高校物理 理想気体の状態方程式—絶対温度と物質量をそろえて状態変化を比べる｜武蔵野個別指導塾

摂氏を絶対温度に直し、密閉した気体と気体を追加する場合を区別して、圧力や体積の変化を計算します。

よくあるのは、容器の気体を温める問題で、温度の比を摂氏の数値のまま作ってしまう場面です。例えば温度が 27 ℃から 127 ℃へ上がったとき、127 を 27 で割りたくなるかもしれません。しかし、状態方程式で比べるのは絶対温度です。何が一定かを先に決め、圧力、体積、温度、物質量を同じ状態ごとに並べれば、使う比が見えてきます。

状態を比べる問題の入口

出題の型の1つは、密閉された気体の温度を変え、体積や圧力を求めるものです。動くピストンで圧力が一定なら体積と絶対温度を比べ、硬い容器で体積が一定なら圧力と絶対温度を比べます。両者は同じ式から出ますが、取り消せる量が違います。問題文の「密閉」「なめらかに動く」「体積一定」などに印を付け、それぞれが何を意味するかを書き出しましょう。

もう1つの型は、pV図に示された状態点から温度の大小を判断するものです。横軸が体積、縦軸が圧力なら、1つの点の横と縦の値を掛けた pV を見ます。同じ量の理想気体なら pV が大きい状態ほど絶対温度が高くなります。グラフ上で点が高いか右にあるかだけでは、両方が変わるときの温度を決められません。

さらに、弁を通して気体を加えるなど、物質量が変わる型もあります。この場合は密閉された気体の比の式をそのまま使えません。各状態の pV=nRT を並べ、n が変わることを残したまま比を取ります。ここでは状態の比較を扱い、気体が外へする仕事の計算には立ち入りません。

4つの量を同じ状態にそろえる

理想気体の状態方程式は pV=nRT です。p は気体の圧力、V は体積、n は物質量、T は絶対温度、R は気体定数です。物質量は粒子の集まりを mol で表す量です。式の左の p と V は同じ瞬間の気体について取り、右の n と T もその瞬間の値を使います。前の圧力と後の体積を混ぜて掛けると、どの状態にも対応しない積になります。

図1のように、状態 A と状態 B を別々に書き、各行の pV がその行の nRT に等しいと考えます。図の右側は量が変わらない場合の関係です。容器から気体が出入りしなければ n は一定です。R も同じなので、A と B の pV/T は等しくなります。温度も一定なら pV が一定で、これがボイルの法則です。圧力が一定なら V/T が一定で、これがシャルルの法則です。

この図は式を並べるための模式図です。ボイルの法則では体積を小さくすると圧力は大きくなり、p と V の関係は反比例です。シャルルの法則では圧力を保つと体積は絶対温度に比例します。例えば絶対温度が2倍なら体積も2倍です。ただし摂氏の読みが2倍でも絶対温度が2倍とは限りません。

計算では SI 単位をそろえます。圧力は Pa、体積は m³、物質量は mol、絶対温度は K です。1 L は 0.001 m³ です。摂氏温度を t ℃とすると、問題で換算を T=(t+273) K と指定した場合、27 ℃は 300 K、127 ℃は 400 K です。273 はこの換算に使う近似条件であり、計算途中で勝手に摂氏へ戻して比を作らないようにします。

同じ量の気体でも、途中で圧力と体積の両方が変わる場合があります。そのときも初めと終わりがそれぞれ平衡状態で理想気体として扱えるなら、p₁V₁/T₁=p₂V₂/T₂ で比較できます。これは状態の関係なので、途中の具体的な経路がわからなくても両端の値を結べます。一方、変化の途中でいつでも状態方程式を使ってよいかは、途中の各状態が定まっているかによります。

基本例題：動くピストンで温める

断面が一定の容器に理想気体を密閉し、摩擦のないピストンがゆっくり動くものとします。気体の圧力は外圧に等しく一定です。初めの体積は 6.0 L、温度は 27 ℃です。気体を 127 ℃まで温めた後の体積を L 単位で求め、小数第1位まで示してください。温度換算は T=(t+273) K とします。ピストンは容器の端に達しないものとします。

