数検3級 三平方の定理の空間図形—面の対角線から立体の対角線を順に求める練習｜武蔵野個別指導塾

底面の対角線を先に求め、高さと組み合わせて箱の内部の長さへ進みます。面の対角線との違いを、線分の両端から判断しましょう。

よくあるのは、受検者が立体の辺と対角線を同じ平面とみなして、見取り図に見える三角形へそのまま式を当てはめる場面です。紙の上で線が交わって見えても、立体では異なる面にあることがあります。直方体を箱として思い浮かべ、どの面のどの線を使うかを順に追ってみましょう。

箱の中の長さをどう取り出すか

直方体の向かい合う頂点を結ぶ線分は、箱の内部を通ります。その長さを求めるときは、まず1つの面に対角線を引き、その対角線と残る辺で直角三角形を作ります。三平方の定理を2回使うと、立体の中の長さを平面上の計算に分けられます。

出方の型には、3辺の長さから立体の対角線を求めるものと、対角線と2辺から残る辺を求めるものがあります。前者は2回とも未知の斜辺を求め、後者は途中で既知の斜辺から辺を引いて求めます。どちらも、式の前に直角の位置を決める点は共通です。

もう1つの型は、面の対角線がすでに与えられるものです。この場合は底面の辺を改めて求めなくても、高さとの直角三角形を使えます。与えられた線が面の対角線なのか、立体の対角線なのかを読み違えると、同じ数でも置き場所が変わります。問題文で結んだ2点を確認し、線分の両端を図でたどります。

面に引いた線を足場にする

直方体の底面を長方形ABCDとし、Aの真上の頂点をE、Cの真上の頂点をGとします。底面の対角線ACは底面上にあり、AGは立体の内部を通る対角線です。CGは高さを表す辺です。図1のように底面を取り出すと、ABとBCは直角に交わり、ACはその向かいの斜辺になります。

底面の横と縦をそれぞれa、b、高さをc、底面の対角線をd、立体の対角線をxとします。三平方の定理から、底面ではd² = a² + b²です。次に、CGは底面に垂直なので、底面上でCを通るACにも垂直です。したがって三角形ACGはCで直角になり、x² = d² + c²と書けます。

ここで使う垂直の根拠は、線が見取り図で直角に見えることではありません。直方体では高さの辺が底面に垂直であるという性質です。2本の線が同じ平面にあることも確かめます。ACとCGはCで交わるので、その2本を含む平面に三角形ACGがあります。

底面を別の面に選んでも、直方体の3辺のうち2辺で面の対角線を作り、残りの1辺を使えば同じ長さに着きます。ただし途中の対角線は選んだ面によって別の線です。途中式の文字を図に添え、途中の長さを最終の答えと取り違えないようにします。

線を選ぶときの手順

見取り図を読むときには、最初に求める線分の端点を丸で囲みます。次に一方の端から底面へ高さの辺をたどり、その足ともう一方の端を結びます。ここでできた底面の線は、底面の辺ではなく対角線です。3辺を並べて初めて、立体の対角線を斜辺とする三角形が決まります。

続いて底面を別の紙に長方形として描き、対角線を加えます。底面の縦と横が直角に交わる位置と、対角線の向かい合う位置を確かめてください。見取り図では奥行きの辺が斜めに描かれるので、紙の上の角度を測って直角を判断することはできません。長方形という条件が直角の根拠です。

式の右側にある数は長さそのものではなく、それぞれの長さの二乗です。例えば途中でd²がわかっていれば、次の式にその値を使えます。長さdを求める必要がある問題では最後に正の平方根を取ります。二乗のまま進むときも、図のどの線に対応するかを横に書くと、別の面の対角線と混同しにくくなります。

