高校物理 電位と電気エネルギー—基準と電荷の符号を決めて仕事と速さを求める｜武蔵野個別指導塾

電子が高電位側へ動くときの速さを符号からたどる鍵となるのが電位です。

よくあるのは、電子が電位の高い側へ動くと速さが減ると考える場面です。高いという言葉から坂を上る物体を連想すると、その判断はもっともらしく見えます。しかし電子は負の電荷をもち、電気的な位置エネルギーは電位に電荷を掛けた量です。電位が高くなると電子の位置エネルギーは下がり、電気力以外が仕事をしなければ、その分だけ運動エネルギーが増えます。答案では電位の高低とエネルギーの増減を別々に書き、最後に結びつけます。

電位の問題で選ぶ道具

定期テストでは、まず点電荷からある距離にある点の電位や、複数の点電荷がつくる電位を求める型が出ます。電位は向きをもたない量なので、各電荷の符号を含めて足します。無限遠を電位の基準とするかどうかも読み取ります。

次に、一様な電場の中で2点間の電位差を求める型があります。電場の向きに進むほど電位は下がりますが、電場と直角に移動した分は電位差に寄与しません。等電位面と電気力線の関係を図で問う問題も、この判断につながります。

さらに、荷電粒子を移したときの電気力の仕事や速さを求める型があります。電位差を先に出し、電荷の符号を含めて位置エネルギーの変化を求めてから、エネルギーの保存を使います。初速度がある場合は、途中で止まる可能性にも目を向けます。電場そのものの合成や導体の詳しい性質は前提にとどめ、ここでは電位とエネルギーの関係を追います。

電位の高さと電荷の符号を分ける

電位Vは、基準を決めたときの単位正電荷あたりの電気的な位置エネルギーです。電荷qの位置エネルギーUはU=qVで表します。単位は、電位がV、電荷がC、エネルギーがJです。1 Vは1 Cあたり1 Jに対応します。電位の基準を変えると各点の値は変わりますが、同じ基準で測った2点間の電位差は変わりません。

図1のように、一様な電場が右を向く場合、右へ進むにつれて電位は下がります。同じ縦線上は等電位で、線に沿う移動では電気力の仕事は0です。図1では電場と等電位面を断面で示しています。電気力線は等電位面と直交し、正電荷に働く力の向きは電場と同じです。

点Aから点Bへ移るとき、電気力の仕事をWとすると、W=q(V_A-V_B)です。これは位置エネルギーの減少分U_A-U_Bに等しくなります。外力が粒子をゆっくり運び、運動エネルギーの変化を無視できる場合は、外力の仕事が逆符号のq(V_B-V_A)です。電気力の仕事と外力の仕事を同じものとして扱わないようにします。

大きさEの一様な電場の向きに距離dだけ進むと、V_B-V_A=-Edです。逆向きなら+Edです。斜めに進む場合は、移動距離のうち電場方向の成分を使います。電場に沿った成分が同じなら、経路の形が異なっても両端の電位差は同じです。

真空中の点電荷Qから距離rの電位は、無限遠を0とするとV=kQ/rです。kは問題で与える正の比例定数です。Qが負なら電位も負になります。複数の点電荷があるときは、それぞれの電位を符号つきで足します。電場は向きをもつため、電位と同じ足し方ではありません。たとえば対称な位置で正負の電荷による電位が打ち消されても、電場は打ち消されない場合があります。電位が0という条件から電場も0と決めることはできません。

電位の基準をずらす操作も確かめておきます。各点の電位に同じ値を足すと、電荷の位置エネルギーにも同じ定数が加わります。移動前後の差ではその定数が消えるので、電気力の仕事や速さの変化は変わりません。一方、無限遠を0と定めた点電荷の式に別の基準の値を混ぜると、電位の絶対値を間違えます。複数の電荷を足すときも、各項を同じ基準で扱う必要があります。

電場が一様でない場合、距離に1つの電場の値を掛ける式をそのまま使えません。点電荷の電位の式など、条件に合う方法で両端の電位を求め、その差を使います。電場が場所によって変わっても、静電場での電気力の仕事は両端の電位差から求められます。単位をそろえたうえで符号まで残すことが、次の速さの計算への橋渡しです。

