中1数学 数量の関係と文字式—割合や大小を言葉から式へ置き換えて読み戻す｜武蔵野個別指導塾

残った長さの境界や割合の基準を、条件に合う値と合わない値で読み直すと、見えてくるのが数量の関係です。

よくあるのは、ひもを切った後に残った長さの条件で、「以下」と「未満」を取り違える場面です。境界と同じ長さも認めるのか、そこまでは認めないのかで、使う記号が変わります。さらに、切った長さと残った長さのどちらを比べるのかを取り違えると、記号の向きが合っていても、別の条件を表してしまいます。

文字式は、計算の答えを出すためだけのものではありません。数量の関係を短く記録し、元の言葉に戻して条件を吟味するためにも使えます。式を作ったら、境界に当たる値と、その近くの条件を満たさない値を試してみましょう。

要点（結論から）

• 比べる数量をそれぞれ式にしてから、等号や不等号でつなぎます。
• 以下・以上は境界を含み、未満・より大きいは含みません。
• 割合は基準量を決め、増減後なら元の量も含めて考えます。

言葉から式にするときの3つの型

1つ目は、全体から一部を除いた残りを比べる型です。元の長さから切った長さを引き、残りが指定の長さ以上か未満かを表します。「切った長さが短い」という話と「残りが短い」という話は、同じ向きとは限りません。比べる対象を先に書くと、記号の向きを決めやすくなります。

2つ目は、基準量の何倍かを表す型です。割合は、比べる量を基準量で割った数です。基準量と割合がわかれば、比べる量は「基準量・割合」で表せます。増えた分を求めるのか、増えた後の全体を求めるのかによって、掛ける割合も変わります。

3つ目は、2つの数量が等しい、または大小の関係にある型です。それぞれを別々に式で表してから、等号や不等号でつなぎます。文章中の数字を見つけた順に並べるのではなく、左右が何を表すかを言葉で確認します。ここでは関係を表して値を確かめます。不等式を変形して解く方法には進みません。

境界を含むか、基準をどこに置くか

等式は、左右の数量が等しい関係を等号 = で表したものです。不等式は、数量の大小を不等号で表したものです。a < b は「aはbより小さい」、a > b は「aはbより大きい」と読み、等しい場合は含みません。a ≤ b は「aはb以下」、a ≥ b は「aはb以上」と読み、等しい場合も含みます。

図1のように、同じ境界でも、以下と未満では境界そのものの扱いが違います。以下は境界より小さい値と境界の値を含み、未満は境界より小さい値を含みます。「以上」と「より大きい」も同様に、等しい場合を含むかどうかで区別します。

たとえば残りが5 cm以下なら、5 cmは条件に合います。5 cm未満なら5 cmは条件に合いません。文章を式へ変えた後に、境界を代入して同じ判定になるか確かめると、等号を付け忘れた誤りに気づけます。境界より小さい値と大きい値も試せば、記号の向きの誤りも見つけやすくなります。

割合では、まず「何を1とするか」を決めます。基準の長さがa cmで、その3割は、1割がa/10 cmなので3a/10 cmです。3割増しの全体は元のa cmに3a/10 cmを加えた13a/10 cmです。3割と3割増しは別の量です。基準を入れ替えると割合も変わるため、どの量を基準とするかを式の横に書いておきます。

また、文字には場面に合う範囲があります。長さや個数を表す文字に負の数を入れると、式の計算はできても、元の場面には合いません。個数を表すなら整数であることも必要です。代入の結果が関係式を満たすかという判定と、その値が場面で使えるかという判定を分けます。

基本例題：残りの長さを先に作る

長さ18 cmのテープからx cmを切り取ります。切り取る長さは0 cm以上18 cm以下とします。残りが6 cm以下であることを不等式に表し、xが12、11、13のとき、それぞれ条件に合うか答えてください。長さの単位はcmです。

