数検3級 標本調査の割合の推定—標本の比率から全体の個数を見積もる練習｜武蔵野個別指導塾

40個中12個という標本の割合を箱全体に当てはめ、青い品物の個数を見積もります。端数は最後に丸め、確定値との違いを区別します。

よくあるのは、箱から選んだ品物の割合を計算し、その割合が箱全体でも正確に成り立つと言い切ってしまう場面です。選んだ品物については数えた結果がわかりますが、調べていない品物の内訳はまだわかりません。標本調査の割合の推定では、標本の割合を全体にも当てはめて見積もり、その答えが推定値であることを言葉にします。ここでは自作の数値を使い、式の意味と個数の丸め方を順に追います。

割合から個数へ向かう3つの型

1つ目は、標本で条件に合うものの数と標本の総数から割合を出し、母集団の総数に掛ける型です。例えば、取り出した品物のうち青いものが何個あったかを使い、箱全体の青い品物の個数を見積もります。割る数は青いものの数ではなく、取り出した品物の総数です。割合を出してから全体の総数を掛けると、答えの単位は個に戻ります。

2つ目は、比の式を使う型です。標本の条件に合う個数と標本の総数の比が、全体の推定個数と母集団の総数の比に等しいと考えます。どちらも「条件に合う個数 : 総数」の順にそろえます。比の両側で順序が違うと、見た目が似た式でも別の関係になります。

3つ目は、推定値に端数が出る型です。条件に合う品物の実際の個数は整数ですが、割合を全体に掛けた計算結果は整数とは限りません。問題が指定する位で四捨五入し、丸める前の値も途中に残します。整数にした後も、調べていない品物の個数がその数に決まったわけではありません。

これらは考え方を練習するための型です。計算の前に、何を全体として見積もるのか、どの品物を条件に合うと数えるのかを問題文に戻って確認します。見積もりの根拠が標本の割合にあることを、答えの言葉にも残します。

母集団と標本を対応させる

調べたい対象全体を母集団、その一部として実際に調べたものを標本といいます。例えば、箱の中の品物のうち青いものの個数を知りたいとき、箱の品物全体が母集団です。その箱から選んで色を調べた品物が標本です。標本で青かった個数は数えた事実ですが、箱全体で青い個数は調べ終えるまでわかりません。

図1のように、標本で条件に合う個数を標本の総数で割ると、標本の割合が出ます。その割合を母集団の総数に掛けたものが、条件に合う個数の推定値です。割合をそのまま全体に広げるのは、標本が母集団の様子をよく表すと考えて見積もるためです。

図1の左側の割り算では、同じ単位の個数どうしを比べているので、結果は単位のない割合です。右側で全体の個数を掛けると、推定値には個という単位が付きます。割合が0以上1以下なら、推定個数は0個以上、母集団の総数以下になります。計算後にこの範囲から外れていれば、分子と分母や掛ける数を点検します。

標本は、対象のどれも選ばれる機会が等しくなるよう無作為に抽出することが基本です。それでも、たまたま条件に合うものが多く、あるいは少なく選ばれることがあります。無作為に選んだからといって、標本の割合が母集団の割合と必ず一致するわけではありません。特定の場所からばかり選ぶなど、選び方が偏っている場合には、計算が正しくても全体を表す見積もりとして扱いにくくなります。

調べたい範囲と、実際に選んだ範囲が違う場合にも注意します。箱全体について知りたいのに、上に並ぶ品物からしか選ばなければ、下の方と色の割合が違う可能性を見落とします。数式に入れる前に、対象と抽出の条件を言葉で確かめることが必要です。

基本例題：箱の青い品物を見積もる

ある箱には品物が全部で200個入っています。箱全体から無作為に40個を選んで色を調べたところ、青い品物は12個でした。箱全体にある青い品物は約何個と推定できますか。標本の割合を箱全体の割合とみなして計算し、整数の個数で答えましょう。

まず、母集団は箱に入っている200個です。標本は調べた40個で、その中の条件に合うものは青い12個です。図2のように、同じ順序で「青い個数 : 総数」を並べると、標本の割合と全体に当てはめる割合が対応します。

図2の値を使って、1行ずつ計算します。

標本で青い品物の割合は 12 ÷ 40 です。

12 ÷ 40 = 0.3 です。

全体の推定個数は 200 × 0.3 です。

200 × 0.3 = 60 です。

したがって、青い品物は約60個と推定できます。ここで数えた12個は事実ですが、60個は全数を数えた結果ではありません。標本の割合が全体にも当てはまるとみなした計算の結果です。

