高校数学III 合成関数と逆関数—式の順番と定義域を対応させて求め方を整理する｜武蔵野個別指導塾

入力の順序と値域を追い、二次関数の範囲制限から逆関数を導きます。入力から戻り先まで扱うのは合成関数と逆関数です。

定期テスト前の演習で、文字を入れ替えただけで逆関数を完成させる場面があります。式は変形できていても、元の関数が同じ値を2回出していれば、逆向きには出発点を決められません。さらに、逆向きの入力は元の値域です。式と範囲を一組にして追うと、この見落としを防げます。

ここでは合成の順序、逆関数が存在する条件、定義域を制限したときの対応を扱います。学習指導要領の数学IIIには、極限・微分法・積分法が含まれ、関数の扱いはその学習につながります。

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出方の1つは、2つの関数を順に適用して合成関数を求める型です。f(g(x))では、まずgにxを入れ、その結果をfに入れます。fとgを逆順にすると別の式になることがあり、式の形が整っていても順序が違えば答えは違います。

次は、与えられた関数の逆関数を式と定義域で答える型です。元の入力から出力への対応が重複していないかを調べ、値域を出してから文字を交換します。元の定義域が逆関数の値域になり、元の値域が逆関数の定義域になります。

もう1つは、二次関数の定義域を片側に制限して逆関数を求めたり、グラフの関係を説明したりする型です。平方根の正負は見た目で選ぶのではなく、元の入力の範囲から決めます。直線y=xに関する対称性も、点の座標を交換して確認します。

入力と出力の通り道

関数は、許された入力それぞれに出力を1つ対応させる規則です。入力の集合を定義域、実際に出力される値の集合を値域といいます。例えばf(x)=2x+1、g(x)=x²とし、どちらも実数全体で定義すると、f(g(x))はxを2乗してから2倍し、1を足す操作です。一方g(f(x))は2倍して1を足した後に2乗します。

図1のように、内側から外側へ矢印をたどります。右から左へ式を読むというより、今どの値が次の関数への入力になるかを書き出すと確実です。例えばx=2なら前者は9、後者は25です。1つの入力で値が違うので、この2つは同じ関数ではありません。

図1の矢印は、途中の値が次の入力に入ることも示します。一般には、g(x)がfの定義域に入るxに限ってf(g(x))が定義されます。たとえばf(t)=√t、g(x)=x-3なら、内側の値x-3が0以上でなければなりません。したがって合成関数の定義域はx≧3です。内側の式が実数全体で計算できることと、外側にも渡せることは別の条件です。

逆関数では矢印を反対にたどります。元の出力が同じになる異なる入力があれば、戻り先が複数になり、逆向きは関数になりません。逆に、定義域内の異なる入力が必ず異なる出力を持つなら、元の値域の各値から入力が1つに定まります。その対応を逆関数と呼び、fの逆関数をf⁻¹と書きます。これは逆数1/fを表す記号ではありません。

元のグラフ上の点(a, b)は、逆関数では(b, a)に移ります。座標の交換は直線y=xに関する折り返しに当たります。ただし定義域を制限した場合、元の曲線の制限された部分を折り返します。元のグラフ全体を使うと、存在しない部分まで描いてしまいます。

基本例題：順に入れて逆に戻す

実数全体で定義されたf(x)=2x+3、g(x)=x-4について、f(g(x))とg(f(x))を求め、fの逆関数を求めます。答えは式と定義域で示します。

まずgの出力はx-4です。fの入力を表す文字をtとすると、f(t)=2t+3ですから、tにx-4を入れます。

f(g(x)) = 2(x-4)+3

= 2x-8+3

= 2x-5

次は順番を入れ替えます。fの出力2x+3をgの入力にすると、gはその値から4を引きます。

g(f(x)) = (2x+3)-4

= 2x-1

どちらも途中の値が実数であり、次の関数にも入れられます。したがって両方の定義域は実数全体です。x=4を入れると、前者は3、後者は7です。元の操作で追っても、前者は4から0を経て3、後者は4から11を経て7となり、順序と計算が一致します。