図2のように、気体の量と圧力を変えずに、初めと後の状態を対応させます。温度の増加分だけを比にするのではなく、各状態の絶対温度そのものを使います。

まず温度を直します。初めの温度 T₁ は 27+273=300 K、後の温度 T₂ は 127+273=400 K です。密閉されているので物質量 n は一定で、圧力 p と気体定数 R も同じです。状態方程式を各状態について並べます。

pV₁=nRT₁

pV₂=nRT₂

両式をそれぞれ T で割ると pV₁/T₁=nR、pV₂/T₂=nR です。よって V₁/T₁=V₂/T₂ となります。体積を求める式に直して代入します。

V₂=V₁T₂/T₁

V₂=6.0×400/300=8.0 L

答えは 8.0 L です。元の場面に戻して、8.0/400=6.0/300=0.020 L/K と確認できます。圧力と物質量が同じなら、この比が前後で一致します。温度が上がっているため、一定圧力を保つ体積が初めより大きいという向きも一致します。

もしピストンが途中で端に当たれば、その後は体積一定に変わります。そこから先まで一定圧力の式を使うと条件を取り違えます。この例では端に達しないと指定しているため、初めから終わりまで同じ圧力で計算できます。また L は比の両側で同じ単位なので、この計算では換算せずに扱えます。R の数値を代入する場合は m³ に直します。

計算の途中で単位が混ざる場合にも注意が必要です。例えば同じ圧力を kPa と Pa で別々に書いたまま消すことはできません。100 kPa は 100000 Pa なので、両方を同じ単位にして初めて同じ値だと確かめられます。体積も同様に、片方が L、もう片方が m³ なら換算してから比を作ります。

pV図では、この例の変化は同じ高さを右へ進む線として表せます。横軸の体積が 6.0 L から 8.0 L に増え、縦軸の圧力は変わりません。温度を縦軸に描いた図ではないので、線の高さそのものを温度と読まないようにします。各点で圧力と体積の積を作り、その変化を絶対温度と対応させます。初めと後の積は体積と同じ 4/3 倍になり、温度の比にも一致します。

一歩進める：気体の出入りがあるとき

硬い容器に理想気体が入っています。初めは物質量 2.0 mol、圧力 100 kPa、温度 300 K です。容器の体積は変わりません。気体を追加し、最終的に物質量が 3.0 mol、温度が 400 K になりました。初めと最後はそれぞれ一様な平衡状態とします。最終圧力を kPa 単位で整数として求めてください。

各状態の式は p₁V=n₁RT₁、p₂V=n₂RT₂ です。V と R は共通ですが、n は共通ではありません。2式の比を取ると、p₂/p₁=(n₂T₂)/(n₁T₁) です。数値を入れて順に計算します。

p₂=100×(3.0/2.0)×(400/300)

p₂=100×(3/2)×(4/3)=200 kPa

圧力は 200 kPa です。一定体積では p/(nT) が同じかを確かめられます。初めは 100/(2.0×300)=1/6、後は 200/(3.0×400)=1/6 で一致します。物質量が1.5倍、絶対温度が4/3倍なので、圧力は両方の倍率を掛けた2倍です。

ここが分かれ目です。もし容器が密閉されて n が一定なら、同じ体積で p₂/p₁=T₂/T₁ を使えます。しかし、この例では気体を加えているため n を消してはいけません。逆に、弁が開いていても実際の前後の物質量が等しいと条件からわかるなら、その前後の比較では n を消せます。「弁がある」という見た目ではなく、対象の気体の量がどう変わるかを判断します。

誤答の場所を探して直す

図3のように、27 ℃と 127 ℃を直接割って体積の倍率を 127/27 とするのは誤りです。摂氏の0は絶対温度の0ではありません。状態方程式の T に摂氏の数を入れたことが原因です。300 K と 400 K に直してから 400/300 を使えば、一定圧力の体積の倍率は 4/3 です。増加した温度の差 100 K を初めの温度に加えて 400 K と確認してもよいでしょう。

