません。これに対し 2(x + 1) = 2x + 2 は、xにどんな数を入れても成り立つ等式です。このような等式を恒等式と呼びます。文字があるという見た目だけで、特定の解を探す方程式と決めないことが肝心です。

左右が等しいとき、両辺に同じ数を足す、両辺から同じ数を引く、両辺に同じ数を掛けると、操作後も左右は等しくなります。また、0でない同じ数で両辺を割っても等しさは保たれます。図1のように、等しい2つの量に同じ操作を施すと、対応する値も等しいままです。

図1では両辺が9の状態から、それぞれ4を引いて5にしています。片側だけ4を引けば5と9になり、等しくありません。操作する前の左右が等しいことと、両側に同じ操作をすることをセットで考えます。

解を変えずに式を解き進めるには、元に戻せる操作を選びます。同じ数を足した後はその数を引けば戻り、0でない数を掛けた後はその数で割れば戻ります。両辺に0を掛けると、どんな左右の値も0になり、元の違いを失うので、解を保って逆向きにたどる操作には使えません。0で割ることもできません。

移項はこの性質を使った省略です。x + 2 = 7 の両辺から2を引くと、左辺の + 2 と − 2 が打ち消し合い、x = 7 − 2 となります。左の + 2 を右に移して − 2 にしたように見えるのは、この両辺から2を引く操作を省略したためです。等号を越えるだけで勝手に符号が変わると覚えると、どの項をどう扱ったかが見えにくくなります。

基本例題：足された数を取り除く

次の方程式を解き、xの値を答えましょう。元の式の左右に代入して確かめます。

3x + 4 = 19

まず両辺から4を引き、文字の項を残します。次に両辺を0でない3で割ります。図2のように、各段階で両辺に同じ操作を記録します。

3x + 4 = 19
3x + 4 - 4 = 19 - 4
3x = 15
3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
x = 5

x = 5 を元に戻すと、左辺は 3・5 + 4 = 19、右辺は19です。左右が等しいので、5は元の方程式の解です。途中の 3x = 15 でも左右は15です。そこから両辺を3で割ると、左右とも5になります。

もし左辺だけを3で割り x = 15 とすると、元の左辺は 3・15 + 4 = 49 となり、右辺19と一致しません。元の式への代入は、最後の計算だけでなく、途中の操作が条件を保っていたかを調べる手掛かりになります。ただし1つの値の代入は、その値が解かどうかの確認です。一般に変形が解を保つ理由は、操作を両辺に行い逆向きにも戻せることから説明します。

標準例題：文字の項を集める

次の方程式を解き、xの値を答えましょう。元の左右の値も求めます。

5x − 7 = 2x + 8

右辺の 2x を取り除くため、両辺から 2x を引きます。この操作では、あるxの値で元の左右が等しければ、両方から同じ 2x を引いた後も等しくなります。逆に両辺へ 2x を足せば元の式へ戻るので、解は変わりません。

5x - 7 = 2x + 8
5x - 7 - 2x = 2x + 8 - 2x
3x - 7 = 8
3x - 7 + 7 = 8 + 7
3x = 15
3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
x = 5

移項の形で書けば、2x は右辺から左辺へ移ると − 2x、- 7 は左辺から右辺へ移ると + 7 になります。それぞれ両辺から 2x を引く操作、両辺に7を足す操作の結果です。両方の符号を一度に変えて迷ったら、上のように操作を別々の行へ戻せます。

x = 5 を元の式に入れると、左辺は 5・5 − 7 = 18、右辺は 2・5 + 8 = 18 です。両辺が18で一致します。途中の 3x − 7 = 8 でも左右は8です。同じ値を引いたため左右の値は18から8へ変化しましたが、等しい関係は残っています。

発展例題：括弧と負の係数

次の方程式を解き、xの値を答えましょう。括弧の中を含めて元の式に戻し、左右を確かめます。

3(x − 2) + 5 = 5x + 7

最初に分配法則で括弧を外します。左辺の3は x と − 2 の両方に掛かるので、3x − 6 です。続いて左右にある文字の項を片方へ集め、負の係数を含めて両辺を割ります。

3(x - 2) + 5 = 5x + 7
3x - 6 + 5 = 5x + 7
3x - 1 = 5x + 7
3x - 1 - 5x = 5x + 7 - 5x
-2x - 1 = 7
-2x - 1 + 1 = 7 + 1
-2x = 8
-2x ÷ (-2) = 8 ÷ (-2)
x = -4

最後は両辺を -2 で割ります。左辺だけを -2 で割るのではなく、右辺の8にも同じ操作をします。-2 は0ではないので割れます。負の数で割るときも、左右へ同じ操作をする原則は変わりません。

元の式へ x = -4 を戻すと、左辺は 3・(-4 − 2) + 5 = 3・(-6) + 5 = -13、右辺は 5・(-4) + 7 = -13 です。左右とも -13 になり、解を確かめられます。括弧の中を -4 − 2 = -6 と先に計算すると、負号を追いやすくなります。

文字の項を反対側に集めても構いません。両辺から 3x を引けば -1 = 2x + 7 となり、両辺から7を引いて -8 = 2x、両辺を2で割って -4 = x です。どちらの進め方も元の条件に戻り、同じ解を得ます。係数を正にしたい場合には、文字の項を右へ集める選び方も役立ちます。

