数検3級 三平方の定理の平面図形—補助線で直角三角形を作り高さと面積を求める練習｜武蔵野個別指導塾

二等辺三角形の高さや円の弦を求め、面積に進むときの頼りは補助線です。

よくあるのは、二等辺三角形の頂点から底辺へ高さを引き、底辺を半分にして計算したものの、なぜ半分にできるのか書かずに手が止まるという場面です。見た目で中央に線を引いたからではなく、等しい辺と直角から左右の三角形が合同になることが根拠です。円でも中心から弦に垂線を引くと、同じように半分の長さが使えます。図に線を足す理由をたどり、高さや面積までつなげましょう。

どの線を足すと解けるか

三平方の定理は直角三角形の3辺に使います。斜辺の長さを c、直角をはさむ2辺を a、b とすると、a² + b² = c² です。平面図形では、最初から直角三角形が示されていないことがあります。そこで、必要な直角三角形を作る補助線を考えます。

出方の型の1つは、二等辺三角形の等しい2辺と底辺から高さを求め、さらに面積を出すものです。頂点から底辺に垂線を引くと、等しい辺がそれぞれの直角三角形の斜辺になります。底辺の半分を使える理由を押さえてから式を立てます。

もう1つは、円の半径と中心から弦までの距離から弦の長さを求めるものです。弦は円周上の2点を結ぶ線分です。中心から弦への垂線と半径を結ぶと直角三角形ができ、弦の半分を求められます。逆に弦の長さがわかっていて中心からの距離を求める場合も、同じ図で未知数の位置を変えます。

さらに、高さから底辺を逆算したり、弦と半径から距離を出したりする問題では、何が斜辺かによって足し算か引き算かが変わります。最初に目標の長さを図に記し、既知の長さとともに1つの直角三角形を囲むと、途中で関係のない辺を混ぜずに済みます。

高さの足と弦の中点

図1の左では AB = AC の二等辺三角形 ABC で、頂点 A から底辺 BC に垂線 AH を引いています。H は垂線と BC の交点で、高さの足と呼びます。角 AHB と角 AHC は直角で、斜辺 AB と AC は等しく、AH は共通です。したがって、2つの直角三角形 ABH と ACH は、斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので合同です。対応する辺が等しく、BH = CH になります。

図1のように、右の円では O を中心、P と Q を円周上の点とし、O から弦 PQ に垂線 OH を引いています。OP と OQ は半径なので等しく、OH は共通です。直角三角形 OPH と OQH は斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいため合同です。その結果、PH = QH といえます。垂線を引くだけで弦が半分になるのは、円の中心から引いているからです。

どちらも「等しい辺」「共通な辺」「直角」を確認してから半分にします。一般の三角形では、高さの足が底辺の中点になるとは限りません。また、円でも中心を通らない垂線が弦を二等分するとは限りません。見た目が左右対称に見えても、問題の条件に戻りましょう。

直角三角形では直角の向かい側が斜辺です。紙の上で横向きか縦向きかでは決まりません。長さを二乗して加える前に、直角の印とその向かいの辺を指でたどると、どの長さを右辺に置くか整理できます。

補助線を引く位置には目的があります。三角形の面積を求めたいなら、底辺に垂直な高さが必要です。二等辺三角形の頂点からその高さを引けば、面積に使う線分が、そのまま三平方の定理で求める辺にもなります。既知の2辺が等しいことから底辺の半分も得られるので、1つの直角三角形に必要な情報がそろいます。

弦の問題では、弦を底辺として中心を頂点とする三角形を考えます。中心から弦までの距離を高さとして描き、弦の端と中心を結ぶと、斜辺が半径である直角三角形ができます。距離と半径から半弦を求める場合も、半弦と半径から距離を求める場合も、図に何が与えられているかを記してから未知の辺を選びます。

線分が図の外に出る位置や、円の中心が弦上にある特別な場合は、条件を別に見直す必要があります。ここでは通常の二等辺三角形と、中心を通らない弦を扱います。図は計算の手がかりですが、長さや直角は図の見た目で測らず、問題文と補助線の引き方から決めます。

基本例題：三角形の高さから面積へ

二等辺三角形 ABC で AB = AC = 13 cm、底辺 BC = 10 cm です。A から BC に垂線 AH を引きます。高さ AH と三角形 ABC の面積を求め、それぞれ整数と単位を付けて答えましょう。