別の誤りは、pV図で圧力が高い点を必ず高温と決めることです。体積が同時に小さくなれば、pV は小さくなる場合もあります。同じ n の点なら各点の pV を比較し、n が異なる点なら pV/n を比較します。図の位置の印象だけで決めず、座標を掛け算してから温度と結びつけます。

また、密閉容器で温度が変わるとき、pV がいつも一定とする誤答もあります。pV 一定は n と T がともに一定のときの条件です。温度が変われば pV も変わります。式に斜線を引いて消す前に、各文字の上下に同じ値が入るかを確認すると、条件のない消去を防げます。

手を動かして状態を比べる

次の問題はすべて理想気体について、与えられた各状態が平衡状態とします。答えは指定された形で示してください。温度換算が必要な場合は T=(t+273) K とします。

1. 密閉された硬い容器の気体は、初め 100 kPa、27 ℃です。体積を一定のまま 87 ℃にします。後の圧力を kPa 単位で整数として求めてください。
2. 一定温度の密閉された気体を、ゆっくり圧縮します。初めの圧力は 90 kPa、体積は 4.0 L、後の体積は 3.0 L です。後の圧力を kPa 単位で整数として求めてください。
3. 同じ量の気体の状態 A は圧力 200 kPa、体積 2.0 L、状態 B は圧力 100 kPa、体積 6.0 L です。A の温度が 240 K のとき、B の温度を K 単位で整数として求めてください。
4. 体積一定の容器に入った気体の物質量を 1.0 mol から 2.0 mol に増やし、絶対温度を 450 K から 300 K に変えます。初めの圧力が 90 kPa のとき、後の圧力を kPa 単位で整数として求めてください。

答えと途中式

1. 初めは 300 K、後は 360 K です。n と V が一定なので p₁/T₁=p₂/T₂ です。したがって p₂=100×360/300=120 kPa です。戻して確かめると、100/300=120/360 です。容器が硬いため体積を変えて調整するのではなく、温度に応じて圧力が変わります。

2. n と T が一定なので p₁V₁=p₂V₂ です。p₂=90×4.0/3.0=120 kPa です。後の積は 120×3.0=360 kPa・L で、初めの 90×4.0=360 kPa・L に戻ります。圧縮で体積が減り、圧力が増える向きも条件に合います。

3. n と R が共通なので T_B/T_A=p_BV_B/(p_AV_A) です。T_B=240×(100×6.0)/(200×2.0)=360 K です。A の pV/T は 400/240、B は 600/360 で等しく、同じ量の気体の状態として整合します。圧力は B の方が低くても、体積を含む積は B の方が大きくなります。

4. V と R は一定ですが n が変わります。p₂=90×(2.0/1.0)×(300/450)=120 kPa です。初めの p/(nT) は 90/(1.0×450)=0.2、後は 120/(2.0×300)=0.2 です。温度低下だけなら圧力は下がりますが、物質量の増加も掛け合わせるため、この条件では上がります。

持ち帰る4点

• 状態ごとに p、V、n、T を対応させます。
• 温度の比には絶対温度を使います。
• 消せるのは前後で同じ量です。
• 同じ n の pV図では積 pV で温度を比べます。

答案のどこを見直すか

計算が合わないときは、まず答えより前の表を見ます。密閉と書かれていれば n が一定か、ピストンの条件から p が一定か、硬い容器から V が一定かを、問題文の根拠と線で結びます。温度の欄に ℃と K が混在していたら、比を作る前に両方を K に直します。

個別指導で確認するなら、生徒自身の式を使い、どの文字をなぜ消したかを言葉にしてもらいます。pV図の点を見たときは、座標の読み取りから積の比較まで書き、物質量が異なる場合に同じ判断が通るかも確かめます。答えを元の状態方程式の比に戻し、単位と増減の向きが合うところまで点検すると、式を覚えた後の取り違えを見つけやすくなります。条件の根拠も答案に残しましょう。