高校数学III 関数の極限—因数分解と有理化で不定形を解消して値を求める｜武蔵野個別指導塾

因数分解と有理化で不定形を整理し、約分の条件や左右の符号を確認しながら関数の極限値を求めます。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、分母に近づける数を代入すると0になるため、極限は存在しないと決めてしまう場面です。その点で元の式が定義されないことと、点の近くの値が一定の数に近づくことは別の話です。分子も0になるなら、式を変形して近くの値を調べる余地があります。一方、左右から近づいたときの様子が違えば、有限の極限値はありません。代入の結果を出発点にして、次に何を調べるかを選びましょう。

学習範囲の確認として、関数の極限は数学IIIの極限に含まれます。ここでは因数分解、有理化、無限遠と左右の確認を扱い、微分を使う方法には進みません。

最初の代入で何を見分けるか

有限の数に近づける問題では、まず分子と分母にその数を入れ、それぞれがどうなるかを見ます。分母が0でなければ、そのまま値を求められる式もあります。分子と分母がともに0になる場合は、0を0で割った値を計算するのではなく、因数分解や有理化によって共通する因子を見つけます。このように代入結果だけでは値を決められない形を、不定形と呼びます。

分母が0に近づき、分子が0以外の数に近づく場合は、分母の正負によって左右の様子が変わることがあります。正の大きな値へ向かうのか、負の大きな値へ向かうのか、別々に調べてください。左右が異なるときは、両側からの極限値は存在しません。分母が0になるという情報から直ちに結論を出すのでなく、分子と左右の符号まで読むことが必要です。

xが正または負の無限大へ向かう問題では、xに大きな数を1つ入れて答えを決めません。分数なら分子と分母の最高次数に注目し、適切なxの累乗で両方を割ります。有限の点へ近づく場合と、無限に遠ざかる場合は、最初に見る形が異なります。

点の値と近づく値を分ける

関数の極限では、xがある数aに近づくとき、定義域にあるxに対する関数の値がどこへ近づくかを考えます。xがaそのものを取る必要はありません。例えば元の分数式でx=aが除かれていても、その点の両側に定義域があり、左右からの値が同じ数Lに近づけば、極限値はLです。

図1のように、近づく先の点が抜けていても、周囲の線が同じ高さへ寄る様子を考えられます。白い丸はその点が元の関数のグラフに含まれないことを表します。矢印は左右から近づく向きを示しています。

図1では中央の高さLに左右から近づきますが、丸の中心は塗られていません。近づく値Lと、x=aにおける関数値が存在するかどうかを混同しないための図です。別の式でx=aの関数値が定義されている場合でも、その値と極限値は別に調べます。

記号では、x→a-0を左から、x→a+0を右から近づくことに使います。両側からの有限の極限値を述べるには、左右の極限がともに存在して一致することを確かめます。定義域が片側にしかない場合は、その定義域からの近づき方を問題の条件に合わせて扱います。

無限遠の分数では、例えば分子と分母がともに2次式なら、それぞれをx²で割ります。定数項は定数をx²で割った項となり、1次の項は定数をxで割った項になります。xが正にも負にも限りなく大きくなるとき、1/xと1/x²はいずれも0に近づきます。整理後の分母が0以外の数に近づけば、残った定数の比を求められます。分母が0に近づく形なら、そのまま割り算を終えず、さらに式や符号を調べます。

左右の確認では、左側は「近づく点より小さい値」、右側は「近づく点より大きい値」です。点そのものを含むかどうかより、その方向に定義域の点があるかが先です。左右の式が別々に与えられたときも、それぞれの範囲に合う式で極限を出し、最後に結果を比べます。値の表は様子をつかむ手がかりになりますが、表の数個の値が同じ高さに見えることだけでは結論を証明できません。

式変形でも元の定義域を忘れないようにします。分母の因子を約分するときは、その因子が0でない範囲で等式が成り立ちます。約分後の式がaでも計算できるからといって、元の式がaで定義されるわけではありません。極限ではa以外の近くの点で両式が一致することを利用し、その近くの値を読み取ります。