図2のように、まず2つの直角三角形に分けます。AB = AC、AH は共通で、角 AHB と角 AHC は直角です。直角三角形 ABH と ACH は斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので合同になり、BH = CH です。

底辺全体が 10 cm なので、BH = 10 ÷ 2 = 5 cm です。斜辺は AB、直角をはさむ辺は AH と BH です。AH を x cm と置き、直角三角形 ABH で計算します。

x² + 5² = 13²

x² + 25 = 169

x² = 144

x = 12

平方が 144 になる数は正負の 12 ですが、x は長さなので正の 12 を選びます。高さは 12 cm です。底辺全体 BC と高さ AH を使い、面積は 10 × 12 ÷ 2 = 60 cm² です。

ここで底辺の半分 5 cm は、高さを求めた直角三角形 ABH の辺です。一方、求める面積は三角形 ABC 全体の面積ですから、底辺には全体の 10 cm を使います。もし 5 cm を使ったら、それは三角形 ABH の面積であり、全体の答えにはもう一方を加える必要があります。

答えを図に戻すと、5² + 12² = 169 = 13² で、与えられた等しい辺の長さに合います。左右の小さな三角形の面積はそれぞれ 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm² なので、合わせても 60 cm² です。式の計算と、求められた図形の範囲を両方点検できます。

少し難しい例題：弦を半分から全体へ

中心 O、半径 10 cm の円があります。弦 PQ に中心 O から垂線 OH を引くと、OH = 6 cm でした。弦 PQ の長さと三角形 OPQ の面積を求め、それぞれ整数と単位を付けて答えましょう。

OP と OQ は半径なので等しく、OH は共通です。角 OHP と角 OHQ は直角ですから、直角三角形 OPH と OQH は斜辺と他の1辺がそれぞれ等しく合同です。よって PH = QH です。求めたい弦は PQ 全体ですが、まず直角三角形 OPH の PH を y cm とします。

6² + y² = 10²

y² = 100 − 36 = 64

y = 8

PH は 8 cm、QH も 8 cm なので、PQ = 16 cm です。ここで 8 cm をそのまま弦の答えにすると半分しか数えていません。三角形 OPQ では PQ を底辺とすると OH が高さなので、面積は 16 × 6 ÷ 2 = 48 cm² です。

判断の分かれ目は、未知の長さが弦の半分か全体か、また半径が斜辺かどうかです。半径 10 cm は直角の向かいにあるため、6² と y² を足した結果に当たります。与えられた距離 6 cm を半径より大きい辺として扱う式は、直角三角形の位置に合いません。

検算では、半弦 8 cm と距離 6 cm から 8² + 6² = 100 となり、半径 10 cm が戻ります。左右の三角形の面積は各 8 × 6 ÷ 2 = 24 cm² で、合計 48 cm² です。中心から弦までの距離は弦に垂直な線分の長さであり、円周までのすき間とは違います。

半分にする位置と斜辺の取り違え

図3は、等しい2辺が 5 cm、底辺が 6 cm の二等辺三角形で、高さを求めるときの誤答です。頂点から底辺へ垂線を引き、合同から底辺の半分が 3 cm になるところまでは正しいとします。それでも「高さの二乗 = 5² + 3²」とすると、高さを斜辺として扱ってしまいます。

図3の直角は高さと底辺の交点にあります。その向かい側の 5 cm が斜辺です。高さを h cm とすると、正しい式は h² + 3² = 5² です。したがって h² = 25 − 9 = 16、長さは正なので h = 4 cm です。5² + 3² を計算し直すだけでは、式の置き方の誤りは直りません。

別の誤りとして、等しい辺を半分にして 5 ÷ 2 を使うことがあります。合同で対応するのは底辺の2つの部分であり、斜辺そのものを高さの足が分けるわけではありません。どの線分が2つに分かれたかを文字で書き、図に印を付けてから数値に直します。

また、合同の説明を抜いて答えの数値だけを書いた場合、正しい計算でも半分にした根拠が読み手に伝わりません。「斜辺が等しい」「垂線が共通」「両方が直角」を順に確認し、対応する辺が等しいと結びます。逆に、等しい辺が示されない三角形で同じ手順を使おうとしたら、条件不足に気づいて立ち止まることができます。

