数検3級 標本調査の抽出—母集団と標本を区別して偏りのある選び方を直す練習｜武蔵野個別指導塾

答えやすい人への聞き取りを見直し、名簿と乱数を使う手順から偏りを減らす標本抽出を学びます。

よくあるのは、受検者が答えやすい人にだけ質問し、その答えを全体の意見として広げる場面です。たとえば、昼休みに図書室にいる人に読書について尋ねれば、調べやすい一方、図書室に来ない人の声は入りません。計算が正しくても、選び方によって結論の届く範囲は変わります。まず誰について知りたいのかを決め、そこから誰をどう選んだのかをたどりましょう。

選ぶ前に問われること

標本調査の問題では、数を計算する前に、調べたい集団と実際に調べた集団を区別します。次の3つは、自作の問題で練習できる出方です。どれも選んだ後の計算だけで判断せず、選ぶ前の条件に戻ります。

1. 調べたい対象と回答者を示し、母集団と標本を答える型です。対象の範囲を学年や期間まで読み取り、回答者を母集団と取り違えないことがポイントです。
2. 一部の人を選ぶ方法を読み、偏りの原因と改善案を述べる型です。声をかけやすい場所にいる人だけでは、そこにいない人が選ばれません。誰が選ばれないかを具体的に書きます。
3. 番号を付けた対象から乱数を読み、指定数を抽出する型です。範囲外の番号や、同じ対象を二度選ばない条件があるときの重複を、あらかじめ決めた規則で処理します。

全数調査は対象の全員や全個を調べる方法です。対象が少なく、全員から回答を得られるなら、標本から全体を見積もる必要はありません。一方、対象が多い場合や、調べると品物が使えなくなる場合には、一部を調べる方法が考えられます。ただし、全員に尋ねる計画でも、回答が集まらなければ実際の回答者は全員ではありません。計画と実施後の結果は分けて考えます。

母集団から標本を取り出す

母集団は、調べたい性質について、結論を考えたい対象の全体です。標本は、その母集団から実際に取り出して調べる対象の集まりです。標本の大きさは、選ばれた人や物の数を表します。母集団を大きな枠、標本をその中に入る小さな枠として考えると、両者の関係を追いやすくなります。

図1のように、まず対象全体を決め、それぞれに番号を付けてから一部を選びます。標本の結果は母集団について考える材料ですが、選ばれなかった対象の答えまで直接見たわけではありません。

たとえば、ある学年の生徒の通学方法を知りたいとします。その学年の生徒全員が母集団です。名簿から選ばれて回答した人たちを標本とします。別の学年の生徒は、この問いの母集団には含めません。逆に、調べたい対象が学校全体なら、ある学年の名簿だけでは他の学年の生徒に選ばれる機会がありません。

無作為抽出は、対象が選ばれる機会が偏らないように、偶然を利用して標本を選ぶ方法です。母集団の各対象に異なる番号を付け、番号を公平なくじで引く方法を考えます。同じ人数を選ぶ場合も、番号順に最初の人を並べる方法は、名簿の並び方と調べたい性質が関係していれば偏るおそれがあります。番号を付けるだけで無作為になるわけではなく、その番号をどう選ぶかが大切です。

乱数を使う場合は、対象の番号に合う桁数で区切り、範囲に入る番号を順に採用します。乱数の各番号が公平に現れるものとして扱います。名簿の対象が01から40なら、2桁ずつ読み、01から40を候補にします。00や41以上は対象に対応しないので捨てます。1人を重複して選ばないと決めた場合は、既に採用した番号も捨てて先へ進みます。人数が足りなければ、その先の乱数を続けて読みます。

乱数を用いても、名簿に対象者が抜けていたり、選ばれた人のうち特定の人が回答しなかったりすれば、結果に偏りが残ることがあります。抽出の公平さと、回答を得られたかどうかは別の確認です。また、公平に選んでも、たまたま似た答えが集まることはあります。標本の結果は全体の確定した値ではなく、全体を考えるための手がかりです。

名簿と乱数を使う基本例題

ある学年の生徒40人の読書習慣を調べるため、全員の名簿に01から40まで異なる番号を付けました。公平に得られた2桁の乱数を左から順に読み、同じ生徒を重複させずに4人を選びます。乱数は「07、43、12、07、00、31、25」です。母集団と標本を答え、選ばれた番号を採用順に書いてください。範囲外と重複は捨てるものとします。