図2の下側はfを逆向きにたどる操作です。fの傾きは0でなく、異なる入力から同じ出力にはなりません。また、任意の実数yに対してy=2x+3を満たすxが実数で1つあります。そこでまずyを固定し、元の入力xについて解きます。

y = 2x+3

y-3 = 2x

x = (y-3)/2

この時点で、元の出力yから元の入力xを求める式になりました。逆関数の入力を通常の文字xで表すため、文字を入れ替えて

f⁻¹(x) = (x-3)/2　（xは実数）

です。元の値域は実数全体なので、逆関数の定義域も実数全体です。例えば元の入力2は7に移り、逆の式に7を入れると(7-3)/2=2で戻ります。一般にもf⁻¹(f(x))=(2x+3-3)/2=xであり、逆向きからもf(f⁻¹(x))=2((x-3)/2)+3=xです。どちらの入力も定義域内にあることを確認した上で代入します。

文字交換は最後の表記を整える操作です。逆向きの対応が関数として存在することや、どの値を入力にできるかは、文字を交換する前に判断します。たとえば傾きが0の定数関数なら、異なる入力が同じ出力を持ち、上のように1つの入力へ戻すことはできません。

範囲で答えが分かれる例題

h(x)=(x-1)²+2について、定義域が実数全体の場合に逆関数が存在するかを調べます。さらに定義域をx≧1に制限した場合とx≦1に制限した場合について、それぞれ逆関数を式と定義域で求めます。

実数全体ではh(0)=3、h(2)=3です。異なる入力0と2が同じ出力3に対応するため、3から元の入力を1つに決められません。したがって逆関数は存在しません。これは式が解けないという意味ではなく、逆向きの対応が関数の条件を満たさないという意味です。

x≧1の場合、x-1は0以上です。xが増えるとx-1も増え、その2乗も増えるので、異なる入力は異なる出力になります。最小の出力はx=1のときの2で、任意のy≧2に対してx=1+√(y-2)が元の範囲にあります。よって値域はy≧2です。

y = (x-1)²+2

y-2 = (x-1)²

x-1 = √(y-2)

x = 1+√(y-2)

ここで正の平方根を選ぶ理由はx-1≧0だからです。文字を交換すると逆関数は

h⁻¹(x) = 1+√(x-2)　（x≧2）

です。逆関数の値域は元の定義域x≧1に対応して、1以上です。実際に入力3を逆関数に入れると2となり、元のhに2を入れると3に戻ります。端の入力2も1に戻り、h(1)=2です。

一方、x≦1ならx-1≦0です。式を解く途中の平方根は負の側を選び、x-1=-√(y-2)となります。こちらでも値域はy≧2で、逆関数は

h⁻¹(x) = 1-√(x-2)　（x≧2）

です。例えば3は0に戻り、h(0)=3です。端の2はどちらの制限でも1に戻りますが、3の戻り先は制限によって変わります。片側の式をそのまま両側に使わず、元の範囲から符号を決めることが分かれ目です。

逆向きの失敗を修理する

誤答として、実数全体のh(x)=(x-1)²+2に対し、文字を交換してy=1+√(x-2)を逆関数とする答案を考えます。右側の枝に限れば正しい式ですが、元の定義域にある0の対応を失っています。h(0)=3なのに、提案された式は3を2へ戻します。

原因は、2乗を外す際に元の範囲を調べず正の平方根を選んだことです。修正するときは、まず同じ値3へ向かう2本の矢印を見つけます。図3のように逆向きには戻り先が2つあるので、元の定義域のままでは逆関数が存在しません。

図3では、範囲をx≧1と定めれば入力0が外れ、3から2への戻り方が残ります。反対にx≦1と定めれば入力2が外れます。なお、元の値域でない1を逆関数に入れることもできません。逆関数の式だけでなく、入力できる範囲まで答案に記すと、定義域の取り違えを防げます。