例題1　共通因子を取り除く

次の極限値を整数で求めます。

lim（x→3）(x²-9)/(x-3)

元の式の分母はx-3ですから、定義域はx≠3です。x=3を分子と分母に入れると、ともに0になります。この結果は答えが0という意味ではなく、直接の代入では商を決められないという合図です。

分子は平方の差として、次のように因数分解できます。

x²-9 = (x-3)(x+3)

元の式が定義されるx≠3では、x-3は0でないので約分できます。

(x²-9)/(x-3) = {(x-3)(x+3)}/(x-3) = x+3　（x≠3）

ここで等号に添えた条件が重要です。x=3で元の分数を計算したわけではありません。3の近くで3以外の値を取るとき、元の分数とx+3は同じ値を取ります。x+3はxが3に近づくと6に近づくので、答えは6です。

lim（x→3）(x²-9)/(x-3) = lim（x→3）(x+3) = 6

図2は同じ関係をグラフで示します。元の式は直線y=x+3からx=3の点を除いたものです。図2の白い丸の座標は(3, 6)で、点を含めなくても左右から高さ6に近づきます。

逆向きにも式を確かめます。x≠3で、約分後のx+3に分母x-3を掛けると(x+3)(x-3)=x²-9となり、元の分子へ戻ります。例えばx=2では元の式は(-5)/(-1)=5、整理後も2+3=5です。この1点の一致は極限の証明ではありませんが、変形に符号の誤りがないかを点検できます。

有限点で0/0の形を見たら、分子と分母をそれぞれ因数分解し、共通因子があるか探します。和や差の一部だけを勝手に消すことはできません。全体が積の形になってから、0でない共通因子を約分するのが順序です。

例題2　根号を外す操作と左右の分岐

次の極限値を分数で求めます。

lim（x→4）(√(x+5)-3)/(x-4)

根号内が0以上で、分母が0でない必要があるため、元の定義域はx≧-5かつx≠4です。4の左右にはこの条件を満たす点があるので、両側から調べられます。代入を試すと分子は√9-3=0、分母も0です。根号の差があるので、分子の共役な式√(x+5)+3を分子と分母に掛けます。

(√(x+5)-3)/(x-4) = {(√(x+5)-3)(√(x+5)+3)}/{(x-4)(√(x+5)+3)} = {(x+5)-9}/{(x-4)(√(x+5)+3)} = (x-4)/{(x-4)(√(x+5)+3)} = 1/(√(x+5)+3)　（x≧-5、x≠4）

√(x+5)+3は定義域で正なので、この操作で0を掛けていません。またx≠4ですからx-4を約分できます。整理後の分母はx→4で6に近づき、0になりません。したがって求める極限値は1/6です。

変形を元に戻すには、整理後の式に元の分母x-4を掛け、有理化前の分子になることを見ます。実際、x-4=(√(x+5)-3)(√(x+5)+3)なので、積は√(x+5)-3へ戻ります。近くの任意の許されたxについて成立する関係であり、特定の数を試すことより強い確認です。

同じ「分母が0になる」問題でも、分子が共通因子を持たない場合は結論が違います。例えば1/(x-2)でx→2を考えると、xが2より小さい側では分母が負で0に近づき、値は負の方向へ限りなく大きくなります。2より大きい側では分母が正で0に近づき、値は正の方向へ限りなく大きくなります。左右の向きが異なるため、有限の極限値は存在しません。0/0ではない式に、存在しない共通因子を作って約分しようとしないことも分かれ目です。

誤答から、止まる場所を探す

例題1で「x=3なら分母が0だから、極限は存在しない」とする誤答を考えます。原因は、元の式がその点で定義されないことと、周辺の値がどこに近づくかを同じ判断にしている点です。図3のように、まず分子も0かどうかを調べます。両方が0なら式を整理し、整理後も元の定義域に注意して左右からの値を追います。