図2のように、候補を1つずつ読み、対象の番号か、すでに選んだかを順番に確かめます。後から都合のよい番号を選び直すのではなく、最初に決めた規則を使い続けます。

解き方を1行ずつ追います。

1. 知りたいのは、その学年の生徒40人の読書習慣なので、母集団はその40人です。
2. 07は01から40の範囲内で、まだ選んでいないので採用します。
3. 43は40を超えており、名簿に対応する生徒がいないので捨てます。
4. 12は範囲内で未採用なので採用します。
5. 次の07は範囲内ですが、すでに選んだ生徒なので捨てます。
6. 00は01から40の範囲外なので捨てます。
7. 31は範囲内で未採用なので採用します。
8. 25も範囲内で未採用なので採用し、4人に達したところで止めます。

答えは、母集団がその学年の生徒40人、標本が番号07、12、31、25の生徒4人です。採用した番号はすべて01から40に入り、重複もありません。4人は母集団に含まれています。乱数列に現れた数字をそのまま4個取ると43や重複した07を含むため、条件を満たしません。

この4人が実際に回答したと仮定すれば、その回答を使って学年の様子を考えられます。しかし、4人の結果が学年の全員にそのまま当てはまるとは限りません。選ばれた4人と、実際に回答した人数が違う場合もあります。未回答があった場合にどう扱うかは調査前に定め、結果を読むときにも知らせる必要があります。

名簿の範囲で判断が分かれる例題

地域の講座に登録している60人の希望する開催時間を調べます。登録者全員を載せた名簿に01から60の番号を付け、5人を重複なく選ぶ計画です。候補Aは、午前の会場に来た人から5人に声をかける方法です。候補Bは、名簿から公平な乱数で5人を選び、それぞれに同じ質問をする方法です。60人の希望を考える目的に対して、より適切な候補を1つ選び、その理由と、選んだ後にも残る注意点を述べてください。

答えはBです。Aでは午前の会場に来ない登録者が選ばれず、午前に来やすい人の希望が集まりやすくなります。たとえば午後を希望する人が午前の会場に来ない場合、その意見はAの方法では拾えません。会場に来た人数が多くても、選ばれる機会のない人がいるという問題は解消しません。

Bでは名簿が登録者60人を含み、それぞれに異なる番号が付いています。公平な乱数と重複を除く規則を用いるので、特定の時間に会場へ来ることを選出の条件にしません。5人という標本の大きさだけでAとBを比べるのではなく、60人のそれぞれが選ばれる可能性を見ます。

ただし、Bで選ばれた人の一部が回答しなければ、回答者の集まりがもとの5人と異なります。回答しなかった人の希望を勝手に決めて加えることはできません。また、5人を公平に選んでも、偶然同じ希望が多くなる可能性は残ります。Bの手順は偏りを減らすための改善であり、希望の割合を確定する保証ではありません。

選びやすさを全体に広げる誤り

次の誤答を考えます。ある学年の通学方法を調べるため、雨の日の朝に自転車置き場にいた人へ尋ね、「回答した人の大半が自転車なので、学年でも大半が自転車だ」と結論しました。自転車置き場にいる人を選ぶこと自体はできますが、学年全体を知るという目的に対して選び方が偏っています。

図3のように、誤りの理由は、徒歩や別の方法で通う人がその場所では選ばれにくいことです。さらに、雨の日に限定する条件も、調べたい普段の通学方法との関係を考える必要があります。回答者の中で自転車の人が多かったという事実と、学年全体で多いという主張は別です。

直すには、まず調べたい学年と、いつの通学方法を尋ねるのかを決めます。その学年の全員が載った名簿に番号を付け、公平な乱数で選びます。選ばれた人には同じ問いを届け、回答の有無も記録します。結果を書くときは「選んで回答を得た人の中では」と範囲を示し、学年全体については推定として扱います。

もう1つの誤りは、乱数の中で好きな番号を選ぶことです。たとえば基本例題で43を捨てた理由は、好みに合わないからではなく、名簿の範囲外だからです。07を2回目に捨てたのも、重複を認めない条件によります。採用規則が調査する人の判断で途中から変わると、選ぶ機会の公平さを保てません。