比で考えるなら、全体の青い品物の推定個数を x 個として、12 : 40 = x : 200 と置けます。標本の総数40個から母集団の総数200個は5倍です。同じ比を保つため、青い個数も12個の5倍として x = 60 になります。左右とも青い個数を先に書いたことが、この式を読める形にしています。

答えを場面に戻すと、60個は200個の0.3に当たります。標本の12個も40個の0.3なので、式が想定した割合の対応を満たしています。また60は0から200までの間にあり、個数として不自然な範囲ではありません。これは立てた比が成立する確認であり、箱の実際の青い個数を確認したことにはなりません。

仮に標本の総数40を12で割ると、出るのは青いもの1個に対する標本全体の比です。青い割合とは逆の量なので、それを200に掛ければ全体を超える数になり、条件に合う個数として不適切です。何を何で割ったのかを、数字の横に短く書いてから進めます。

少し難しい例題：端数と残りを分ける

ある棚には同じ大きさのカードが全部で350枚あります。棚全体から無作為に60枚を選んだところ、星の印があるカードは23枚でした。星の印がないカードは全体で約何枚と推定できますか。標本の割合を全体に当てはめ、計算の最後に四捨五入して1枚の位までの整数で答えましょう。

この問題で求めるのは、星の印があるカードではなく、印がないカードです。標本で印のない枚数は 60 − 23 = 37 枚です。全体で印のないカードの割合を標本と同じとみなすと、推定枚数は 350 × 37 ÷ 60 です。

350 × 37 ÷ 60 = 215と5/6 です。小数では約215.833枚なので、最後に四捨五入して約216枚です。途中の割合37/60を先に小数第2位などに丸めると、掛け算の結果が変わることがあります。指定された最後の段階まで分数のまま計算する方法なら、その影響を避けられます。

別の道として、印があるカードを 350 × 23 ÷ 60 = 134と1/6 枚と見積もり、丸める前に350枚から引くこともできます。350 − 134と1/6 = 215と5/6 となり、同じ値です。印のある枚数を先に整数へ丸めてから引くと、丸めの条件によっては最後に丸める結果とずれることがあるため、式の途中では端数を残します。

場面に戻して確認すると、標本の印あり23枚と印なし37枚を合わせて60枚です。全体の丸める前の推定枚数も134と1/6枚と215と5/6枚を合わせて350枚になります。約216枚という整数は、実際にカードを分割できるという意味ではなく、割合から計算した数を指定に従って表したものです。実際の印なしの枚数は、全数を調べない限り確定できません。

誤答を直す：数えた値と見積もった値

基本例題で「青い品物は必ず60個ある」と答えたとします。12 ÷ 40 × 200 = 60 という計算自体は、標本の割合を全体に当てはめる操作として正しいものです。誤りは、標本からの推定を、箱全体を数えた確定値に変えてしまったところにあります。

図3のように、40個中12個という調査結果と、200個中約60個という推定を別の欄に置きます。矢印の途中に「割合を当てはめる」という操作があるため、左側の数えた事実が、右側でそのまま確定した事実になるわけではありません。

直すときは、答えを「青い品物は約60個と推定できます」と書き換えます。理由には「標本の青い割合12/40を全体にも当てはめた」と添えます。もし箱全体を数えた結果が別に与えられたら、その結果と推定値を混ぜずに比べます。差があっても、標本の割合を使った計算が自動的に間違いになるわけではありません。

もう1つの誤答は、青くない28個を使って 28 ÷ 40 × 200 = 140 と出し、青い品物の推定値とすることです。140は、この条件で青くない品物についての推定値です。求める条件に合う標本の個数を12個に戻すか、200から140を引いて60個とします。どちらの道でも、答えに付ける「青い」という言葉まで確認します。

標本に条件に合うものが0個だった場合、同じ計算方法で得られる推定値は0個です。しかし、それだけで母集団にも条件に合うものが存在しないとは言えません。選ばれなかったところに存在する可能性があるからです。逆に標本の全てが条件に合った場合も、全体の全てが条件に合うと断定はできません。