図3の左側は、例題1で分子も0となり、因数分解へ進む経路です。右側は分子が0以外へ近づく場合で、左右の符号を調べます。どちらの経路でも、分母が0という一つの事実だけを答えにしません。

もう一つの誤りは、有理化で分母に共役な式を掛け忘れることです。分子だけを掛ければ、分数全体の値が変わります。分子と分母に同じ0でない式を掛け、平方の差を使った後で初めて約分します。根号内の条件と掛ける式が0でないことも、途中式の横に残しましょう。

無限遠では符号の見落としにも注意します。例えば√(x²)=xはx≧0のときに限り、一般には√(x²)=|x|です。x→-∞なら|x|=-xとなるので、正の無限大のときと同じ処理を無条件に使えません。根号のある式を最高次数で整理するときは、近づく方向を確認します。

自分で試す4問

次の問いは途中の条件を書き、極限が存在する場合は指定された形で答えてください。存在しない場合は左右の様子を記します。

1. lim（x→4）(x²-16)/(x-4) を整数で求めます。
2. lim（x→7）(√(x+9)-4)/(x-7) を分数で求めます。
3. lim（x→∞）(3x²-x+2)/(2x²+5) を分数で求めます。
4. lim（x→-1）|x+1|/(x+1) が存在するか調べます。

練習の解答と確かめ

1. 元の式はx≠4で定義されます。x²-16=(x-4)(x+4)なので、x≠4では元の式はx+4です。よってx→4の極限値は8です。戻して確かめると、(x+4)(x-4)=x²-16で元の分子に一致します。x=4の代入を元の分数に行っていないことも確認してください。

2. 元の定義域はx≧-9、x≠7です。7の左右に定義域があり、共役な式√(x+9)+4は正です。分子と分母にこれを掛けると、分子は(x+9)-16=x-7になります。x≠7で約分して1/(√(x+9)+4)となり、極限値は1/8です。整理後の式にx-7を掛けると、平方の差から元の分子√(x+9)-4に戻ります。

3. 分母2x²+5は実数のxで常に正なので、すべての実数で元の式が定義されます。x→∞ではx≠0として分子と分母をx²で割ります。

(3x²-x+2)/(2x²+5) = (3-1/x+2/x²)/(2+5/x²)

1/xと1/x²はいずれも0に近づき、分母は2に近づきます。したがって極限値は3/2です。右辺の分子と分母にx²を掛けると元の式に戻り、各項を同じ累乗で割ったことを確認できます。分子の-xの項を割った結果は-1/xであり、符号を保つ点にも注意します。

4. 元の定義域はx≠-1です。x>-1ではx+1>0なので|x+1|=x+1となり、分数の値は1です。x<-1ではx+1<0なので|x+1|=-(x+1)となり、分数の値は-1です。左極限は-1、右極限は1で一致しません。よって両側からの極限値は存在しません。それぞれの範囲で絶対値の定義に戻せば、符号を含めて元の分子と一致します。

手元に残す要点

• 代入で分母が0なら、分子と左右の様子も調べます。
• 0/0の形では、因数分解や有理化で近くの値を読み取ります。
• 約分の条件と元の定義域を残します。
• 左右の有限の極限が一致するとき、両側の極限値を述べられます。
• 無限遠では最高次数と近づく方向を確かめます。

式のどこで迷ったかを見つける

答えが合わなかったときは、最初の代入、変形、最後の極限のどこで判断が変わったかを順に見直します。0/0を数として扱っていたなら、不定形が「まだ決まらない」という印であることを確認します。正しい式に約分できても条件を書けない場合は、元の分母が0になる点を先に囲み、変形後の式と元の式が一致する範囲を説明してみます。

個別指導で確かめるなら、左右の符号を言葉で説明できるか、根号の共役な式を両方に掛けたか、無限遠で各項を同じ累乗で割ったかを本人の途中式から見ます。式を戻す確認まで行うと、答えの数字だけを覚えた場合と、近くの値を追えた場合の違いが見えてきます。近づく点と、その点での計算を分けて考えることが、関数の極限を読む手がかりです。