基本例題: 底面から箱の中へ

縦3 cm、横4 cm、高さ12 cmの直方体があります。底面の対角線と立体の対角線を、それぞれ整数で、単位を付けて求めてください。

図2のように底面の対角線をd cm、立体の対角線をx cmと置きます。底面は長方形なので、縦と横が直角をはさむ2辺です。最初の計算は次の順です。

d² = 3² + 4²

d² = 9 + 16

d² = 25

d > 0より、d = 5

底面の対角線は5 cmです。次は底面の対角線と高さが直角をはさみ、立体の対角線が斜辺になります。図2の2つ目の三角形に対応させて計算します。

x² = 5² + 12²

x² = 25 + 144

x² = 169

x > 0より、x = 13

立体の対角線は13 cmです。負の数も二乗すると169になりますが、長さは正なので採用しません。答えが高さ12 cmより長いことも、斜辺として自然です。

検算では、底面に戻して3² + 4² = 5²、さらに立体の切り口で5² + 12² = 13²を確かめます。これにより、2段階のそれぞれで元の辺の長さと合うことが見えます。13だけを最初の式に代入しても、底面の対角線を正しく作れたかは確かめにくいので、両方の三角形に戻します。

少し難しい例題: 逆向きに辺を探す

底面の縦が2 cm、横が3 cmで、立体の対角線が7 cmの直方体があります。高さを、根号を簡単にした形で単位を付けて求めてください。

まず底面の対角線をd cmとすると、d² = 2² + 3² = 13です。したがってd = √13です。ただし次の式に必要なのはd²なので、途中で根号の値を小数に直す必要はありません。

高さをh cmとすると、立体の対角線7 cmが斜辺です。ここが基本例題との分かれ目です。求めたいhは斜辺ではないため、7² = d² + h²と置きます。辺の長さを足して7²にするのであって、7²に13を足すのではありません。

49 = 13 + h²

h² = 36

h > 0より、h = 6

高さは6 cmです。底面の対角線の二乗13と高さの二乗36を足すと49となり、指定された立体の対角線7 cmに戻ります。さらに底面でも2² + 3² = 13です。求めた高さは正であり、この3辺を持つ直方体を作れます。

逆に、与えられた立体の対角線が底面の対角線以下なら、正の高さを持つ直方体は作れません。式だけを機械的に扱わず、斜辺が直角をはさむ各辺より長いという関係も点検します。引き算の結果が0以下になったときは、計算ミスのほかに、条件が成立するかも調べます。

見えている線を同じ面に置いた誤り

縦3 cm、横4 cm、高さ12 cmの基本例題で、「横4 cmと高さ12 cmと立体の対角線が直角三角形を作る」として、x² = 4² + 12²とする誤答を考えます。図3のように、横の辺と高さの辺を使うと、その斜辺は側面の対角線です。箱の向かい合う頂点を結ぶ線とは端点が異なります。

誤りの理由は、見取り図で近くに見える辺を選び、必要な面を通る線を確かめていないことです。横と高さが直角でも、それだけで求める線が斜辺になるとは限りません。三角形の3辺がそれぞれどの2点を結ぶかを書き出すと、側面の対角線には底面の縦方向の移動が含まれないことがわかります。

直すには、求める立体の対角線の両端を決め、一方の端から高さの辺を下ろします。その足ともう一方の端を底面で結べば、底面の対角線が現れます。この線を先に計算し、高さと合わせてもう一度定理を使います。図3の2種類の対角線を指でたどり、終点まで一致するかを確認してください。

別の誤りは、3² + 4² = 25から底面の対角線を25 cmとすることです。25は長さの二乗であり、長さは正の平方根の5 cmです。二乗した量と長さを同じ行で混ぜず、文字に²が付いている間は答えを確定しません。途中で平方根を取らず、二乗のまま次の式に入れる方法もありますが、何の二乗なのかを明記します。

練習: 線と答えを対応させる

次の問題はそれぞれ別の直方体です。長さは指定された形に整え、単位を付けて答えてください。問題を先に解き、図を描いてから後の答えと照らし合わせます。

1. 底面の縦が5 cm、横が12 cm、高さが4 cmです。底面の対角線と立体の対角線を、根号を簡単にした形で求めてください。
2. 底面の縦が6 cm、横が8 cm、高さが15 cmです。立体の対角線を、根号を簡単にした形で求めてください。
3. 底面の縦が1 cm、横が4 cm、立体の対角線が9 cmです。高さを整数で求めてください。
4. 底面の対角線が10 cm、高さが7 cmです。立体の対角線を、根号を簡単にした形で求めてください。

