高校物理 気体分子運動論—分子の衝突と圧力から温度と内部エネルギーを考える｜武蔵野個別指導塾

壁への衝突から圧力を導き、二乗平均平方根の速さと内部エネルギーを結ぶのが気体分子運動論です。

よくあるのは、容器内の分子の速度を平均すると0なので、壁が受ける圧力も0だと考える場面です。右向きの分子と左向きの分子の速度は打ち消し合いますが、それぞれが壁に衝突するときには運動量が変化します。壁が受ける力は衝突の繰り返しから生じます。向きを含む速度の平均と、正の量である速さの二乗の平均を分けるところから始めましょう。

何をつないで答えるか

出題の1つの型は、立方体の容器で分子が壁に弾性衝突する様子から圧力を求めるものです。1回の衝突の運動量変化と、同じ壁に再び当たるまでの時間を使って平均の力を出します。符号を決めずに速さだけを引くと、跳ね返りの変化を半分にしてしまいます。

別の型は、圧力と体積、分子数から分子1個の平均運動エネルギーを求め、絶対温度と対応させるものです。分子量や分子の質量が違う気体を同じ温度で比べるとき、平均運動エネルギーが等しいことと速さが等しいことは別の判断になります。さらに、単原子理想気体の内部エネルギーを求める型では、1個あたりの平均を全分子について足します。熱の出入りや仕事を含む状態変化は、ここでは扱いません。

壁が受け取る運動量を見る

一辺 L の立方体に N 個の分子が入っているとします。分子の質量を m、体積を V とし、分子同士の衝突を無視でき、壁との衝突は弾性的である理想化を用います。壁に垂直な方向を x 方向とし、その方向の速度成分を vₓ とします。図1のように、壁へ向かう分子は衝突後に垂直成分の符号を反転させます。平行成分は変わりません。

図1の壁へ向かう方向を正とすると、分子の x 方向の運動量は mvₓ から -mvₓ に変わります。分子の変化は -2mvₓ であり、壁が受け取る運動量はその逆の 2mvₓ です。分子は反対側の壁へ進んで戻るので、同じ壁に続けて当たるまでの時間は 2L/vₓ です。ただしここでは vₓ を正の大きさとして扱っています。

時間あたりに壁が受け取る運動量、すなわちその分子による平均の力は、2mvₓ ÷ (2L/vₓ) = mvₓ²/L です。分子ごとに成分は異なりますが、それぞれの二乗を足し、壁の面積 L² で割ります。各方向に偏りのない平衡状態では、速度の二乗の平均を ⟨v²⟩ と書くと、x 成分の二乗の平均は ⟨v²⟩/3 です。したがって圧力 p は次の関係になります。

p = Nm⟨v²⟩/(3V)、すなわち pV = (1/3)Nm⟨v²⟩

角かっこは分子についての平均を表します。分子の速度ベクトルの平均が0でも、各分子の速さの二乗は負にならず、運動している分子があればその平均は正です。力が打ち消されるという話と、特定の壁が受ける圧力を混同しないようにします。容器全体では向かい合う壁への力は反対向きでも、各壁には内側から押す力が働きます。

二乗平均平方根の速さを vᵣₘₛ とすると、vᵣₘₛ = √⟨v²⟩ です。先に速さを平均してから二乗する量とは一般に異なります。また、速度の平均は向きを考慮するベクトルであり、平均の速さは各分子の速さの平均です。いずれも名前を省いて単に「平均速度」と書くと区別が曖昧になります。

理想気体の状態方程式を pV = NkT と書きます。k はボルツマン定数、T は絶対温度です。これと衝突から得た式を比べると、分子1個の並進運動の平均運動エネルギーは (1/2)m⟨v²⟩ = (3/2)kT となります。単原子理想気体では内部エネルギー U はこの平均に分子数を掛けた U = (3/2)NkT = (3/2)nRT です。n は物質量、R は気体定数です。温度は K で代入し、摂氏温度の数値をそのまま使いません。

分子数を増やして体積と運動の状態を保つと、同じ時間に壁へ衝突する分子が増え、圧力は大きくなります。反対に分子数と速さの二乗の平均を保って体積を大きくすると、単位体積に含まれる分子が減り、圧力は小さくなります。式の比例関係を、衝突の回数の変化と結び付けて読む練習になります。