基本例題：電子を電位差で加速する

真空中の一様な電場で、電位が0 Vの点Aから電位が12 Vの点Bへ電子を静かに放します。電子の電荷を-2.0×10⁻¹⁹ C、質量を1.0×10⁻³⁰ kgという計算用の条件とします。電気力以外の仕事は無視します。Bでの速さを有効数字2桁で、m/sを単位として求めてください。AからBは電場と反対向きにあり、電子はBへ向かいます。

図2のように、電場は高電位のBから低電位のAを向きます。電子に働く力は電場と逆向きなので、静かに放した電子はAからBへ進みます。図2の矢印は電場と電子の力を区別して表しています。

電位差と電子の電荷を、それぞれ符号つきで書きます。

V_B-V_A=12-0=12 V

q=-2.0×10⁻¹⁹ C

したがって位置エネルギーの変化は次のとおりです。

ΔU=q(V_B-V_A)

=(-2.0×10⁻¹⁹)×12

=-2.4×10⁻¹⁸ J

負号は、位置エネルギーが2.4×10⁻¹⁸ J減ることを示します。初めの速さは0なので、初めの運動エネルギーK_Aは0です。電気力以外の仕事がないため、K_A+U_A=K_B+U_Bです。よってK_B=U_A-U_B=2.4×10⁻¹⁸ Jです。

Bでの速さをvとすると、K_B=mv²/2です。質量を代入して整理します。

(1.0×10⁻³⁰) v²/2=2.4×10⁻¹⁸

v²=4.8×10¹²

v=√4.8×10⁶ m/s

速さは負にならないので正の平方根を選び、最後に丸めて2.2×10⁶ m/sです。途中の値を使って戻すと、mv²/2=2.4×10⁻¹⁸ Jです。これは電気力の仕事q(V_A-V_B)=(-2.0×10⁻¹⁹)×(-12)=2.4×10⁻¹⁸ Jに一致します。丸めた速さで戻すと差が出るため、検算には丸める前の値を使います。

進める点と引き返す点の分かれ目

真空中で、電荷+2.0×10⁻⁶ C、質量1.0×10⁻³ kgの粒子が電場と反対向きに進みます。点Pの電位は0 V、点Qの電位は100 Vです。Pでの速さは1.0 m/s、電気力以外の仕事は無視します。PからQの間では進行方向に電位が連続して増えるものとします。Qに達するか、達するならQでの速さを有効数字2桁のm/sで求めてください。

Pでの運動エネルギーは、K_P=(1.0×10⁻³)×1.0²/2=5.0×10⁻⁴ Jです。PからQまでの位置エネルギーの増加はΔU=(2.0×10⁻⁶)×100=2.0×10⁻⁴ Jです。進むために必要なエネルギーが最初の運動エネルギーより小さいので、途中で止まらずQに達します。

K_Q=K_P-ΔU=3.0×10⁻⁴ Jとおき、(1.0×10⁻³)v²/2=3.0×10⁻⁴を解きます。v²=0.60より、v=√0.60 m/s、指定の形では0.77 m/sです。丸める前の速さから得る運動エネルギー3.0×10⁻⁴ Jに、位置エネルギーの増加2.0×10⁻⁴ Jを足すと、Pでの5.0×10⁻⁴ Jに戻ります。

もしQまでの位置エネルギーの増加が初めの運動エネルギーを超える条件なら、Qでの運動エネルギーを負にする解は使えません。粒子は途中で速さ0となり、電気力によって引き返します。ちょうど等しければQで速さ0に達します。途中の電位が単調に増える条件を確かめず、両端の値だけで経路上の到達可能性を決めることにも注意します。

符号の誤りを答案で直す

図3のように、負電荷が低電位から高電位へ移る場合を考えます。「電位が上がるから位置エネルギーも上がる」と書く誤答では、U=qVのqが負であることを落としています。図3では電位の変化と位置エネルギーの変化を別の矢印で示しています。

修正するときは、まずΔVを正、qを負と書き、その積ΔU=qΔVを負とします。電気力以外の仕事がなければ、減った位置エネルギーが運動エネルギーに移ります。初めから高低を速さの増減に結びつけず、積の符号を一段挟みます。