答えと戻して確かめる手順

1. 底面の対角線は13 cm、立体の対角線は√185 cmです。底面では5² + 12² = 169なので、正の長さは13です。次に13² + 4² = 185から立体の対角線を求めます。戻して確認すると13² = 5² + 12²、(√185)² = 13² + 4²です。最初の13 cmは底面にあり、求める2本目の線ではありません。

2. 立体の対角線は5√13 cmです。底面の対角線をd cmとするとd² = 6² + 8² = 100で、d = 10です。立体の対角線をx cmとしてx² = 10² + 15² = 325、よってx = √325 = 5√13です。底面の10²は6² + 8²に、(5√13)²は10² + 15²に戻ります。根号の中の25を外へ出すときは、25ではなく5を掛けます。

3. 高さは8 cmです。底面の対角線の二乗は1² + 4² = 17です。立体の対角線9 cmを斜辺とするので、9² = 17 + h²からh² = 64、長さは正なのでh = 8です。底面の二乗17と8²を足すと81になり、立体の対角線は条件どおり9 cmです。高さを9² + 17から求めると、斜辺より長い辺になってしまいます。

4. 立体の対角線は√149 cmです。底面の対角線と高さが直角をはさむので、x² = 10² + 7² = 149です。正の平方根を取り、x = √149とします。戻して(√149)² = 10² + 7²です。底面の縦と横は指定されていませんが、底面の対角線がわかっているので、その2辺を求める必要はありません。

答えが合わないときの点検

答えが合わなければ、まず問題文の長さがどの辺に付くかを確認します。特に立体の対角線は、面の上に収まる対角線とは異なり、向かい合う頂点を結びます。端点を変えたまま計算を続けると、計算自体が正しくても別の線の長さが出ます。

次に直角をはさむ2辺と斜辺を区別します。斜辺が既知なら、その二乗からもう一方の既知の辺の二乗を引いて未知の辺の二乗を得ます。斜辺が未知なら2つの二乗を足します。最後に単位と正の値を確かめ、答えを各三角形に戻して元の条件に一致するかを調べます。

計算が途中で止まったときは、直方体全体を一度に扱おうとしていないかを見直します。底面を取り出し、次に底面の対角線と高さを含む切り口を取り出せば、どちらも平面の直角三角形です。底面の対角線が根号を含んでも、その二乗を使えば計算を続けられます。図に線を足す順番を言葉で説明できると、別の向きの箱でも同じ関係を見つけやすくなります。

練習を解き直すときには、答えの大小も手掛かりになります。立体の対角線は、その切り口で直角をはさむ底面の対角線と高さのいずれよりも長くなります。ただし大小が合うことだけでは十分ではありません。両方の二乗の和が指定された斜辺の二乗に戻るかも確認します。

覚えておくこと

底面の対角線を引き、底面の直角三角形を作ります。
高さは底面に垂直なので、底面の対角線とも直角に交わります。
立体の対角線は、底面の対角線と高さで作る三角形の斜辺です。
未知の辺が斜辺かどうかで、足す式と引く式を選びます。
長さは正の値を取り、2つの三角形に戻して確かめます。

つまずく場所を見分ける

式が違うときは、まず計算の速さよりも、選んだ3本が同じ三角形の辺になっているかを見ます。底面の対角線を省いたまま立体の辺を選んでいれば、頂点を指で順にたどり、足りない線を描き足します。直角の理由を尋ね、高さが底面に垂直という条件まで戻れるかも確かめます。

個別指導では、お子さまに途中の線の両端と斜辺を言葉で示してもらい、式の各項がどの線の二乗かを一緒に照合します。式は正しくても答えが違う場合は、平方根の整理、長さの正負、単位の順に確認します。面から切り口へ線をつなぐと、箱の中の距離が計算できる形になります。