標本数が0であれば、割合の分母が0になり計算できません。調査が途中で止まり、調べた個数がわからない場合も、数値を作って埋めず、必要な記録を確認します。条件に合う標本の個数が標本の総数を超える記録も、そのまま計算せず数え直します。調査の失敗や記録の不整合を、もっともらしい推定値で隠さないことが大切です。

練習問題：先に条件を整理する

次の4問は、それぞれ標本を母集団から無作為に選び、標本の割合を母集団の割合とみなして見積もります。小数が出る場合は問題ごとの指示に従います。答えには推定であることを表しましょう。

1. ある袋には玉が全部で480個あります。選んだ80個のうち、赤い玉は30個でした。袋全体の赤い玉は約何個ですか。整数で答えましょう。
2. ある箱には封筒が全部で270枚あります。選んだ45枚のうち、封の閉じているものは18枚でした。箱全体で封の閉じていない封筒は約何枚ですか。整数で答えましょう。
3. ある台には部品が全部で125個あります。選んだ30個のうち、目印のある部品は7個でした。全体の目印のある部品は約何個ですか。最後に四捨五入して1個の位までの整数で答えましょう。
4. ある入れ物には石が全部で300個あります。選んだ25個のうち、白い石は0個でした。白い石の推定個数を整数で答え、この結果から白い石が実際にないと断定できるかも答えましょう。

練習の答えと考え方

1. 赤い玉

標本の赤い玉の割合は 30 ÷ 80 = 3/8 です。袋全体では 480 × 3/8 = 180 なので、約180個と推定できます。480 ÷ 8 = 60 としてから3倍すれば、分数の掛け算を整理できます。

場面に戻すと、推定した180個は480個の3/8です。標本の30個も80個の3/8なので、標本と全体の対応がそろっています。180個は袋全体の480個より少なく、個数の範囲にも収まります。赤い玉以外の推定個数を問われているわけではない点も確認します。

2. 封の閉じていない封筒

選んだ45枚のうち、封の閉じていないものは 45 − 18 = 27 枚です。割合は 27 ÷ 45 = 3/5 なので、270 × 3/5 = 162 です。答えは約162枚です。

封の閉じているものは標本の18/45、つまり2/5です。全体では270 × 2/5 = 108枚と推定でき、108枚と162枚を合わせると270枚になります。問題が求める「閉じていない」という条件と、答えが対応していることをこの戻し方でも確かめられます。

3. 目印のある部品

標本の割合は 7/30 です。全体に当てはめると 125 × 7/30 = 875/30 = 29と1/6 です。小数では約29.166なので、1個の位まで四捨五入して約29個と推定できます。

丸める前の29と1/6個を125で割れば7/30に戻ります。丸めた29個を125で割ると完全には一致しませんが、それは最後に整数にしたためです。推定値が125個を超えていないことも確認します。実際の目印のある個数が29個と確定したわけではありません。

4. 白い石が選ばれなかった場合

標本の白い割合は 0 ÷ 25 = 0 です。300 × 0 = 0 から、計算上は約0個と推定します。0個は母集団の総数300個以内で、標本の白い割合とも対応します。

ただし、白い石が実際にないと断定することはできません。例えば、入れ物の中に白い石が少数あっても、選んだ25個に入らない場合があります。計算結果の意味を答えた後で、調べていない石については確定していないと述べます。

覚えておくこと

標本の割合は、条件に合う標本の個数 ÷ 標本の総数です。
推定個数は、母集団の総数 × 標本の割合です。
比の式では、条件に合う個数と総数の順序をそろえます。
丸める位置と単位を問題文で確認します。
推定値と全数を数えた確定値を区別します。

つまずきを見分ける問い

計算が合わないときは、まず「40個中12個」のような言葉に戻り、どちらが標本の総数かを指さして確認します。割り算が逆なら、割合が1を超えていないかも確かめます。割合は合っているのに答えが違う場合は、標本の総数ではなく母集団の総数を掛けたか、求める条件が逆になっていないかを見ます。

個別指導では、答えの式に入る数を本人に説明してもらい、数えた個数、調べた総数、見積もる全体の総数を区別できるかを確かめます。お子さまが「必ずこの個数」と答えたときは、標本に選ばれなかったものの色も数えたかを問い、推定という言葉に戻します。端数が出た場合は、いつ丸めたかと単位をたどります。標本の数え方と全体への見積もりを分ければ、計算の答えが何を表すかを説明できます。