自分で解く練習

問題は先にまとめてあります。それぞれ補助線の根拠と、どの長さを求めたかを言葉で書いてから、下の答えで確かめましょう。長さや面積は指定された形で、単位も付けます。

1. 二等辺三角形 DEF は DE = DF = 17 cm、底辺 EF = 16 cm です。D から EF に垂線を引きます。高さと三角形 DEF の面積を、それぞれ整数で求めましょう。
2. 二等辺三角形 GJK は GJ = GK = 10 cm、G から底辺 JK への高さが 8 cm です。底辺 JK の長さと三角形 GJK の面積を、それぞれ整数で求めましょう。
3. 中心 O、半径 13 cm の円で、弦 RS の長さは 10 cm です。O から RS へ垂線を引いたとき、中心から弦までの距離を整数で求めましょう。
4. 中心 O、半径 5 cm の円で、中心から弦 UV までの距離は 2 cm です。弦 UV の長さと三角形 OUV の面積を、根号を簡単にした形で求めましょう。

練習の答えと確かめ方

1. 高さは 15 cm、面積は 120 cm² です。垂線の足を M とすると、直角三角形 DEM と DFM は斜辺が等しく DM が共通なので合同です。EM = FM = 8 cm とわかります。高さを x cm として x² + 8² = 17²、x² = 225 です。長さなので x = 15 とし、面積は 16 × 15 ÷ 2 = 120 cm² です。戻して 8² + 15² = 289 = 17²、左右の面積の合計も 120 cm² になります。

2. 底辺は 12 cm、面積は 48 cm² です。高さの足を N とすると、2つの直角三角形は等しい斜辺と共通の高さによって合同です。底辺の半分 JN を x cm と置き、x² + 8² = 10² を解くと x² = 36、x = 6 です。底辺全体は 6 × 2 = 12 cm、面積は 12 × 8 ÷ 2 = 48 cm² です。底辺の半分と高さから 6² + 8² = 100 となり、等しい辺 10 cm に戻ります。

3. 距離は 12 cm です。垂線の足を T とすると、半径 OR と OS が等しく、OT が共通なので、直角三角形 ORT と OST は合同です。RT は弦の半分の 5 cm です。距離 OT を x cm として x² + 5² = 13²、x² = 144 より x = 12 です。5² + 12² = 169 で半径の二乗に戻り、半弦を2倍すると与えられた 10 cm に戻ります。

4. 弦 UV は 2√21 cm、面積は 2√21 cm² です。垂線の足を W とすると、半径 OU と OV が等しく OW が共通なので、左右の直角三角形は合同です。半弦 UW を x cm として x² + 2² = 5²、x² = 21 です。長さなので x = √21 とし、弦全体は 2√21 cm です。面積は 2√21 × 2 ÷ 2 = 2√21 cm² になります。半弦と距離について (√21)² + 2² = 25 となり、半径 5 cm の条件に合います。左右の面積もそれぞれ √21 cm² です。

覚えておくこと

二等辺三角形では、頂点から底辺への垂線でできる直角三角形の合同を使います。
円では、中心から弦への垂線で弦が等分される理由を半径の等しさから示します。
直角の向かいが斜辺であり、半分の長さを求めた後は全体が必要か確認します。
面積は求める図形の底辺と、それに垂直な高さで計算します。

つまずきの場所を見分ける

計算が合わないときは、いきなり二乗の計算だけをやり直すより、図に戻ってどの直角三角形を使ったかを確かめます。底辺を半分にした理由を説明できなければ、2つの三角形の斜辺と共通の辺を指し、合同の条件に戻ります。式が違えば直角の向かいの辺を探し、面積だけ違えば半分と全体のどちらを底辺に使ったかを見直します。

個別指導では、お子さまが補助線を引いた後に、等しい辺の根拠から式の各数が表す線分まで、自分の言葉で説明できるかを確かめます。保護者が家庭で答えを見守るときも、正誤だけでなく「この数は図のどの部分か」と尋ねると、途中の判断をたどれます。補助線の根拠が見えれば、平面図形の長さと面積は一続きの道筋で求められます。