なお、単原子理想気体の内部エネルギーの式を、分子の種類や条件を確かめずに別の気体へそのまま当てはめないようにします。圧力を出す式と、内部エネルギーの式は同じ温度を含んでいても、求める対象が壁と気体全体で異なります。何を求める問題かを式の前に書くと、分子1個と全体の取り違えを防げます。

基本例題：壁への衝突から力を出す

一辺 2.0 m の立方体容器で、質量 3.0 kg の粒子1個が x 方向に速さ 4.0 m/s で往復します。壁との衝突は弾性的で、他の粒子や重力の影響は無視します。右の壁に粒子が及ぼす時間平均の力と、その壁全体に及ぼす平均圧力を求めてください。答えは有効数字2桁、単位はそれぞれ N、Pa とします。これは計算の仕組みを見るための条件で、実在の分子の値ではありません。

図2のように右向きを正に選びます。衝突直前の速度は +4.0 m/s、直後は -4.0 m/s です。粒子の運動量変化は次のとおりです。

3.0 × (-4.0) − 3.0 × 4.0 = -24 kg m/s

図2の右壁が受け取る運動量は、粒子の変化と逆向きの 24 kg m/s です。右壁から左壁へ 2.0 m、さらに右壁へ 2.0 m 戻るので、次に右壁へ当たるまでの距離は 4.0 m です。この間の時間は 4.0 ÷ 4.0 = 1.0 s です。十分多数の衝突を含む時間で平均すると、右壁への平均の力は 24 ÷ 1.0 = 24 N です。

壁の面積は 2.0 × 2.0 = 4.0 m² です。したがって平均圧力は 24 ÷ 4.0 = 6.0 Pa です。逆に 6.0 Pa に面積 4.0 m² を掛けると 24 N になり、1.0 s の間に壁が受け取る運動量 24 kg m/s と一致します。粒子1個の例では力は衝突時に断続的に働き、求めた値は時間平均です。多数の分子の気体でも、まず1回あたりの変化と衝突間隔を区別します。

少し難しい例題：温度が同じでも速さは違う

同じ絶対温度にある2種類の単原子理想気体 A、B を考えます。各分子の質量はそれぞれ m、4m です。各気体の分子数は同じ N、温度は T とします。計算用の条件として kT = E とし、E は正のエネルギーとします。A と B の分子1個あたりの平均並進運動エネルギー、二乗平均平方根の速さの比 A:B、各気体の内部エネルギーを、分数と根号を用いて求めてください。

まず温度が同じなので、どちらの分子についても平均並進運動エネルギーは (3/2)kT = 3E/2 です。一方で、A の二乗平均平方根の速さを a、B のそれを b とすると、エネルギーの式から

(1/2)ma² = 3E/2、(1/2)・4m・b² = 3E/2

a² = 3E/m、b² = 3E/(4m)

となります。速さは負でないので、a/b = 2 です。求める比は 2:1 です。どちらも分子数 N を掛ければ内部エネルギーは 3NE/2 です。

答えを条件に戻すと、B の質量が4倍で速さの二乗が1/4倍なので、1個あたりのエネルギーはAと一致します。ここでは分子数も等しいため内部エネルギーも等しくなります。もし温度が同じでも分子数が異なれば、1個あたりの平均は等しいままですが、全体の内部エネルギーは分子数に比例して異なります。逆に分子数が同じでも温度が異なれば、平均エネルギーの比は絶対温度の比になります。条件のどちらが固定されているかを先に記します。

質量の差については、同じエネルギーなら速さが質量に反比例すると考えがちです。しかし式に入るのは速さの二乗なので、質量が4倍なら速さは1/4倍ではなく1/2倍です。比を出した後に質量と速さの二乗を掛け戻すと、間違いを見つけやすくなります。

誤答を衝突の式に戻して直す

「分子の速度の平均が0だから p = 0」という答案を考えます。原因は、向きつきの速度を平均する操作を、圧力の式に現れる二乗の平均に置き換えてしまったことです。図3のように反対向きの運動が同数あっても、それぞれの速度成分の二乗は正です。

図3で、ある方向の成分が +u と -u の2個を考えます。成分の平均は (+u − u)/2 = 0 ですが、成分の二乗の平均は (u² + u²)/2 = u² です。u が正なら後者は正です。これは方向の区別を示す小さな例であり、この2個だけを用いて3方向に偏りのない気体の圧力式を適用するわけではありません。実際の圧力計算には各方向の二乗平均の関係も必要です。