練習問題

次の問題はそれぞれ独立した自作の場面です。人数は整数で、番号は記された桁数のまま答えてください。乱数を使う問題では、公平な乱数を左から順に読み、指定がある場合は同一対象の重複を除きます。まず4問を解き、その後で答えを確かめましょう。

1. ある学年の生徒120人の給食の感想を知るため、その学年から選んだ15人に質問し、15人全員が回答しました。母集団と標本を、それぞれ人数とともに答えてください。
2. ある施設の利用者全員について利用した曜日を調べたいとします。月曜日に来た利用者だけに質問する案の問題点を述べ、利用者全員の名簿がある場合の改善方法を1つ書いてください。
3. 18個の箱に01から18まで異なる番号を付けました。重複なく3個を選ぶため、2桁の乱数「19、04、04、00、16、11」を左から読みます。範囲外と重複を捨てるとき、選ばれた番号を採用順に書いてください。
4. ある団体の登録者30人に、活動日について質問します。案Pは30人全員へ質問して全員から回答を得る方法、案Qは名簿から公平なくじで6人を選んで質問する方法です。全数調査に当たる案と標本調査に当たる案を答え、Qで選ばれた6人のうち1人が回答しなかった場合に注意することを1つ書いてください。

練習の答えと確かめ方

1. 母集団は、その学年の生徒120人です。標本は、その学年から選ばれ、回答した15人です。知りたい範囲は学年全体なので、15人を母集団と呼ぶことはできません。15人は120人の中から選ばれており、問題の条件では15人全員が回答しています。したがって選出された人と回答者の数が一致しますが、選び方が示されていないため、公平な抽出だったとは判断できません。

2. 月曜日に来ない利用者には、その方法で選ばれる機会がありません。曜日ごとの利用状況を知りたいのに、特定の曜日にいる人を選ぶと、月曜日を利用する人の情報に偏りやすくなります。改善案は、利用者全員の名簿に異なる番号を付け、公平なくじで決めた人数を選んで尋ねることです。名簿が調べたい期間の利用者を含むか、選ばれた人から回答を得られたかも確認します。

3. 採用順は04、16、11です。19は18を超えるので捨て、04を採用します。次の04は同じ箱なので捨て、00は範囲外なので捨てます。その後16、11を採用し、3個になったところで止めます。04、16、11はいずれも01から18に入り、異なる3個の箱に対応します。19を最初の1個に数えたり、04を2個と数えたりすると箱を重複なく選ぶ条件に合いません。

4. Pが全数調査、Qが標本調査です。Pは対象の30人全員を調べ、全員から回答を得ています。Qは30人のうち6人を選んでいるので、6人が選出された標本です。1人が回答しなければ、実際の回答者は5人です。6人全員の回答を得たものとして集計せず、未回答があることとその人数を記録します。回答者5人の結果は登録者30人全員の確定した希望ではありません。

覚えておくこと

母集団は知りたい対象の全体、標本はそこから取り出した一部です。
無作為抽出では、対象が選ばれる機会の公平さを考えます。
乱数は範囲外と、重複を除く条件での既出番号を捨てて読み進めます。
回答が得られなかった人と、そもそも選ばれなかった人を区別します。
標本の結果は全体を考える手がかりであり、確定値ではありません。

つまずきの見分け方

母集団と標本を逆に答えたときは、「誰について知りたいか」と「実際に誰を調べたか」を別々に尋ねます。2つの答えを問題文に線で結び、標本が母集団の中に入っているか確かめると、言葉だけの暗記から抜け出せます。保護者の方がお子さまの説明を聞くときも、人数を先に言わせるより、対象の範囲を言葉にしてもらうと混同に気づきやすくなります。

乱数の手順で止まる場合、個別指導では名簿の最小番号と最大番号、重複の扱い、必要な個数を先に書き出して確認します。1つずつ採用か不採用かを理由とともに説明できるかを見ます。選び方の改善では「どの人が選ばれないか」を具体的に指し、最後に回答が集まらなかった場合の限界まで言葉にします。対象の範囲から選び方へと戻ることが、標本調査の抽出を考える出発点です。