誤った行から操作を探す

次の式で、左辺だけを割った例を考えます。元の式は 4x = 20 です。

4x = 20
x = 20

この行では左辺を4で割ったのに右辺を割っていません。図3のように、元の解 x = 5 を入れれば、上の行の左右は20と20ですが、下の行は5と20になって等しくありません。等号でつないだ2行の間で条件が変わっています。

修正するときは、元の行へ戻り、両辺を4で割ります。すると x = 5 です。図3の正しい行では左右がともに5で、元の行にも戻せます。誤った答え20を元の式に代入すれば左辺は80、右辺は20なので、誤りを見つけられます。

もう1つの誤りは、移項した項の符号を変えないことです。例えば x − 3 = 6 で x = 6 − 3 とする行は、両辺に何をしたか説明できません。左辺の − 3 を消すには、両辺に3を足します。その結果は x = 6 + 3、つまり x = 9 です。元の左辺は 9 − 3 = 6 となり、右辺と合います。

計算の答えが違ったときは、最初から全部を消す必要はありません。各行で左右に行った操作を書き、初めて違う操作になった行へ戻ります。操作は合っているのに答えが違う場合は、負の数の加減や割り算を別に確かめます。等号の扱いと数の計算を分けると、直す場所を絞れます。

練習：操作と言葉を結ぶ

次の5問を解きましょう。文字の値を求める問題では、その値を元の式へ代入して左右が一致することも確かめます。

1. x + 9 = 16 を解き、xの値を答えてください。両辺に行う最初の操作も書きましょう。
2. 6x = -24 を解き、xの値を答えてください。両辺を割る数も書きましょう。
3. 7x + 2 = 3x + 14 を解き、xの値を答えてください。3x を左辺にまとめる操作を説明しましょう。
4. 2(x + 3) = x − 1 を解き、xの値を答えてください。括弧の中にも代入しましょう。
5. y − 8 = 11 から y = 11 − 8 とした人がいます。この変形が正しいか答え、正しい操作とyの値を示しましょう。

練習の答えと道筋

1. 両辺から9を引きます。

x + 9 = 16
x + 9 - 9 = 16 - 9
x = 7

元の左辺は 7 + 9 = 16、右辺は16です。左右はともに16なので、7が解です。左辺の + 9 を消すには、反対の操作である9を引くことを選びます。

2. 0でない6で両辺を割ります。

6x = -24
6x ÷ 6 = -24 ÷ 6
x = -4

元の左辺は 6・(-4) = -24、右辺も -24 です。負の答えを代入しても等しくなるので、符号も確かめられます。

3. 両辺から 3x を引きます。次に両辺から2を引き、両辺を4で割ります。

7x + 2 = 3x + 14
7x + 2 - 3x = 3x + 14 - 3x
4x + 2 = 14
4x + 2 - 2 = 14 - 2
4x = 12
4x ÷ 4 = 12 ÷ 4
x = 3

元の左辺は 7・3 + 2 = 23、右辺は 3・3 + 14 = 23 です。右の 3x が左で − 3x に見えるのは、両辺から 3x を引いたためです。

4. 括弧を外してから、両辺からxを引き、両辺から6を引きます。

2(x + 3) = x - 1
2x + 6 = x - 1
2x + 6 - x = x - 1 - x
x + 6 = -1
x + 6 - 6 = -1 - 6
x = -7

元の左辺は 2・(-7 + 3) = 2・(-4) = -8、右辺は -7 − 1 = -8 です。括弧の中の2項に2を掛けることと、負の答えを括弧へ戻すことを確かめます。

5. 変形は正しくありません。左辺の − 8 を消すには、両辺に8を足します。

y - 8 = 11
y - 8 + 8 = 11 + 8
y = 19

元の左辺は 19 − 8 = 11、右辺は11です。誤った変形の答え3を入れると左辺は -5、右辺は11となり、元の条件を満たしません。正しい場合と失敗した場合の両方を元の式で見比べられます。

ふり返り

• 解は、元の方程式を成り立たせる文字の値です。
• 等しい両辺には同じ操作を行い、割る数は0でないことを確かめます。
• 移項の符号は、両辺に同じ項を加えるか引くかで説明できます。
• 求めた値を元の左右に代入し、それぞれの値を照合します。

お子さまが答えだけを間違えたときは、途中の1行を選び、左辺と右辺に何をしたかを別々に尋ねてみてください。左右の操作が違えば等式の性質へ、左右の操作は同じでも値が違えば符号や分配法則へ戻れます。個別指導で確かめる際にも、移項の前の操作を言葉にし、得た値を元の式へ戻すところまで追うと、つまずいた位置を特定できます。等号の両側を見比べる習慣が、解を保つ変形につながります。

解を調べるとき、元の式へ戻す前に途中の式だけを見て終えると、前の行で失った条件に気づかないことがあります。例えば片辺だけを割って作った式にその答えを代入しても、その誤った式には合うことがあります。最初に与えられた式を残し、最後に左右を別々に計算して比べてください。合わなければ、答えを無理に直すのではなく、最初に等しさが保たれなくなった行を探します。

反対に代入が合った場合も、説明を求められた問題では、左右に何を加え、何で割ったかを言葉にします。例えば両辺から同じ項を引いた後は、その項を両辺に足すと前の式に戻ります。戻せることを確かめれば、元の解を落としたり、余分な解を作ったりせずに進めた理由が見えます。計算結果の確認と、操作を選んだ理由の説明は、それぞれ違う役割を持っています。