合成でも範囲を落とす誤りがあります。√(x-3)を得た後、xを任意の実数と書けば、x=2で根号内が負になります。x≧3と直し、端の3も入れられることを確かめます。逆にx>3として端を除くと、実際に計算できる入力を失います。

対称性を点で調べる

先ほどの右側に制限したhでは、元の点(2, 3)が逆関数の点(3, 2)に対応します。どちらも直線y=xまでの位置が入れ替わり、2点を結ぶ線分の中点は(5/2, 5/2)です。この中点はy=x上にあり、2点を結ぶ線分の傾きは-1です。したがって両点はこの直線に関して対称です。

端点(1, 2)も(2, 1)に移ります。元の曲線の左側を除いた後で対応する点を移すため、逆のグラフには右側の枝に対応した部分だけが現れます。図を描くときは、端点が含まれることを点で示し、軸をまたいで曲線を延ばす前に定義域を照合します。式の計算に戻れば、逆関数の入力3に対する出力2が、この点の交換と同じ結果です。

自分でたどる4問

次の関数は、特に断りがなければ実数全体を定義域とします。式を求める問題は、定義域もあわせて答えてください。

1. p(x)=3x-2、q(x)=x+5について、p(q(x))とq(p(x))を求めます。
2. r(x)=√(x+2)、s(x)=2x-4について、r(s(x))とその定義域を求めます。rの定義域はx≧-2です。
3. k(x)=5-3xの逆関数を求めます。
4. m(x)=(x+2)²-1をx≦-2で定義します。値域と逆関数を求め、逆関数の定義域を示します。

解答と戻し方

1. qの出力x+5をpに入れると、p(q(x))=3(x+5)-2=3x+13です。反対にpの出力をqに入れると、q(p(x))=(3x-2)+5=3x+3です。定義域は両方とも実数全体です。入力0で前者は13、後者は3になり、元の順番で操作してもそれぞれ同じ値です。分配した後の-2を忘れないようにします。

2. sの出力をrに入れて、r(s(x))=√((2x-4)+2)=√(2x-2)です。rに入れる値は-2以上なので、2x-4≧-2、すなわちx≧1です。入力1では途中の値が-2、出力は0で、端点を含みます。入力0では途中の値が-4となってrの定義域に入らず、除外が必要です。

3. y=5-3xと置き、3x=5-yからx=(5-y)/3です。傾きが0でなく値域も実数全体なので、逆関数はk⁻¹(x)=(5-x)/3、定義域は実数全体です。例えば元の入力2は-1に移り、逆の式は(5-(-1))/3=2を返します。負の係数を移項する際の符号も、この戻し方で照合できます。

4. x+2≦0ですから、mの最小値は-1です。任意のy≧-1についてx=-2-√(y+1)はx≦-2を満たして元の式を満たすため、値域はy≧-1です。異なる入力から異なる出力が得られるので逆関数が存在します。y+1=(x+2)²を解くとx+2=-√(y+1)で、m⁻¹(x)=-2-√(x+1)、定義域はx≧-1です。入力3は-4に戻り、m(-4)=3です。端の-1は-2に戻り、m(-2)=-1となります。

持ち帰る要点

合成は内側の出力を外側に入れ、途中の値が許されるか調べます。
逆関数は異なる入力が同じ出力を持たないとき、元の値域上で定まります。
逆関数の定義域は元の値域、値域は元の定義域です。
平方根の符号は元の入力の範囲から決めます。
グラフは制限された部分を直線y=xに関して折り返します。

式のどこを確認するか

合成の式が合わないときは、先に代入した関数名と途中の値を答案の余白に書きます。式の展開と順序のどちらで間違えたかを切り分けられます。逆関数で止まるときは、同じ出力を持つ異なる入力を探し、見つからない場合も値域の端を元の式へ戻します。

個別指導で確かめるなら、平方根の符号を選んだ行に注目します。元の入力がどちら側にあるかを本人の言葉で説明できるか、逆の式に端点と端点以外の値を入れて元の式へ戻せるかを見ます。文字の交換に進む前に対応の向きを決めると、式と範囲がつながります。