図2のように、全体は切った部分と残った部分に分かれます。比べるのは切った部分ではなく残りです。したがって、残りの長さは次の式です。

18 - x

残りが6 cm以下なので、答えは次の不等式です。

18 - x ≤ 6

左辺を「残りの長さ」、右辺を「基準の6 cm」と読めば、元の条件に戻ります。x ≤ 6とすると、切った長さが6 cm以下という別の条件になるので注意します。

x = 12のとき、残りは18 − 12 = 6 cmです。6 cm以下には等しい6 cmを含むため、条件に合います。x = 11のとき、残りは18 − 11 = 7 cmで、6 cmを超えるため条件に合いません。x = 13のとき、残りは18 − 13 = 5 cmで、条件に合います。3つとも切り取れる長さの範囲内です。

もし条件が「6 cm未満」に変われば、不等式は18 − x < 6です。x = 12では残りがちょうど6 cmなので、今度は条件に合いません。x = 13は5 cmが6 cm未満なので合います。境界とその両側を試すと、等号の有無と向きの両方を確かめられます。

標準例題：割合の対象を区別する

ある容器には水がa L入っています。そこへ、初めに入っていた水の量の2割に当たる水を加えます。加えた後の水の量が9 L以上であることを不等式に表してください。また、a = 7.5とa = 7のそれぞれについて条件に合うか答えてください。aは正の数で、容器には十分な容量があるものとします。

基準は加える前のa Lです。2割は2/10なので、加える水は次の量です。

a・2/10 = a/5

加えた後は、元の水と加えた水の和です。

a + a/5
= 5a/5 + a/5
= 6a/5

「9 L以上」には9 Lと等しい場合も含まれます。したがって、求める関係は6a/5 ≥ 9です。a/5 ≥ 9では、加えた水の量を9 Lと比べてしまいます。何を比べる式かを読み戻して区別します。

元の条件に戻して確認します。a = 7.5なら、加える水は7.5・2/10 = 1.5 Lです。加えた後は7.5 + 1.5 = 9 Lで、9 L以上に当たります。a = 7なら、加える水は7・2/10 = 1.4 L、加えた後は7 + 1.4 = 8.4 Lです。9 Lに届かないので条件に合いません。どちらも正の量で、問題の場面に使えます。

「加えた後の水の2割」を加えるという条件なら、基準は加える前ではありません。同じa/5をそのまま加えることはできず、別の関係を考える必要があります。基準を指す言葉を見落とさないことが、割合の立式の出発点です。

発展例題：2つの条件を別々に表す

長さ30 cmのリボンからx cmを切ります。切る長さは0 cmより大きく、30 cm以下とします。残りが元の長さの4割以上で、さらに切った長さが残りの長さより短いという2つの条件を、それぞれ不等式に表してください。x = 15とx = 14について、両方の条件に合うか答えてください。

元の長さの4割は、基準が30 cmなので次のように求めます。

30・4/10 = 12

残りは30 − x cmです。残りが12 cm以上という条件は30 − x ≥ 12です。もう一方の条件は切った長さx cmと残り30 − x cmの比較なので、x < 30 − xです。2つの不等式は異なる条件を表します。片方を満たすことだけでは、両方を満たしたことにはなりません。

x = 15では残りは30 − 15 = 15 cmです。15 cmは12 cm以上なので最初の条件に合います。しかし切った15 cmと残り15 cmは等しく、切った長さが残りより短いとはいえません。したがって両方には合いません。

x = 14では残りは30 − 14 = 16 cmです。16 cmは12 cm以上で、切った14 cmは残りの16 cmより短いので、両方に合います。いずれも切った長さは正で30 cm以下です。数字を式に入れるだけでなく、切った部分と残りを足して元の30 cmに戻ることも確かめられます。

後の条件が「残りの長さ以下」に変わる場合は、x ≤ 30 − xとなります。この場合、x = 15も後の条件に合います。条件の変更で境界の判定がどう変わるかを見ると、不等号の小さな線に意味があることがわかります。

誤答を元の言葉に戻して直す

基本例題の条件を「残りが6 cm未満」と変えたとき、18 − x ≤ 6と書いたとします。残りを18 − xと表したところは正しいものの、「以下」の記号を選んでいます。図3のようにx = 12を入れると、残り6 cmを認めてしまうため、未満という条件と食い違います。

修正は18 − x < 6です。これならx = 12では6 < 6が成り立たず、残りがちょうど6 cmの状態を除けます。一方、x = 13では5 < 6が成り立ちます。境界の値が外れ、境界より残りが短い値が入ることを、元のテープでも確認できます。