別の誤りは、電位が0の点では電場も0とすることです。電位は基準の取り方で値が変わる一方、電場は電位が場所によってどう変わるかに関係します。一様な電場でも任意の1点を0 Vに選べますが、そこで電場が消えるわけではありません。基準を変更しても2点の差と電気力の仕事が変わらないことを確認します。

仕事の式で出発点と到着点を逆にする誤りもあります。電気力の仕事はq(V_A-V_B)であり、位置エネルギーの変化q(V_B-V_A)と逆符号です。正電荷を電場の向きに動かす場合を思い浮かべ、電気力が正の仕事をするかを確かめると、引く順序を点検できます。

自分で解く問題

次の3問は、指定した条件以外の力や仕事を無視してください。数値は計算用の条件です。答えは指定の単位で示し、必要な場合は最後に丸めてください。

1. 真空中で点電荷+3.0×10⁻⁶ Cから0.30 m離れた点の電位を求めます。無限遠を0 V、比例定数を9.0×10⁹ N m²/C²とします。答えは有効数字2桁のVで示してください。
2. 右向きの一様な電場の大きさが40 V/mです。点Cから右へ0.20 m、さらに上へ0.10 m移った点をDとします。V_D-V_Cと、+3.0×10⁻⁶ Cの電荷をCからDへ移すときの電気力の仕事を、有効数字2桁でそれぞれV、Jで求めてください。
3. 真空中で電荷-1.0×10⁻⁶ C、質量2.0×10⁻³ kgの粒子を、電位が5.0 Vの点から静かに放します。電気力によって電位が14 Vの点へ到達するときの速さを、有効数字2桁のm/sで求めてください。

答えと考え方

1. V=kQ/rに代入すると、V=(9.0×10⁹)×(3.0×10⁻⁶)/0.30=9.0×10⁴ Vです。正電荷による電位なので正です。逆にVを距離に掛けてkで割ると3.0×10⁻⁶ Cとなり、元の電荷に戻ります。距離は電荷から測っており、無限遠の基準も条件に合います。

2. 電場方向の移動は0.20 mで、直角方向の0.10 mは電位差に寄与しません。V_D-V_C=-40×0.20=-8.0 Vです。電気力の仕事はq(V_C-V_D)=(3.0×10⁻⁶)×8.0=2.4×10⁻⁵ Jです。電場方向に正電荷を動かして正の仕事を得ること、位置エネルギーが同じ大きさだけ減ることを確認します。電位差を距離0.20 mで割った大きさは40 V/mで、与えた電場に戻ります。

3. 電位差は14-5.0=9.0 Vです。ΔU=(-1.0×10⁻⁶)×9.0=-9.0×10⁻⁶ Jなので、運動エネルギーは0から9.0×10⁻⁶ Jへ増えます。(2.0×10⁻³)v²/2=9.0×10⁻⁶よりv²=9.0×10⁻³です。v=√0.0090 m/sを最後に丸め、9.5×10⁻² m/sです。丸める前のv²を戻すと運動エネルギーは9.0×10⁻⁶ Jとなり、位置エネルギーの減少分と一致します。

手元に残す要点

電位の基準を決め、2点の差を向きとともに書きます。
位置エネルギーの変化はΔU=qΔVで、電荷の符号を含めます。
電気力の仕事は-ΔUで、他の仕事がなければ運動エネルギーの増加に等しくなります。
速さの式は、到達可能な点で運動エネルギーが0以上か確かめて使います。

答案のどこから見直すか

電位差までは合っているのに速さが合わない場合は、qに負号を入れた行と、仕事を位置エネルギーの変化のどちらとして置いたかを見比べます。電位差から違う場合は、電場の矢印と移動方向を図に書き込み、電場に沿う成分を探します。点電荷の場合は距離と電荷の符号を各項に添えてから足します。

個別指導で答案を確かめる際には、計算の正誤に加え、「なぜその向きに力が働くか」「エネルギーの減少分はどこへ移るか」を本人の言葉で説明できるかを見ます。途中で止まる条件なら、負の運動エネルギーを答えにせず、速さ0となる場所まで考え直します。電位の高低と粒子のエネルギーを切り分けると、電子の運動も符号から追えます。