別の誤りは、平均の速さをそのまま vᵣₘₛ とみなすことです。速さが異なる分子を含むと、平均してから二乗する値と、二乗してから平均する値は一致するとは限りません。問題文の記号がどちらを表すかを書き添え、圧力の式に必要な ⟨v²⟩ を求めてから平方根を取ります。平方根を取らずに m²/s² の量を m/s と答える誤りも、単位を見れば修正できます。

自分で試す3問

いずれも理想気体または問題中に示した理想化を用います。答えは指定された形で表し、必要な計算条件は各問の中に与えます。

1. 一辺 3.0 m の立方体内を質量 2.0 kg の粒子が x 方向に速さ 6.0 m/s で往復します。壁との衝突は弾性的で、重力などは無視します。右壁が受ける時間平均の力と壁全体への平均圧力を、有効数字2桁で N と Pa を使って求めてください。
2. 分子数 6.0 × 10² 個、分子1個の質量 2.0 × 10⁻² kg、体積 4.0 m³ の理想気体で、速さの二乗の平均が 9.0 m²/s² です。方向に偏りはありません。圧力を有効数字2桁で Pa を使って求めてください。数値は計算用の条件です。
3. 物質量 2.0 mol の単原子理想気体の温度を 300 K とします。計算用に R = 8.0 J/(mol K) として、内部エネルギーを有効数字2桁で J を使って求めてください。温度を 450 K に変え、物質量を保ったときの内部エネルギーも同じ形で求めてください。

答えと途中の確認

1. 粒子の速度は右壁で +6.0 m/s から -6.0 m/s に変わります。粒子の運動量変化は 2.0 × (-6.0) − 2.0 × 6.0 = -24 kg m/s、壁が受け取る量は右向きに 24 kg m/s です。往復距離 6.0 m を 6.0 m/s で進むので衝突間隔は 1.0 s、平均の力は 24 N です。面積は 9.0 m² なので、平均圧力は 24/9.0 = 2.7 Pa です。丸め前の圧力 8/3 Pa に面積を掛けると 24 N に戻り、1.0 s あたりの運動量の受け渡しと一致します。

2. p = Nm⟨v²⟩/(3V) に代入して、p = (6.0 × 10² × 2.0 × 10⁻² × 9.0)/(3 × 4.0) = 9.0 Pa です。圧力に体積を掛けると 36 J です。一方、全分子の並進運動エネルギーの平均の合計は (1/2) × 6.0 × 10² × 2.0 × 10⁻² × 9.0 = 54 J です。その2/3が 36 J となり、もとの圧力と体積の関係に戻ります。速度の二乗の単位を落とすと圧力の単位にならないことも確認します。

3. U = (3/2)nRT から、初めは U = (3/2) × 2.0 × 8.0 × 300 = 7.2 × 10³ J です。450 K では U = (3/2) × 2.0 × 8.0 × 450 = 1.08 × 10⁴ J なので、最後に丸めて 1.1 × 10⁴ J です。丸める前の比は 1.08 × 10⁴ / (7.2 × 10³) = 3/2 で、温度の比 450/300 と一致します。丸めた答えを先に比べると誤差が生じるため、途中の値を保持します。

答案の手元に残すこと

速度の平均と速さの二乗の平均を区別します。
圧力は壁が単位面積あたりに受ける平均の力です。
pV = Nm⟨v²⟩/3、分子1個の平均並進運動エネルギーは 3kT/2 です。
単原子理想気体の内部エネルギーは 3nRT/2 です。

式が止まった場所を見つける

自分の答案で、速度の符号が消えた行と、二乗平均を使い始めた行に印を付けてください。衝突前後の運動量を引けない場合は、右向きを正とした数直線に速度を置いてから差を計算します。壁が受け取る量への符号の反転で止まる場合は、粒子と壁のどちらを対象にしているかを各行に書きます。

個別指導で確かめるなら、公式を言えるかに加えて、1回の衝突から同じ壁への再衝突までを図で説明できるかを見ると、力と力積の取り違えを見分けられます。温度比較で迷う場合は、1個あたりのエネルギーと全体のエネルギーを別々に書き、分子数と質量のどちらを掛けるかを確認します。圧力の正体は、壁に渡る運動量の積み重ねです。