別の誤りとして、残りが短いのだからx < 6とする場合があります。これは記号の向き以前に、比較する量が違います。xは切った長さで、残りは18 − xです。たとえばx = 13は切った長さが6 cmより大きいものの、残りは5 cmなので「残りが6 cm未満」という条件に合います。数字の大小を見ただけで式を修正せず、文字が指す量まで戻る必要があります。

割合でも同じ点検が使えます。標準例題で2割増しの後を2a/10としたなら、元の水を加え忘れています。a = 7.5のとき、2a/10は加えた1.5 Lを表し、加えた後の9 Lではありません。元の量と増えた量を分けて書けば、欠けた部分が見えます。

練習：条件を式にして読み返す

次の問題は、必要な関係式を答え、指定された値が条件に合うか理由も書いてください。量の単位は問題文の単位にそろえます。

1. 25 mのロープからy mを切ります。0 ≤ y ≤ 25とします。残りが8 m以上という条件を不等式に表し、y = 17とy = 18を判定してください。
2. 重さb gの材料の3割を使います。bは正とします。使った重さが12 g未満という条件を不等式に表し、b = 40とb = 30を判定してください。
3. 1冊p円のノートを4冊買い、袋代20円を加えます。pは正の整数です。合計が500円以下という条件を不等式に表し、p = 120とp = 121を判定してください。
4. 長さ24 cmの棒からz cmを切ります。0 < z ≤ 24とします。残りが元の長さの半分より長く、切った部分が5 cm以上という2条件を表し、z = 12とz = 8を判定してください。
5. 白い札がn枚、青い札がn + 3枚あります。nは0以上の整数です。青い札が白い札の2倍以下という条件を不等式に表し、n = 3とn = 2を判定してください。さらにn = 3.5を判定の対象にしてよいか説明してください。

練習の答えと考え方

1. 残りは25 − y mなので、25 − y ≥ 8です。y = 17では残りが25 − 17 = 8 mで、境界を含むため合います。y = 18では残りが25 − 18 = 7 mとなり、8 m以上ではありません。切った長さと残りを足すと、どちらも元の25 mです。

2. 使った重さは3b/10 gなので、3b/10 < 12です。b = 40なら40・3/10 = 12 gで、等しいため未満には入りません。b = 30なら30・3/10 = 9 gで、12 g未満です。使わなかった量はそれぞれ28 gと21 gで、使った量と合わせると元の重さに戻ります。

3. 4冊の代金は4p円、袋代を加えて4p + 20 ≤ 500です。p = 120なら120・4 + 20 = 500円で条件に合います。p = 121なら121・4 + 20 = 504円で、500円以下ではありません。どちらも単価が正の整数で、4冊分と袋代を足して条件を確認しています。

4. 元の半分は24/2 = 12 cm、残りは24 − z cmです。2条件は24 − z > 12とz ≥ 5です。z = 12では残りが12 cmなので、半分より長いという条件に合いません。z = 8では残りが16 cmで12 cmより長く、8 cmは5 cm以上なので両方に合います。切った部分と残りを足すと、それぞれ24 cmです。

5. 青い札はn + 3枚、白い札の2倍は2n枚です。したがってn + 3 ≤ 2nです。n = 3なら青は6枚、白は3枚で、青は白の2倍以下です。n = 2なら青は5枚、白は2枚で、5枚は2倍の4枚を超えます。n = 3.5では式の計算はできますが、札の枚数が整数にならないので、元の場面の判定対象にはできません。

要点と、つまずきの見分け方

• 比べる数量をそれぞれ式にしてから、等号や不等号でつなぎます。
• 以下・以上は境界を含み、未満・より大きいは含みません。
• 割合は基準量を決め、増減後なら元の量も含めて考えます。
• 境界とその両側を代入し、場面で使える値かも確かめます。

お子さまが記号を迷うときは、まず「何と何を比べているか」を声に出してもらうと、残りの式と大小の判断のどちらで止まったかを見分けられます。個別に確かめるときは、境界と等しい場合を含むかを尋ね、続いて境界の両側の値を元の場面へ戻します。割合で迷う場合は、基準にした量と増えた分を別々に指せるかを見ます。

式の左右を言葉に戻せば、数量の関係が元の条件を表しているか確かめられます。